江苏省扬州市求知中学2019-2020学年九年级下学期数学中考复习导学案--等可能条件下的概率-(无答案)

九年级数学中考复习导学案（等可能条件下的概率）
教学目标：1、准确判断事件发生可能性的大小
2、掌握等可能条件下的概率的求法
3、掌握树状图和列表法求概率
【同步知识讲解】
知识点1：等可能性
等可能性：一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性.
例题1．一个不透明的盒子中装有2个红球、3个白球和2个黄球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，摸到哪种颜色的球的可能性最大（）
A．红色B．白色C．黄色D．红色或黄色
【分析】考察简单事件发生的可能性
例题2．如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（）
A．①②④③B．③②④①C．③④②①D．④③②①
【分析】求出阴影部分的角度，求出事件发生的可能性大小
例题3.某人要去一风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序．他采用了这样的乘车方案：先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况，如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆比第一辆差，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？
（2）你认为此人采用的方案，使自己乘坐上等车的可能性有多大？
【分析】(1)根据可能性大小的方法,找准两点:1、符合条件的情况数目;2、全部情况的总数;二者的比值就是可能性发生的大小;(2)比较两个概率即可.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比
变式：
1．小明投掷一枚普通的骰子，前三次投出的朝上数字都是6，则第4次投出的朝上数字（）
A．按照小明的运气来看，一定还是6
B．前三次已经是6了，这次一定不是6
C．按照小明的运气来看，是6的可能性最大
D．是6的可能性与是1～5中任意一个数字的可能性相同
2．甲、乙两人轮流做下面的游戏：掷一枚均匀的骰子（每个面分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字），如果朝上的数字大于3，则甲获胜，如果朝上的数字小于3，则乙获胜，你认为获胜的可能性比较大的是．
3．某校体育室里有球类数量如下表，如果随机拿出一个球（每一个球被拿出来的可能性是一样的），那么拿出一个球是足球的可能性是．
4．从形状、大小相同的9张数字卡片（分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9）中任意抽1张，抽出的恰好是：①偶数；②小于6的数；③不小于9的数，这些事件按发生的可能性从大到小排列是（填序号）
知识点2：等可能条件下的概率
1.等可能条件下的概率
一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率P（A）=m
（其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n是指所有等可能出现的结果数）.
n
当一个随机事件在一次试验中的所有可能出现的结果是有限个，且具有等可能性时，只需列出一次试验可能出现的所有结果，就可以求出某个事件发生的概率.
2.等可能条件下的概率的求法
一般地，等可能性条件下的概率计算方法和步骤是：
（1）列出所有可能的结果，并判定每个结果发生的可能性都相等；
（2）确定所有可能发生的结果的个数n和其中出现所求事件的结果个数m；
.
（3）计算所求事件发生的可能性：P（所求事件）=m
n
3.用列举法计算概率
常用的列举法有两种：列表法和画树状图法.
①列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的
结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
要点诠释：
（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
②树状图
当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
要点诠释：
(1)树状图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
(2)在用树状图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
例题1.在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是3
2，则黄球的个数是（ ） A.16 B.12 C.8 D.4
【分析】考察随机事件的概率
例题2.给甲乙丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率为（ ）
A. 61
B.31
C.21
D.3
2 【分析】考察随机事件的概率
例题3.在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色之外其他都相同。

（1）将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；
（2）现在再将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是红球的概率为3
2，请求出后来放入袋中的红球的个数。

【分析】本题主要考查随机事件的概率和分式方程的应用。

（1）因为袋中一共有10个球，其中黄球有2个，所以一共有10种等可能的结果，其中摸到黄球的情况有2种，故从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为1
5
（2）设放入红球的的个数为x ，则袋中一共有10+x 个球，其中红球有5+x 个，所以一共有10+x 种等可能的结果，然后根据题意列分式方程并求解即可。

例题4.A 、B 、C 三人玩篮球传球游戏，规则是：第一次传球由A 将球随机传给B 、C 两人中某一人，以后的每一次传球都是由上次传球者随机传给其他两人中某一人。

（1）求两次传球后，球恰好在B 手中的概率；
（2）求三次传球后，求恰好在A 手中的概率。

【分析】根据题意画出树状图，求出概率即可
例题5.甲乙两队进行打乒乓球团体赛,比赛规则规定:两队之间进行3局比赛,3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且甲队已经赢得了第1局比赛，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【分析】本题主要考查求随机事件概率的方法，根据树状图找出所有可能出现的情况，再找出甲队最终获胜的情况，根据概率公式计算即可
例题6.在一个口袋里有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4，小明和小强采取的摸取方法是： 小明：随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机摸取一个小球，记下标号； 小强：随机摸取一个小球记下标号，不放回，再随机摸取一个小球，记下标号．
（1）用画树状图（或列表法）分别表示小明和小强摸球的所有可能出现的结果；
（2）分别求出小明和小强两次摸球的标号之和等于5的概率．
【分析】本题主要考查求随机事件概率的方法
（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可得出所有可能的结果
（2）根据（1）可求得小明两次摸球的标号之和等于5的有4种可能，小强两次摸球的标号之和等于5的有4种可能，利用概率公式求解即可求得答案
变式： 1. 为支持希望工程，小慧准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前五位，后三位由5,1,2这三个数字组成，但具体顺序忘记了，她第一次就拨通电话的概率是（ ）
A. 21
B.41
C.61
D.8
1 2. 甲箱装有40个红球和10个黑球，乙箱装有60个红球、40个黑球和50个白球，这些球除了颜色外没有其他区别，搅匀两箱中的球，从箱中分别任意摸出一个球。

下列说法：①从甲箱摸到黑球的概率较大；②从乙箱摸到黑球的概率较大；③从甲乙两箱摸到黑球的概率相等；④无法比较从甲乙两箱摸到黑球的概率。

正确的是 。

3. 一只口袋中放着若干个黄球和绿球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，
从口袋取出一个球是黄球的概率为
5
2。

（1）取出绿球的概率是多少？（2）如果袋中的黄球有12个，那么袋中的绿球有多少个？
4. 某超市为了促销一批新品牌的商品，设立了一个不透明的纸箱，纸箱里装有1个红球，2个白球和12个黄球，并规定：顾客每购买50元的新品牌商品，就能获得一次摸球的机会，如果摸到红球，顾客可以获得一把雨伞，摸到白球，可以获得一个文具盒，摸到黄球可以获得一支铅笔，甲顾客购此新商品80元，她获得奖品的概率是多少？他得到一把雨伞，一个文具盒，一支铅笔的概率分别是多少？
【精题精练精讲】
知识点1：等可能性
1、下列事件：
①人睡觉时，不是仰卧就是侧卧；②老师从甲、乙、丙3人中任意指定1人当班长；③从一年的日历里随意翻开一页，翻出的是5月1日或10月1日．其中发生的结果是等可能的事件有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2、若一个家庭有两个小孩，则这两个小孩的性别可能性最大的是( )
A ．两男
B ．两女
C ．一男一女
D ．不确定
3、一个袋中有1个白球，1个红球，1个黄球(除颜色外无其他区别)，小明随机地摸出1个球，共有________种不同的结果，摸到红球、白球、黄球的可能性________(填“相同”或“不同” )．
4、任意掷一枚质地均匀的骰子，比较下列事件发生的可能性大小，将它们的序号按从小到大排列为 ．①面朝上的点数小于2； ②面朝上的点数大于2； ③面朝上的点数是奇数．
5、老师想在1名男生、3名女生(分别为女1、女2、女3)中任选1名同学做值日工作，所有可能的结果是____________________，它们 ______(填“是”或“不是”)等可能的．
6、某人想将红、黄、蓝三种除颜色不同外，其余都相同的球，放在不透明的纸箱里，其中红球4个，蓝球3个，黄球若干个．若每次只摸1个球(摸出后放回)，摸出红球的可能性是2/5，则黄球有 个.
7、一副扑克牌有54张，任意从中抽一张．
(1)抽到大王的概率为______；
(2)抽到A 的概率为______；
(3)抽到红桃的概率为______；
(4)抽到红牌的概率为______；(红桃或方块)
(5)抽到红牌或黑牌的概率为______．
8、某储蓄卡上的密码是一组四位数字号码，每一位上的数字可在0～9这10个数字中选取．某人未记准储蓄卡密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时，如果随意地按一下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率有多少?24、一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球，每个球除颜色不同外其余都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球．
(1)会有哪些可能的结果？
(2)你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？摸到哪种颜色的球的可能性最小？
知识点2：用直接列举法求概率
1．某学校在进行防溺水安全教育活动中，将以下几种在游泳时的注意事项写在纸条上并折好，内容分别是①互相关心；②互相提醒；③不要相互嬉水；④相互比潜水深度；⑤选择水流湍急的水域；⑥选择有人看护的游泳池．小颖从这6张纸条中随机抽出一张，抽到内容描述正确的纸条的概率是( )
A.1
2
B.
1
3
C.
2
3
D.
1
6
2．从一副扑克牌(去掉大、小王)中随意抽取一张．
抽到红桃的概率是______；抽到10的概率是______；抽到梅花4的概率是______．
3．毛主席在《沁园春·雪》中提到五位历史名人：秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗．小红将这五位名人的简介分别写在五张完全相同的知识卡片上，小哲从中随机抽取一张，卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是________．
4．如图4－2－3，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个格点中任取一点C，使△ABC不是直角三角形的概率是________．
5．如图甲、乙用4张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后背面朝上，放置在桌面上，每人抽一张，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回．甲、乙约定：当甲抽到的牌面数字比乙大时甲胜；否则乙胜．请你用画树状图法说明甲、乙获胜的机会是否相同．
6．某校园文化艺术节中，九年级(1)班有1名男生和2名女生获得美术奖，另2名男生和2名女生获得音乐奖．
(1)从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率；
(2)分别从获得美术奖、音乐奖的学生中选取1名参加颁奖大会，用画树状图法求刚好是一名男生和一名女生的概率．
7小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去扬州马可波罗花世界游玩．
(1)小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为________；
(2)求他们三人在同一个半天去游玩的概率．
知识点3：用列表法求概率
1．在一个不透明的袋子里，有2个白球和2个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子里随机摸出一个球记下颜色后放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到白球的概率为( )
A.1
16
B.
1
8
C.
1
4
D.
1
2
2.一书架有上、下两层，其中上层有2本语文、1本数学，下层有2本语文、2本数学，现从上、下层各随机取1本，则抽到的2本都是数学书的概率为________．
3．甲、乙、丙、丁四人玩扑克牌游戏，他们先取出两张红心和两张黑桃共四张扑克牌，洗匀后背面朝上放在桌面上，每人抽取其中一张，拿到相同颜色的即为游戏搭档．现甲、乙两人各抽取了一张，求两人恰好成为游戏搭档的概率．(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
4.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字0，1，2，每个小球除数字不同外其余均相同，小华先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字．用画树状图或列表的方法，求小华两次摸出的小球上的数字之和是3的概率．
5．把3，5，6三个数字分别写在三张完全相同的不透明卡片的正面上，把这三张卡片背面朝上，洗匀放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的数字，放回后洗匀，再从中抽取一张卡片，记录下数字，请用列表法或画树状图法求两次抽取的卡片上的数字都是奇数的概率．
知识点 4：用面积法求概率
1．如图，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1，0），且C、D两点在函数y=的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）
A．B．C．D．
2．如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=13，AC=5，BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（）
A．B．C．D．
3．如图，圆是大正方形的内切圆，同时又是小正方形的外接圆，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为（）
A．B．C．D．
知识点 5：判断游戏的公平性
1．小明和小亮用如图所示的两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．转动两个转盘各一次，当转盘停止转动时，若指针指向的两个数字之积大于2，则小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由.
2．如图，两个构造完全相同(除所标数字外)的转盘A，B，每个转盘被分成3个面积相等的扇形．游戏规定：转动两个转盘各一次，指针指向大的数字者获胜．现由你和小明各选择一个转盘做游戏，你会选择哪
一个，为什么？
3．小吴和小黄在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘甲、乙(如图4－3－12)，两转盘被分成面积相等的几个扇形区域，并在每个扇形区域内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止转动后，指针所指扇形区域内的数字之和为4，5或6时，则小吴胜；否则小黄胜．(若指针恰好在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止)
(1)这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由；
(2)请你设计一个对双方都公平的游戏规则．
【巩固练习】
1.在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）频数分布表中=a ，=b ，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？
（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
2．如图，放在直角坐标系的正方形ABCD 边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子（它有
四个顶点，各顶点的点数分别是1至4这四个数字中一个），每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的顶点数作为直角坐标中P点的坐标（第一次的点数作横坐标，第二次的点数作纵坐标）．
（1）求P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率．
（2）将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在一种平移，使点P落在正方形ABCD面上的概率为0.75；
若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，请说明理由．
3某商场柜台为了吸引顾客，打出了一个小广告如下：本专柜为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率100%，最高奖50元．具体方法是：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准黄、红、绿、白色区域，顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券．（转盘的各个区域均被等分）请根据以上信息，解答下列问题：
（1）小亮的妈妈购物150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？
（2）请在转盘的适当地方写上一个区域的颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在某一区域的事件发生概率为，并说出此事件．
4. 甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．
（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；
（2）从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
5.某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100
元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000
落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 604
落在“可乐”区域的频率m/n 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 （1）完成上述表格；（结果全部精确到0.1）
（2）请估计当n很大时，频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是；（结果全部精确到0.1）
（3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？
6.九年级某班同学在毕业晚会中进行抽奖活动，在一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球记下标号后放回摇匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．（1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一样），表示两次摸出小球上的标号的所有结果；
（2）规定当两次摸出的小球标号相同时中奖，求中奖的概率．。