南京市溧水区2017年中考一模数学试题(含答案)

南京市溧水区2017年中考一模数学试题
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符
合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．计算－1＋2的值是（ ▲ ）
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
2．不等式组⎩⎨⎧ 2 x ＞－1，
x －1≤0
的解集是（ ▲ ）
A ．x ＞－12
B ．x ＜－12
C ．x ≤1
D ．－1
2＜x ≤1
3. 计算3
2)(a 的结果是（ ▲ ）
A. 2
3a B. 3
2a C. 5a D. 6
a
4．地球绕太阳每小时转动通过的路程约是1.1×105千米，用科学记数法表示地球一天(以24小时计)转动通过的路程约是（ ▲ ）
A ．0.264×10 7千米
B ．2.64×10 6千米
C ．26.4×10 5千米
D ．264×10 4千米 5．如图所示的平面图形能折叠成的长方体可能是（ ▲ ）
6．把函数y ＝2x 2的图象先沿x 轴向右平移3个单位长度，再沿y 轴向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数的关系式是（ ▲ ）
A ．y ＝2(x ＋3)2－2
B ．y ＝2(x －3)2－2
C ．y ＝2(x ＋3)2＋2
D ．y ＝2(x －3)2＋2
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．
题卡相应位置．．．．．．上） 7．计算：20 +
1
12-⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝ ▲ .
8．分解因式：2
69x x -+= ▲ .
9．计算：82+= ▲ ．
10．甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数和方差，统计如下表：
则射击成绩最稳定的选手是 ▲
（填“甲”、“乙”、“丙”中的一个）．
（第5题）
A ．
B ．
C ．
D ．
D
C
B
A
（第13题）
11．如果反比例函数y ＝k
x
的图象经过点（1，3），那么它一定经过点（－1， ▲ ）．
12．圆锥形烟囱帽的底面直径为80 cm ，母线长为
50 cm ，该烟囱帽的侧面积等于 ▲ cm 2（结果保
留π）．
13．如图，在△ABC 中，AD ＝DB ＝BC ．若∠C ＝n °，则∠ABC ＝ ▲ 度．（用含n 的代数式表示） 14．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，内切圆O 与边AB 、BC 、CA 分别相切于点D 、E 、F ，则∠DEF 的度数为 ▲ °．
15．已知正比例函数y =2x 的图象过点),(11y x 、),(22y x ．若112=-x x ，则21y y -= ▲ ． 16．如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（2，0）、（0，4），P 是△AOB 外接圆⊙C 上的一点，且∠AOP ＝45°，则点P 的坐标为 ▲ ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17． (7分)计算: (a 2a －b ＋b 2b －a )÷a ＋b ab ．
18. (7分) 解方程组：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x － 13 y ＝53．
19. (7分)某校学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考分都以同一标准划分成“不合格”、“合格”、“优秀”三个等级．为了了解电脑培训的效果，随机抽取其中32名学生两次考试考分等级制成统计图（如图），试回答下列问题：
（1）这32名学生经过培训，考分等级“不合格”的百分比由 ▲ 下降到 ▲ ； （2）估计该校640名学生，培训后考分等级为“合格”与“优秀”的学生共有多少名．
（第14题）
20. (8分) 如图，某同学在大楼AD 的观光电梯中的E 点测得大楼BC 楼底C 点的俯角为45°，此时该同学
距地面高度AE 为20米，电梯再上升5米到达D 点，此时测得大楼BC 楼顶B 点的仰角为37º，求大楼的高度BC ．
（参考数据：sin37 º≈0.60, cos37 º≈0.80, tan37 º≈0.75）
21．（8分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，AE ∥BC , DE ∥AB . 求证：（1）AE =DC ；
（2）四边形ADCE 为矩形．
22．（8分）小亮与小明做投骰子（质地均匀的正方体）的实验与游戏． （1）在实验中他们共做了50次试验，试验结果如下：
（第20题）
A
B
C
D
E
（第21题图）
① 填空：此次实验中，“1点朝上”的频率是 ▲ ；
② 小亮说：“根据实验，出现1点朝上的概率最大．”他的说法正确吗？为什么？
（2）在游戏时两人约定：每次同时掷两枚骰子，如果两枚骰子的点数之和超过6，则小亮获胜，否则小明获胜．则小亮与小明谁获胜的可能性大？试说明理由．
23．（8分）建造一个池底为正方形、深度为2m 的长方体无盖水池，池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米200元，总造价为6400元．求该水池池底的边长．
24．（8分）甲、乙两车从A 地将一批物品匀速运往B 地，已知甲出发0.5h 后乙开始出发，如图，线段
OP 、MN 分别表示甲、乙两车离A 地的距离S （km ）与时间t （h ）的关系，请结合图中的信息解决如下问题：
（1）计算甲、乙两车的速度及a 的值； （2）乙车到达B 地后以原速立即返回．
①在图中画出乙车在返回过程中离A 地的距离S （km ）与时间t （h ）的函数图象；（请标出必要的相关数据）
②请问甲车在离B 地多远处与返程中的乙车相遇?
25．（8分）如图，CD 为⊙O 的直径，弦（1）求证：AE 为⊙O 的切线；
（2）延长AE 与CD 的延长线交于点P ，过D 作DE ⊥AP ，垂足为E ，已知P A ＝2，PD ＝1，求⊙O 的半径和DE 的长．
C
26．（9分）已知：二次函数y =ax 2 +bx 的图像经过点M （1，n ）、N （3，n ）． （1）求b 与a 之间的关系式；
（2）若二次函数y =ax 2 +bx 的图像与x 轴交于点A 、B ，顶点为C ，△ABC 为直角三角形，求该二次函数的关系式．
27．（10分）重温
我们知道：同弧或等弧所对的圆周角相等．也就是，如图（1），⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB=∠ADB=∠AEB ．
应用
（1）已知：如图（2），矩形ABCD ． ①若AB <1
2
BC ，在边AD 上求作点P ，使∠BPC ＝90°．（保留作图痕迹，写出作法．）
②小明经研究发现，当AB 、BC 的大小关系发生变化时，①中点P 的个数也会发生变化，请你就点P
(第27题图（1）)
C
(第27题图（2）)
A
D
B
的个数，探讨AB 与BC 之间的数量关系．（直接写出结论） 创新
（2）小明经进一步研究发现：命题“若四边形的一组对边相等和一组对角相等，则这个四边形是平行四边形．”是一个假命题，并在平行四边形的基础上利用“同弧或等弧所对的圆周角相等．”作出了一个反例图形．请你利用下面如图（3）所给的□ABCD 作出该反例图形．（不写作法，保留作图痕迹）
参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．3 8．（x-3）2 9．
10．乙 11．-3 12．2000π 13．180-1.5n 14．75 15．2 16．(3，3) 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．(7分)
解:原式＝(a 2a －b －b 2
a －b
)÷a ＋b ab ………2分
A
B
C
D
(第27题图（3）)
＝a 2－b 2a －b ÷a ＋b ab ……………4分
＝
()()
a b a b a b
+--×
ab
a ＋b
……6分 ＝ab ……………………………7分
18. (7分) 对某一方程进行有效变形且正确 ………………………………………1分 得用代入或加减消去一个未知数得一元一次方程正确………………3分 解得一个未知数的值正确………………………………………………4分 代入求得另一个未知数的值正确………………………………………6分
正确写出方程组的解1,
1.
x y =⎧⎨
=⎩ …………………………………………7分．
19．(7分)（1）75﹪，25﹪…………………………………………………………………4分 （2）据题意得：培训后32名学生中“合格”与“优秀”的学生共有24名 ………5分 考分等级为“合格”与“优秀”的学生人数约占
24
32＝3
4
…………………………6分 所以，培训后全校考分等级为“合格”与“优秀”的学生人数约有： 640×3
4
＝480名
分 20. (8分)解：过点E 、D 分别作BC 的垂线，交BC 于点F 、G ．在Rt △EFC 中，因为FC ＝AE ＝20，∠FEC ＝45° 所以EF ＝20………………………………………3分 在Rt △DBG 中，DG ＝EF ＝20，∠BDG ＝37°
因为tan ∠BDG ＝BG
DG ≈0.75 ………………………………5分
所以BG ≈DG ×0.75＝20×0.75＝15………………………6分 而GF ＝DE ＝5
所以BC ＝BG ＋GF ＋FC ＝15＋5＋20＝40
答：大楼BC 的高度是40米．………………………………8分 21.（8分） 证明：
（1）在△ABC 中，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，
∴BD=DC ……………………………………………………2分 ∵AE ∥BC , DE ∥AB ，
∴四边形ABDE 为平行四边形 ………………………………4分 ∴BD=AE ， …………………………………………………5分 ∵BD=DC
∴AE = DC ．……………………………………………………6分
（2） ∵AE ∥BC ，AE = DC ，
∴四边形ADCE 为平行四边形．………………………………7分 又∵AD ⊥BC ，
C
)
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE 为矩形．………………………………………8分
22.(8分)（1）① 0.2 …………………………………………………………1分
② 不正确 ……………………………………………………2分
因为在一次实验中频率并不一定等于概率，只有当实验中试验次数很大时，频率才趋近于概率．………………………………………………………3分 （2） 列表如下：
………5分
所有可能的结果共有36种，每一种结果出现的可能性相同．
所以P （点数之和超过6）＝2136 ，P （点数之和不超过6）＝15
36 ………7分
因为2136 ＞15
36
，所以小亮获胜的可能性大．………………………………8分
23.（8分）设池底的边长为x m ． ……………………………………1分 200x 2+800x =6400 …………………………………………4分 解得x 1=4，x 2=-8（舍） …………………………………7分 答：池底的边长为4m ． ……………………………………8分
24．（本题8分） 解：（1）由题意可知M (0.5，0)，线段OP 、MN 都经过（1.5，60）
甲车的速度60÷1.5＝40 km/小时，……………………………………………1分
乙车的速度60÷（1.5－0.5）＝60 km/小时， ………………………………2分 a ＝40×4.5＝180 km ； …………………………………………………………3分
（2）①乙车在返回过程中离A 地的距离S （km ）与时间t （h ）的函数图象
（其它方法参照给分）
25.（8分）连结OA
∵AB ⊥CD ，∴∠AHD ＝90°．
∴∠HAD +∠ODA =90°………………………1分 ∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA …………2分 又∵∠EAD =∠HAD
∴∠EAD +∠OAD ＝90°， …………………3分 ∴OA ⊥AE ，
又∵点A 在圆上，∵AE 为⊙O 的切线．………4分 （2）设⊙O 的半径为x ,在Rt △AOP 中，
OA 2＋AP 2＝OP 2
x 2＋22＝(x ＋1)2 …………………5分 解得x ＝1.5 ………………………6分 ∴⊙O 的半径为1.5
∵OA ∥DE ，所以△PED ∽△P AO ， ∴
DP PO ＝DE AO ，12.5 ＝DE
1.5
，…………………7分 解得DE ＝3
5
…………………………………8分
26．（本题9分）解：（1）∵图像经过M (1，n )、N （3，n ）
∴图像的对称轴为直线x =2. …………………………………2分 ∴22b
a
-
=，所以b = -4a ．…………………………………4分 （2）y =ax 2 -4ax 的图像与x 轴交于点A （0，0）、B （4，0）．………5分
∵△ABC 为直角三角形，
∴顶点C 坐标为(2，2)或（2，-2）．…………………………7分 代入得4a -8a =2或4a -8a =-2．
∴a =-12 或1
2 ．……………………………………………………8分
∴y = - 12 x 2 +2x 或y =1
2
x 2 -2x ．…………………………………9分
27．（10分）
（1）①作图正确………………………………………………………………2分．
作法：以BC 为直径作⊙O ，交AD 于P 1、P 2
P 1、P 2 为所求作的点P ．………………………………………………4分 ②AB ＜1
2
BC 时，点P 有两个；………………………………………………5分 AB=
1
2BC 时，点P 有且只有1个； ………………………………………6分 AB ＞1
2
BC 时，点P 有0个； ………………………………………………7分
（2）
P
C
A
B
O D E
H
……………………………………………10分
连接AC，作△ADC的外接圆⊙O，再以C为圆心，CD的长为半径画弧，与⊙O相交于点E，则四边形ABCE即为所求反例图形．（画法不计分）。