数学解题常见的7种策略

数学解题常见的7种策略
新的数学课程标准将解决问题作为⼀个重要⽬标，这是课程改⾰和发展的需要。

通过解决问题，不仅让学⽣学到数学知识，更重要的是让学⽣学会在错综复杂的情境中，利⽤学过的数学知识对具体的问题做出有条理的分析，进⾏创造性的思考，体验探索与解决问题的过程。

只有掌握了⼀定的解题策略，才会在遇到问题时，找到问题的思考点和突破⼝，迅速、正确地解题，因此，我们要适当加强数学解题策略的指导，优化学⽣的思维品质，提⾼学⽣分析问题和解决问题的能⼒。

⼀、转化策略
有些题⽬，按原题意进⾏分析，数量关系⽐较复杂、抽象，解答起来很困难和⽆法解答，这时，如果我们转换⼀下思路，改变⽅式进⾏思考，探求新的解题途径，常常可以使问题得到解决。

【例题】快、慢两车分别从甲、⼄两城同时相对开出，经过2⼩时相遇，相遇后各⾃继续前进，⼜经过1.5⼩时，快车到达⼄城，这时慢车距甲城还有40千⽶，求甲、⼄两城的距离。

【剖析】因两车从相遇到离开⽤的时间相同，所以我们可转化成两车同时从两城相向⽽⾏，2个⼩时⾏完了1个单程，⽽相遇后合⾏1.5⼩时⽐⾏完全程少40千⽶，说明两车合⾏（2-1.5）⼩时，恰好⾏了40千⽶，则两车1⼩时合⾏40÷（2-1.5）=80（千⽶），此时很容易求出甲、⼄两城相距80×2=160（千⽶）。

⼆、变中抓不变策略
⼀个数量的变化，往往会引起其它数量的变化。

如“某班转来5名男⽣”，男⽣⼈数变了，总⼈数⾃然也跟着变了，男⽣与⼥⽣、男⽣与总⼈数之间的倍数关系也变了。

只有注意到这些变化，才能防⽌出错，在诸多变化的条件中，也常常会有些不变的量，有些题⽬⼜往往需要我们抓住不变量，从不变量⼊⼿解决问题。

【例题】2006年学校⽥径队⾥的⼥同学⼈数是全队总⼈数的2/5，2007年⼜吸收2名⼥同学，这样⼥同学⼈数是全队总⼈数的3/7，2007年⽥径队有多少⼈？
【剖析】题中的2/5和3/7虽然都是以全队总⼈数为单位“1”，但因为2007年⼜吸收2名⼥同学使2007年与2006年总⼈数发⽣了变化，⾃然这2/5和3/7的单位“1”不同，不能⽤（3/7-2/5）来当作2名⼥同学对应的分率。

我们仔细审题就会发现，尽管⼥同学⼈数和全队总⼈数都是变化的量，⽽男同学的量却始终没有变。

因此，抓住男同学不变为单位“1”，就能迎刃⽽解了。

根据条件可知2006年全队学⽣是男同学的5÷（5-2）=5/3，2007年全队总⼈数是男同学的7÷（7-3）=7/4，很明显7/4与5/3的差1/12,对应的量就是2⼈，这时可先求出男⽣：
2÷1/12=24（⼈），再求2007年全队⼈数：24÷（1-3/7）=42（⼈）。

三、类⽐推理策略
运⽤“类⽐推理”的策略，有助于同学们解决教学中的某些特殊问题。

【例题】⼀盒饼⼲，分给幼⼉园⼤⼩两个班的⼉童，每⼈可分得8块，只分给⼩班，每⼈可分得24块。

问只分给⼤班，每⼈可分得⼏块？
【剖析】这道题，有些学⽣感到⽐较⽣疏，⽆从下⼿。

其实，只要我们“类⽐推理”到⼯程问题上来，就能很快把这道题解出来。

我们把这盒饼⼲看作⼀项⼯程，“分给幼⼉园⼤⼩两个班的⼉童，每⼈可分得8块”看作两个班合作完成，那么他们的⼯效之和就是1/8，把“只分给⼩班，每⼈可分得24块”，看作单独由⼩班完成，很明显⼩班的⼯效是1/24，由此得出⼤班的⼯效是：1/8-1/24=1/12。

要求只分给⼤班，每⼈可分得⼏块，根据⼯程问题的数量关系，可列式计算为：1÷（1/8-1/24）=12（块）。

所以，只分给⼤班，每⼈可分得12块。

四、假设策略
有些题⽬数量关系⽐较隐蔽，难以建⽴数量之间的联系，或数量关系抽象，⽆从下⼿，这时，可先假设某⼀数量与另⼀数量相等，使题⽬明朗化、简单化，从⽽找到对应关系，使问题得到解决。

【例题】甲、⼄⼆⼈共需做零件140个，甲做⾃⼰任务的80%，⼄做⾃⼰任务的75%，这时甲、⼄共剩下32个零件未完成。

问甲、⼄⼆⼈原来各需做多少个零件？
【剖析】假设甲、⼄均做⾃⼰任务的80%，即甲⼄均差20%未完成任务；甲任务的20%与⼄任务的20%的和便是甲、⼄总任务数的20%，也就是140×20%=28（个）。

现在已知甲、⼄共剩下32个零件未做，32-28=4（个），这4个零件对应于假设⼄多做了⾃⼰任务的（80%-75%），即5%，这样，可以求出⼄数原来需做的零件数应是（32-140×20%）÷（80%-75%）=80（个），进⽽可求出需做的零件数为140-80=60（个）。

五、还原策略
还原就是从题⽬的问题或结果出发，⼀步⼀步进⾏逆向推理，逐步靠拢条件，直⾄这些条件是已知的，那么倒回去，就能求得所求的结果了。

【例题】⽔果店⾥卖苹果，第⼀天上午卖出总数的1/4⼜5千克，下午卖出余下的1/2⼜2千克，第⼆天上午⼜卖出余下的1/3少2千克，还剩下20千克，问⽔果店⾥原来共有多少千克苹果？
【剖析】从最后的结果“20千克”倒推出（20-2）千克是第⼀天下午余下的2/3，由此求出第⼀天下午余下的苹果为（20-2）÷（1-1/3）=27（千克）；根据下午卖出余下的1/2⼜2千克得知，（27+2）千克是第⼀天上午余下的1/2，可以求出第⼀天上午余下的苹果为
（27+2）÷（1-1/2）=58（千克）；从第⼀天上午卖出总数的1/4⼜5千克说明（58+5）千克是总数的（1-1/4），因此⽔果店⾥原来有（58+5）÷(1-1/4)=84(千克)苹果。

六、列举分析策略
⼀些题的数量关系较复杂，分析时可先将题中已知条件⼀⼀列举，然后再进⾏综合分析，就能寻求出解题途径。

【例题】今年⼆⽉的⼀天，有三批同学到王⽼师家，每批的⼈数不相等，没有单独⼀个⼈来的。

三批⼈数的乘积正好等于这⼀天的⽇期。

想⼀想，这三批学⽣各有⼏个⼈？
【剖析】这道题有三个条件，我们可以列举如下：（1）这是⼆⽉的某⼀天；（2）三批学⽣的⼈数都不相同，且都不为1；（3）三批⼈数的乘积正好等于⼆⽉某⼀天的⽇期数，即不⼤于29。

根据以上列举的条件，可判定有两种可能性:2、3、4或2、3、5。

由于2×3×4＝24,24＜29，2×3×5＝30，30＞29，因此，这三批学⽣的⼈数分别是2⼈、3⼈、4⼈。

七、找规律策略
寻找规律是解决数学问题最常⽤有效的⽅法。

碰到较为复杂的问题可以先退到简单特殊的问题，通过分析研究，找出⼀般规律，然后⽤得出的⼀般规律去指导问题的解答。

【例题】有⼀列数，第⼀个数是1，第⼆个数是2008，以后每个数都是前两个数的差（以⼤数减⼩数），问第2008个数是多少？
【剖析】根据题意我们可以得出这样的排列：1、2008、2007、1、2006、2005、1、2004、2003、1、2002、2001、1………从左向右观察，分析这列数，我们可以把每三个数分为⼀组，每组中第⼀个数是1，每组中的后两个数是按照从⼤到⼩的顺序排列的。

2008÷3=669……1，所以我们可以判断第2008个数是1。

使学⽣成为有效的问题解决者，既是⼩学数学教学的⽬标，⼜是对⼩学数学教师的挑战。

为了能够更有效地提⾼学⽣的解题能⼒，我们应该把解题的主动权交给学⽣，提供给学⽣更多的展⽰属于他们⾃⼰的思维⽅式和解题策略的机会，引导学⽣在解题实践中注意不断思索探求、逐步积累解题经验，以掌握更多、更具体的解题⽅法和思维策略。