江西省南昌市第三中学高二数学上学期期末考试试题 文

南昌三中2015—2016学年度上学期期末考试
高二数学（文）试卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．直线310x y -+=的倾斜角为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
2、直线()011:1=-+-y x a l 和023:2=++ay x l 垂直，则实数a 的值为（ ）
A ．
21 B ．23 C ．41 D ．4
3 3、 已知a ，b 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面,下列命题中正确的是（ ）
A 、 //a b ，//b α，则//a α
B 、 a ，b α⊂，//a β，//b β，则//αβ
C 、 a α⊥，//b α，则a b ⊥
D 、 当a α⊂，且b α⊄时，若b ∥α，则a ∥b 4、下列说法错误．．
的是（ ） A ．“0<ab ”是“方程
12
2=+by ax 表示双曲线”的充分不必要条件 B ．命题“若0=a ，则0=ab ”的否命题是：“若0≠a ，则0≠ab ”
C ．若命题p ：存在01,2=+-∈x x R x ，则命题p 的否定：对任意
01,2≠+-∈x x R x D ．若命题“非p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题 5、已知抛物线24y ax =，则其准线方程是（ ）
A ．116y a =-
B ．x a =-
C ．116y a
=± D ． x a =± 6、如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A.12
B. 1
C.34
D.
32
7、给出两个命题：p ：平面内直线l 与抛物线
22y x =有且只
有一个交点，则直线l 与该抛物线相切；命题q ：过双曲线2
2
14
y x -=右焦点F 的最短弦长是8。

则（ ）
A ．q 为真命题
B ．“p 或q ”为假命题
C ．“p 且q ”为真命题
D ．“p 或q ”为真命题
8、已知双曲线22
22:1x y C a b
-=(0,0)a b >>的离心率为错误!未指定书签。

,则C 的渐近线方程为（ ）
1
11
1
A ．14y x =±
B ．13y x =±
C ．1
2
y x =±D ．y x =± 9、已知双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线
24y x =的准线分别交于,A B 两点,O 为坐标原点.若AOB ∆的面积为3,则双曲线的离心率为（ ）
A ．
34 B ．3
2
C ． 2
D ．3 10、设F 为抛物线x y 82
=的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r
，则
||||||FA FB FC ++u u u r u u u r u u u r = （ ）
A ．6
B ．9
C ．12
D ．16
11、已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为 （ ）
A ．
26 B ．36 C ．23 D ．2
2
12、椭圆22
:143
x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是
[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（
） A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， C ．112⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，
D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
二、填空题（每小题5分，共20分） 13、复数
5
34+i
的共轭复数是 14．由图(1)有关系
PB
PA PB PA S S PAB B PA ⋅⋅=
∆∆/
///，则由图(2)有关系'''P A B C P ABC V V --= ；
（1） （2）
15、若直线20(0,0)-+=>>ax by a b 被圆22
4410++--=x y x y 所截得的弦长为6，则23+a b
的最小值为________．
16、过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A
在y 轴左侧），则AF
FB
=________． 三、解答题
17、（本题满分10分）已知命题p ：27100x x -+≤，命题q ：()()2
2110x x a a -+-+≤，(0)a >，
若“⌝p ”是“⌝q ”的必要而不充分条件，求a 的取值范围
18、（本题满分12分）已知命题p ：方程
221211x y k k +=--表示椭圆；q ：方程22
143
x y k k +=--表示双曲线. 若“p 或q ”为真，“p 且q ” 为假，求实数k 的取值范围.
19、（本题满分12分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，已知AC ＝BC = AA 1=a ，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1 中点．（1）求证：C 1D ⊥平面A 1B 1BA ； （2）请问, 当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明你的结论．20、（本题满分12分）如图1，直角梯形ABCD 中，
//,90AD BC ABC ∠=o
，,E F 分别为边AD 和BC 上的点，且
//EF AB ，2244AD AE AB FC ====．将四边形EFCD 沿EF 折起成如图2的位置，使AD AE =．
（1）求证：BC //平面DAE ； （2）求四棱锥D AEFB -的体积.
21、（本题满分12分）设抛物线C ：px y 22=)0(>p 的焦点为F ，过F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于),(11y x A ，),(22y x B 两点，且421-=y y ．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）若1=k ，O 为坐标原点，求OAB ∆的面积．
A B E
F C
D
A C D
E F B 图1
图2
22.（本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b
+=>> , 经过点P 3(1,)2，离心率是3
2. (I) 求椭圆C 的方程；
(II) 设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点．
南昌三中高二数学（文）期末考试试题
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．直线310x y -+=的倾斜角为( A ． )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
2、直线()011:1=-+-y x a l 和023:2=++ay x l 垂直，则实数a 的值为（D ） A ．
21 B ．23 C ．41 D ．4
3 3、 已知a ，b 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面,下列命题中正确的是（D ） A 、 //a b ，//b α，则//a α B 、 a ，b α⊂，//a β，//b β，则//αβ C 、 a α⊥，//b α，则a b ⊥ D 、 当a α⊂，且b α⊄时，若b ∥α，则a ∥b 4、下列说法错误．．
的是(A ) A ．“0<ab ”是“方程12
2
=+by ax 表示双曲线”的充分不必要条件 B ．命题“若0=a ，则0=ab ”的否命题是：“若0≠a ，则0≠ab ”
C ．若命题p ：存在01,2
=+-∈x x R x ，则命题p 的否定：对任意01,2
≠+-∈x x R x D ．若命题“非p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题 5、已知抛物线24y ax =，则其准线方程是A
A ．116y a =-
B ．x a =-
C ．1
16y a
=± D ． x a =± 6、 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为A
A.12
B. 1
C.34
D.
32
7、给出两个命题：p ：平面内直线l 与抛物线2
2y x =有且只有一个交点，则直线l 与该抛物线相
切；命题q ：过双曲线2
2
14
y x -=右焦点F 的最短弦长是8。

则( B ) A ．q 为真命题 B ．“p 或q ”为假命题 C ．“p 且q ”为真命题 D ．“p 或q ”为真命题
8、已知双曲线22
22:1x y C a b
-=(0,0)a b >>的离心率为错误!未指定书签。

,则C 的渐近线方程为
（ C ） A ．14
y x =± B ．13
y x =±
C ．12
y x =±
D ．y x =±
9、已知双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物线2
4y x =的准线分别交于,A B 两
点,O 为坐标原点.若AOB ∆3,则双曲线的离心率为（ C ）
A ．34
B ．32
C ． 2
D 3
10、设F 为抛物线x y 82
=的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r
，则
||||||FA FB FC ++u u u r u u u r u u u r = （ C ）
A ．6
B ．9
C ．12
D ．16
11、已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O
的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为 （ A ） A ．
2
6
B 3
C ．
23
D ．
22
12、椭圆22
:143
x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是
[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（
B ）
A ．13
24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
C ．112⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，
D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
二、填空题（每小题5分，共20分） 13、复数
5
34+i
的共轭复数是
1
11
1
14．由图(1)有关系
PB
PA
PB
PA
S
S
PAB
B
PA
⋅
⋅
=
∆
∆
/
/
/
/
，则由图(2)有关系'''
P A B C
P ABC
V
V
-
-
=；
（1）（2）
15、若直线20(0,0)
-+=>>
ax by a b被圆224410
++--=
x y x y所截得的弦长为6，则
23
+
a b 的最小值为526
+．
16、过抛物线22(0)
x py p
=>的焦点F作倾角为30o的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则AF
FB
=
1
3
．
三、解答题
17、（本题满分10分）已知命题p：27100
x x
-+≤，命题q：()()
22110
x x a a
-+-+≤，(0)
a>，若“⌝p”是“⌝q”的必要而不充分条件，求a的取值范围
解：27100
x x
-+≤25
x
⇒≤≤，22
21011
x x a a x a
-+-≤⇒-≤≤+，
∵P是q的充分不必要条件，∴{|25}
x x
≤≤{|11}
x a x a
-≤≤+，
∴
12
4
15
a
a
a
-≤
⎧
⇒≥
⎨
+≥
⎩。

18、（本题满分12分）已知命题p：方程
22
1
211
x y
k k
+=
--
表示椭圆；q：方程
22
1
43
x y
k k
+=
--
表示双曲线. 若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数k的取值范围.
解：若命题p为真，则
210,
10,
211,
k
k
k k
->
⎧
⎪
->
⎨
⎪-≠-
⎩
解得1
k>；
若命题q为真，则(4)(3)0
k k
--<，解得3
k<或4
k>
由题意可知命题p与q一真一假
当p真q假时，则
1,
34,
k
k
>
⎧
⎨
≤≤
⎩
，解得34
k
≤≤；
当p假q真时，则
1,
34,
k
k k
≤
⎧
⎨
<>
⎩或
解得1
k≤.
综上，实数k的取值范围1
k≤或34
k
≤≤.
19、（本题满分12分）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AC ＝BC = AA1=a，∠ACB ＝90°，D 是A1B1中点．（1）求证：C1D ⊥平面A1B1BA ；（2）请问, 当点F 在BB1上什么位置时，会使得AB1
⊥平面C1DF ？并证明你的结论．解：（1）
111
AC=BC, A B C
∴∆
Q为等腰三角形，
又11111,
A D D
B
C
D A B =∴⊥Q
1111AA A B C ∴⊥底面，11111111,C D AA AA A B A CD A B BA ∴⊥=∴⊥Q I ，又面 （2）由（1）可得：11C D AB ∴⊥， 又要使11AB C DF ⊥平面，只要1DF AB ⊥即可， 又11111190,,2ACB AC B AA AC BC a A B a ∠=∠=︒===∴=Q 且，
1111111111
,,DB B F
DEB AA B DB F B F a AA A B ∴
=∴=Q V :V :V 即当：F 点与B 点重合时，会使11AB C DF ⊥平面，
20、（本题满分12分）如图1，直角梯形ABCD 中，//,90AD BC ABC ∠=o
，
,E F 分别为边AD 和BC 上的点，且//EF AB ，2244AD AE AB FC ====．将四边形EFCD 沿EF 折起成如图2的位
置，使AD AE =．
（1）求证：BC //平面DAE ； （2）求四棱锥D AEFB -的体积.
解 （1）证：//,//,,CF DE FB AE BF CF F AE DE E ==Q I I
∴面//CBF 面DAE 又BC ⊂面CBF 所以BC //平面DAE
（2）取AE 的中点H ，连接DH ,EF ED EF EA EF ⊥⊥∴⊥Q 平面DAE 又DH ⊂平面
DAE EF DH ∴⊥2,3
AE ED DA DH AE DH ===∴⊥=Q DH ∴⊥面AEFB
所以四棱锥D AEFB -的体积14332233
V =
⨯⨯⨯= 21、（本题满分12分）设抛物线C ：px y 22=)0(>p 的焦点为F ，过F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于),(11y x A ，),(22y x B 两点，且421-=y y ．
（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；
（Ⅱ）若1=k ，O 为坐标原点，求OAB ∆的面积．
A B F C D
A C D
E F B 图1 图2
试题解析：（Ⅰ）)0,2(
p F ，设直线AB 的方程为)2
(p
x k y -=， 联立⎪⎩
⎪⎨⎧
=-=px y p x k y 2)2(2，消x ，得：0222=--kp py ky ，
4221-=-=∴p y y ，从而2=p ，抛物线C 的方程为x y 42=． （Ⅱ）由已知，)0,1(F ，直线AB 的方程为1-=x y ，
联立⎩
⎨⎧=-=x y x y 412，消x ，得0442
=--y y ，所以⎩⎨⎧-==+442121y y y y ，
8)4(442||2=-⨯-⋅=∴AB
又ΘO 到直线AB 的距离2
2
2
1=
=
d ， 故1282222
OAB S ∆=
⨯⨯= 22、（本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b
+=>> , 经过点P 3(1,2，离心率是3
2. (I) 求椭圆C 的方程；
(II) 设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点．
解：（I ）由222221
3343a b c
a
a b c ⎧+=⎪⎪
⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩
，解得 21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的方程是
2214x y += .
（II ） （1）由题意可知，直线l 的斜率为0时，不合题意.
(2)不妨设直线l 的方程为 x ky m =+．
由22
,14x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩
消去x 得222(4)240k y kmy m +++-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有12224
km
y y k +=-+……①, 212244m y y k -=+………②
因为以AB 为直径的圆过点M ，所以0MA MB ⋅=u u u r u u u r
．
由1122(2,),(2,)MA x y MB x y =-=-u u u r u u u r
，得1212(2)(2)0x x y y --+=．
将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，
得221212(1)(2)()(2)0k y y k m y y m ++-++-=. ……… ③
将①②代入③，得 22516120
4
m m k -+=+，
解得6
5
m =
或2m =（舍）． 综上，直线l 经过定点6
(,0).5。