高中数学课时训练(含解析)：不等式 (2)

【课时训练】第32节 一元二次不等式的解法
一、选择题
1．(济南一中检测)若一元二次不等式ax 2
＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，13,则a
＋b 的值是( )
A ．10
B ．－10
C ．14
D ．－14
【答案】D
【解析】因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝
⎛⎭
⎪⎫－12，13,所以－12,1
3是
一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根,
则⎩⎪⎨⎪⎧
14a －12b ＋2＝0，19a ＋13b ＋2＝0，
解得a ＝－12,b ＝－2,则a ＋b ＝－14.
2．(山西太原模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解,则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞,－2)
B ．(－2,＋∞)
C ．(－6,＋∞)
D ．(－∞,－6)
【答案】A
【解析】不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解,所以a ＜x 2－4x －2在区间(1,4)内有解,又函数y ＝x 2－4x －2在(1,2)上单调递减,在(2,4)上单调递增,当x ＝1时,y ＝－5当x ＝4时,y ＝－2,－5<－2,所以a ＜－2,故选A.
3．(内蒙古呼和浩特模拟)若不等式x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x ∈R 恒成立,则关于t 的不等式at 2＋2t －3＜1的解集为( )
A ．(－3,1)
B ．(－∞,－3)∪(1,＋∞)
C ．∅
D ．(0,1) 【答案】B
【解析】x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x ∈R 恒成立,所以Δ＝4a 2－4a ＜0,所以
0＜a ＜1,所以函数y ＝a x 是减函数,由at 2＋2t －3＜1可得t 2＋2t －3＞0,解得t ＜－3或t ＞1,故选B.
4．(福建闽侯模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立,则有( )
A ．m ≤－3
B ．m ≥－3
C ．－3≤m ＜0
D ．m ≥－4
【答案】A
【解析】∵x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立,令f (x )＝x 2－4x ,x ∈(0,1],f (x )图象的对称轴为直线x ＝2,∴f (x )在(0,1]上单调递减,∴当x ＝1时f (x )取到最小值为－3,
∴实数m 应满足m ≤－3,故选A.
5．(长春质检)若关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞,－2),则关于x 的不等式ax 2＋bx x －1
＞0的解集为( )
A ．(－2,0)∪(1,＋∞)
B ．(－∞,0)∪(1,2)
C ．(－∞,－2)∪(0,1)
D ．(－∞,1)∪(2,＋∞) 【答案】B
【解析】关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞,－2),故a ＜0,x ＜b a ,∴b
a ＝－2,
b ＝－2a ,∴ax 2＋bx x －1＝ax 2－2ax x －1＞0,由于a ＜0,∴x 2－2x x －1＜0,解得x ＜0或1＜x
＜2,故选B.
6．(郑州质量预测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2＋2x ，x ≥0，
x 2－2x ，x ＜0.
若关于x 的不等式
[f (x )]2＋af (x )－b 2＜0恰有1个整数解,则实数a 的最大值是( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．8
【答案】D
【解析】做出函数f (x )的图象如图中实线部分所示,
由[f (x )]2＋af (x )－b 2＜0得－a －a 2＋4b 22＜f (x )＜－a ＋a 2＋4b
2
2.若b ≠0,则f (x )＝0满足不等式,即不等式有2个整数解,不满足题意,所以b ＝0,所以－a ＜f (x )＜0,且整数解x 只能是3,当2＜x ＜4时,－8＜f (x )＜0,所以－8≤－a ＜－3,即a 的最大值为8.故选D.
7．(河南南阳模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ,b ∈R )的值域为[0,＋∞),若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ,m ＋6),则实数c 的值为( )
A ．6
B ．7
C ．9
D ．10
【答案】C
【解析】由题意知f (x )＝x 2
＋ax ＋b ＝0只有一个根,即Δ＝a 2
－4b ＝0,则b ＝a 24.
不等式f (x )＜c 的解集为(m ,m ＋6),即x 2＋ax ＋a
2
4＜c 的解集为(m ,m ＋6),则方程x 2
＋ax ＋a 2
4－c ＝0的两个根为m ,m ＋6.∴两根之差|m ＋6－m |＝a 2－4⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 24－c ＝6,解得c ＝9,故选C.
8．(安徽五校联考)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中至多包含2个整数,则a 的取值范围是( )
A ．(－3,5)
B ．(－2,4)
C ．[－3,5]
D ．[－2,4]
【答案】D
【解析】关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0可化为(x －1)(x －a )＜0.当a ＝1时,不等式的解集为∅;当a ＞1时,不等式的解集为1＜x ＜a ;当a ＜1时,不等式的解集为a ＜x ＜1.要使得解集中至多包含2个整数,则a ≤4且a ≥－2,所以实数a 的
取值范围是[－2,4],故选D.
二、填空题
9．(全国名校大联考联考)不等式x 2－2ax －3a 2＜0(a ＞0)的解集为________． 【答案】{x |－a ＜x ＜3a }
【解析】∵x 2－2ax －3a 2＜0⇔(x －3a )·(x ＋a )＜0,a ＞0,∴－a ＜3a ,则不等式的解集为{x |－a ＜x ＜3a }．
10．(河南豫北豫南名校联考)不等式x 2－3|x |＋2＞0的解集是________． 【答案】(－∞,－2)∪(－1,1)∪(2,＋∞)
【解析】由题意可知原不等式可转化为|x |2－3|x |＋2＞0,解得|x |＜1或|x |＞2,所以不等式的解集为(－∞,－2)∪(－1,1)∪(2,＋∞)．
11．(湖北武汉武昌调研)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1，x ≥2，－1，x ＜2，
则不等式x 2·f (x )＋x －2≤0
的解集是________．
【答案】{x |x ＜2}
【解析】当x ≥2时,原不等式可化为x 2＋x －2≤0,解得－2≤x ≤1,此时x 不存在;当x ＜2时,原不等式可化为－x 2＋x －2≤0,解得x ∈R ,此时x ＜2.综上可得原不等式的解集为{x |x ＜2}．
12．(吉林辽源五校期末联考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－1和2,则不等式af (－2x )＞0的解集是________．
【答案】⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，12 【解析】∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－1,2,∴－1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝
0的两根,由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－a ，－1×2＝b ，即⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝－2，
∴f (x )＝x 2－x －2.不等式af (－2x )＞0,即－(4x 2＋2x －2)＞0,则2x 2＋x －1＜0,解集为⎝
⎛
⎭
⎪⎫－1，12.
三、解答题
13．(辽宁大连五校联考)已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋1)x ＋1(a ≠0)． (1)若f (x )≤2在R 上恒成立,求实数a 的取值范围; (2)解关于x 的不等式f (x )＜0.
【解】(1)由f (x )≤2在R 上恒成立,可得ax 2－(a ＋1)x －1≤0在R 上恒成立,
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＜0，(a ＋1)2
＋4a ≤0， 解得－3－22≤a ≤－3＋2 2. ∴实数a 的取值范围为[－3－22,－3＋22]．
(2)由不等式f (x )＝ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0得(ax －1)(x －1)＜0. ①当0＜a ＜1时,不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0,解得1＜x ＜1a ;
②当a ＝1时,不等式等价于(x －1)2＜0,无解;
③当a ＞1时,不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ·(x －1)＜0,解得1
a ＜x ＜1;
④当a ＜0时,不等式等价于⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1a ·(x －1)＞0,解得x ＜1a 或x ＞1; 综上,当0＜a ＜1时,f (x )＜0的解集为⎝
⎛
⎭
⎪⎫1，1a ;当a ＝1时,f (x )＜0的解集为∅;
当a ＞1时,f (x )＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1;当a ＜0时,f (x )＜0的解集为⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，1a ∪(1,＋∞)．。