人教版九年级下学期第二十八章 锐角三角函数单元练习题(含答案)

人教版九年级下学期第二十八章锐角三角函数单元练习题（含答案）
一、选择题
1.已知∠A是锐角，且cos A＝，那么∠A等于()
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
2.如图，热气球从空中的A处看一栋楼的顶部仰角为30°，看这栋楼的俯角为60°.热气球与楼的水平距离为120 m．这栋楼的高度为()
A．160 m
B．160m
C．(160－160) m
D．360 m
3.若∠A＋∠B＝90°，且cos B＝，则sin A的值为()
A．
B．
C．
D．
4.在Rt△ABC中，若各边长都缩小5倍，则sin A的值()
A．变大
B．变小
C．不变
D．不能确定
5.如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12,5)，则sinα等于()
A．
B．
C．
D．
6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,3)，那么cosα的值是()
A．
B．
C．
D．
7.如图所示，△ABC的顶点是正方形网络的格点，则tan A的值为()
A．
B．
C．
D．3
8.如图，AC是旗杆AB的一根拉线，测得BC＝6米，∠ACB＝50°，则拉线AC的长为()
A．6sin 50°
B．6cos 50°
C．
D．
9.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝，则AB的长是()
A．2
B．8
C．2
D．4
10.如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4 m．如果在坡比为i ＝1∶的山坡上种树，也要求株距为4 m，那么相邻两树间的坡面距离为()
A．5 m
B．6 m
C．7 m
D．8 m
二、填空题
11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若c＝4a，则tan A＝__________.
12.如图，圆锥的母线长为11 cm，侧面积为55π cm2，设圆锥的母线与高的夹角为α，则cosα的值为________．
13.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，点A、B、O均在格点处，则cos ∠AOB ＝__________.
14.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，sin B＝，则BC＝____________.
15.已知∠α与∠β互补，且∠α＝120°，则∠β的正弦值为________．
16.已知α与β互为余角，且cos (115°－α＋β)＝，则α＝__________，β＝__________.
17.已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时(如图1)，AB与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时(如图2)，AB与地面的夹角的正弦值为，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH＝____________米．
18.若2cosα－＝0，则锐角a的度数为__________．
19.已知cos A＝，其中∠A为锐角，则∠A＝__________.
20.在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，高为AB.当太阳光与水平线成60°角时，测得该树在斜坡上的树影BC的长为8 m，则树高AB＝____________m.
三、解答题
21.在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4,1)，B(－1,3)，C(－4,3)，试求tan B 的值．
22.课堂上我们在直角三角形中研究了锐角的正弦，余弦和正切函数，与此类似，在Rt△ABC
中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cot A＝.
(1)若∠A＝45°，则cot 45°＝__________；若∠A＝60°，则cot 60°＝__________；
(2)探究tan A·cot A的值．
23.王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC＝20 cm，BC＝18 cm，∠ACB＝50°，王浩的手机长度为17 cm，宽为8 cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．(提示：sin 50°≈0.8，cos 50°≈0.6，tan 50°≈1.2)
24.如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度(结果保留根号)．
25.如图，锐角△ABC中，AB＝10 cm，BC＝9 cm，△ABC的面积为27 cm2.求tan B的值．
26.利用计算器求下列各角(精确到1″)
(1)sin A＝0.75，求∠A；
(2)cos B＝0.888 9，求∠B；
(3)tan C＝45.43，求∠C；
(4)tan D＝0.974 2，求∠D.
27.我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处
的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为75海里．
(1)求B点到直线CA的距离；
(2)执法船从A到D航行了多少海里？(结果保留根号)
28.如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，AC＝3，求AB的长．
答案解析
1.【答案】A
【解析】∵∠A是锐角，cos A＝，
∴∠A＝30°.
故选A.
2.【答案】B
【解析】由题意可得，
∠BAD＝30°，∠DAC＝60°，AD＝120 m，
∴tan 30°＝，tan 60°＝，
解得BD＝40，CD＝120，
∴BC＝BD＋CD＝160，
故选B.
3.【答案】B
【解析】由题意得
sin A＝cos B＝，
故选B.
4.【答案】C
【解析】根据锐角三角函数的定义，知
若各边长都缩小5倍，则∠A的大小没有变化，所以sin A的值不变．故选C.
5.【答案】A
【解析】过P作PE⊥x轴于E，
∵P(12,5)，
∴PE＝5，OE＝12，
∴OP＝＝13，
∴sinα＝＝，
故选A.
6.【答案】D
【解析】过A作AB⊥x轴于B，
∵A(4,3)，
∴PB＝3，OB＝4，
由勾股定理得OA＝＝5，
所以cosα＝＝.
故选D.
7.【答案】B
【解析】设每个小正方形边长为1，如图，作BD⊥AC的延长线于D，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，BD＝2，AD＝6，
∴tan A＝＝.
故选B.
8.【答案】D
【解析】∵BC＝6米，∠ACB＝50°，
∴拉线AC的长为＝，
故选D.
9.【答案】C
【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
∴tan A＝，
∵AC＝4，tan A＝，
∴BC＝AC·tan A＝2，
∴AB＝＝＝2.
故选C.
10.【答案】A
【解析】∵水平距离为4 m，坡比为i＝1∶，
∴铅直高度为×4＝3 m.
根据勾股定理可得：
坡面相邻两株数间的坡面距离为＝5(m)．
故选A.
11.【答案】
【解析】设a＝x，则c＝4x，
由勾股定理得b＝x，
tan A＝＝，
故答案为.
12.【答案】
【解析】设圆锥底面半径长为r cm，由题意l＝11 cm，由圆锥的侧面及公式，得πrl＝55π.
r＝5.
由勾股定理，得
高为＝4，
cosα＝.
13.【答案】
【解析】如图，连接AB，过A作AD⊥OB于点D，
设每个小正方形边长为1，
∵S△AOB＝3×3－×1×3×2－×2×2＝4，
由勾股定理可得OA＝OB＝，
∴AD＝＝，
∴OD＝，
∴cos ∠AOB＝＝，
故答案为.
14.【答案】4
【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，sin B＝，
∴sin B＝＝＝，
得AC＝2，
∴BC＝＝＝4.
15.【答案】
【解析】∵∠α与∠β互补，且∠α＝120°，
∴∠β＝180°－120°＝60°，
sin 60°＝.
16.【答案】80°10°
【解析】∵cos (115°－α＋β)＝，
∴115°－α＋β＝45°，
又∵α与β互为余角，
∴α＋β＝90°，
解得α＝80°，β＝10°.
17.【答案】
【解析】设OH＝x，
∵当AB的一端点A碰到地面时，AB与地面的夹角为30°，
∴AO＝2x m，
∵当AB的另一端点B碰到地面时，AB与地面的夹角的正弦值为，∴BO＝3x m，
则AO＋BO＝2x＋3x＝3，
解得x＝.
18.【答案】30°
【解析】由2cosα－＝0，得
cosα＝，
则α＝30°.
19.【答案】60°
【解析】∵cos A＝，∠A为锐角，
∴∠A＝60°.
20.【答案】8
【解析】作BD⊥AC于点D，
易得∠ACB＝45°，∠CAB＝30°，
∵BC＝8，
∴BD＝4，
∴AB＝2DB＝8(m)．
故答案为8.
21.【答案】解如图，AC＝2，BC＝3，
tan B＝＝.
【解析】作出图形，然后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．
22.【答案】解(1)由题意得：cot 45°＝1，cot 60°＝；
(2)∵tan A＝，cot A＝，
∴tan A·cot A＝·＝1.
【解析】(1)根据题目所给的信息求解即可；
(2)根据tan A＝，cotA＝，求出tan A·cot A的值即可．
23.【答案】解王浩同学能将手机放入卡槽AB内．
理由：作AD⊥BC于点D，
∵∠C＝50°，AC＝20 cm，
∴AD＝AC·sin 50°＝20×0.8＝16 cm，
CD＝AC·cos 50°＝20×0.6＝12 cm，
∵BC＝18 cm，
∴DB＝BC－CD＝18－12＝6 cm，
∴AB＝＝＝，
∵17＝＜，
∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内．
【解析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和CD的长，进而可以求得DB的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题．
24.【答案】解作CD⊥AB交AB的延长线于点D，如图所示，
由已知可得，
AB＝8米，∠CBD＝45°，∠CAD＝30°，
∴AD＝，BD＝，
∴AB＝AD－BD＝－，
即8＝－，
解得CD＝4＋4，
即生命所在点C的深度是(4＋4)米．
【解析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据特殊角的三角函数值，即可求得生命所在点C的深度．
25.【答案】解过点A作AH⊥BC于H，
∵S△ABC＝27，
∴×9×AH＝27，
∴AH＝6，
∵AB＝10，
∴BH＝＝＝8，
∴tan B＝＝＝.
【解析】根据题意画出图形，由三角形的面积公式求出AH的长，再由勾股定理求出BH的长，最后由锐角三角函数的定义即可解答．
26.【答案】解(1)∵sin A＝0.75，
∴∠A≈48.59°≈48°35′；
(2)∵cos B＝0.888 9，
∴∠B≈27°16′；
(3)∵tan C＝45.43，
∴∠C≈88°44′；
(4)∵tan D＝0.974 2，
∴∠D≈44°15′.
【解析】直接利用计算器计算即可．
27.【答案】解(1)过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，
∵∠MBC＝60°，
∴∠CBA＝30°，
∵∠NAD＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠BCA＝180°－∠BAC－∠CBA＝30°，
∴BH＝BC×sin ∠BCA＝150×＝75(海里)．
答：B点到直线CA的距离是75海里；
(2)∵BD＝75海里，BH＝75海里，
∴DH＝＝75海里，
∵∠BAH＝180°－∠BAC＝60°，
在Rt△ABH中，tan ∠BAH＝＝，
∴AH＝25海里，
∴AD＝DH－AH＝(75－25)(海里)．
答：执法船从A到D航行了(75－25)海里．
【解析】(1)过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，根据三角函数可求BH的长即为所求；
(2)根据勾股定理可求DH，在Rt△ABH中，根据三角函数可求AH，进一步得到AD的长．28.【答案】解过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠B＝60°，∠C＝75°，
∴∠A＝45°，
在△ADC中，AC＝3，
∵sin A＝，
∴AD＝sin 45°×3＝3＝CD，
在△BDC中，∠DCB＝30°，
∵tan ∠BCD＝，
∴BD＝tan 30°×3＝，
∴AB＝＋3.
【解析】过点C作CD⊥AB于点D，先根据三角形内角和定理计算出∠A＝45°，在Rt△ADC 中，利用∠A的正弦可计算出CD，进而求得AD，然后在Rt△BDC中，利用∠B的余切可计算出BD，进而就可求得AB.
人教版九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元测试一、选择题
1、3tan60°的值为（）
A． B． C． D．3
2、sin45°的值等于（）
A． B．1 C． D．
3、在直角△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c，那么下列关系中，正确的是（）
A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=
4、在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值为（）
A． B． C．2 D．
5、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosB的值是（）
A． B． C． D．
6、在Rt△ABC中，∠C=90º，，则的值为
A． B．C．D．
7、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（）
A．4 B．6 C．8 D．10
8、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）
A． 3cm B． 6cm C．cm D．cm
9、如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )
A．10海里 B．(10－10)海里 C．10海里 D．(10－10)海里
二、填空题
10、计算：= .
11、如下图：直角三角形纸片的两直角边长分别为4，8，现将如图那样折叠，使点与
点重合，折痕为，则的值是．
12、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调
整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已
知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，
CD=8m，则树高AB=__________]m．
13、．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为．
14、如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5米，则坝底AC的长度
是米．
15、全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外，如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD＝10米，则此塑像的高AB约为___米．(参考数据：tan78°12′≈4.8)
16、如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N两点关于对角线AC对称，若DM=1，则tan∠ADN= ．
三、计算题
17、计算：3tan30°﹣2tan45°+2sin60°+4cos60°．
18、计算：．
四、简答题
19、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC∶AC＝3∶4，求∠A的三个三角函数值．
20、如图，九（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，
标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水
平距离，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点
A在同一直线，求旗杆的高度．
21、小刚学想测量灯杆AB的高度，结果他在D处时用测角仪测灯杆顶端A的仰角
∠AEG=30°，然后向前走了8米来到C处，又测得A的仰角∠AFG=45°，又知测角仪高1.6米，
求灯杆AB的高度．（结果保留一位小数；参考数据：≈1.73）
22、如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A．C之间选择一点B（A．B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．
（1）求点B到AD的距离；
（2）求塔高CD（结果用根号表示）．
23、山西绵山是中国历史文化名山，因春秋时期晋国介子推携母隐居于此被焚而著称，如图1，是绵山上介子推母子的塑像，某游客计划测量这座塑像的高度，由于游客无法直接到达塑像底部，因此该游客计划借助坡面高度来测量塑像的高度；如图2，在塑像旁山坡坡脚A处测得塑像头顶C的仰角为75°，当从A处沿坡面行走10米到达P处时，测得塑像头顶C的仰角刚好为45°，已知山坡的坡度i=1：3，且O，A，B在同一直线上，求塑像的高度．（侧倾器高度忽略不计，
结果精确到0.1米，参考数据：cos75°≈0.3，tan75°≈3.7，≈1.4，≈1.7，
≈3.2）
24、如图，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，桥DC和AB平行，桥DC与桥EF的长相等．
（1）求点D到直线AB的距离；
（2）现在从A地到B地可比原来少走多少路程？
（结果保留小数点后一位．参考数据：≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）．
25、甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：
（1）港口A与小岛C之间的距离；
（2）甲轮船后来的速度．
26、如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在北偏东60°方向上，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在北偏东45°方向上，问客轮不改变方向继续前进有无触礁危险？
参考答案
一、选择题
1、D【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】把tan60的数值代入即可求解．
【解答】解：3tan60°=3×=3．
故选D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键．
2、D【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角的三角函数值得出即可．
【解答】解：sin45°=，
故选D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中．
3、C【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．
【解答】解：在直角△ABC中，∠C=90°，则
A、cosA=，故本选项错误；
B、tanA=，故本选项错误；
C、sinA=，故本选项正确；
D、cosA=，故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
4、C【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】网格型．
【分析】根据“角的正切值=对边÷邻边”求解即可．
【解答】解：由图可得，tanα=2÷1=2．
故选C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是解决此题的关键．
5、C【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据在直角三角形中，余弦为邻边比斜边，可得答案．
【解答】解：△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，得
cosB==，
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
6、B
7、D【考点】解直角三角形．
【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6，
∴AB===10，
故选D
8、D
9、D
二、填空题
10、；
11、
12、 5.5
13、．
考点：解直角三角形；特殊角的三角函数值．
分析：重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AB，再求出面积．
解答：解：∵AC=，
∴它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为：
×1=．
故答案为：．
14、．
【解析】
试题分析：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，∴BC：A C=1：，∵堤高BC=5米，∴
坝底AC=米．故答案为：．
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
15、58_
16、【考点】正方形的性质；轴对称的性质；锐角三角函数的定义．
【分析】M、N两点关于对角线AC对称，所以CM=CM，进而求出CN的长度．再利用∠ADN=∠DNC 即可求得tan∠ADN．
【解答】解：在正方形ABCD中，BC=CD=4．
∵DM=1，
∴CM=3，
∵M、N两点关于对角线AC对称，
∴CN=CM=3．
∵AD∥BC，
∴∠ADN=∠DNC，
∵tan=∠DNC==，
∴tan∠ADN=．
故答案为：．
三、计算题
17、原式=2．
18、.解：原式=1+﹣1+2﹣=2
四、简答题
19、
20、AB＝13.5 m
21、【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】设AG的长为x米，根据正切的概念分别表示出GF、GE的长，计算即可得到AG，求出AB即可．
【解答】解：设AG的长为x米，
在Rt△AGE中，EG==x，
在Rt△AGF中，GF=AG=x，
由题意得，x﹣x=8，
解得，x≈10.9，
则AB=AG+GB≈12.5米，
答：灯杆AB的高度约为12.5米．
22、解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，
∵AB=40m，∠A=30°，
∴BE=AB=20m，AE==20m，
即点B到AD的距离为20m；
（2）在Rt△ABE中，
∵∠A=30°，
∴∠ABE=60°，
∵∠DBC=75°，
∴∠EBD=180°﹣60°﹣75°=45°，
∴DE=EB=20m，
则AD=AE+EB=20+20=20（+1）（m），
在Rt△ADC中，∠A=30°，
∴DC==（10+10）m．
答：塔高CD为（10+10）m．
23、【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F，设PE=x，则AE=3x，在Rt△AEP中根据勾股
定理可得PE=，则AE=3，设CF=PF=m米，则OC=（m+）米、OA=（m
﹣3）米，在Rt△AOC中，由tan75°=求得m的值，继而可得答案．
【解答】解：过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F，
∵i=1：3，AP=10，
设PE=x，则AE=3x，
在Rt△AEP中，x2+（3x）2=102，
解得：x=或x=﹣（舍），
∴PE=，则AE=3，
∵∠CPF=∠PCF=45°，
∴CF=PF，
设CF=PF=m米，则OC=（m+）米，OA=（m﹣3）米，
在Rt△AOC中，tan75°==，即m+=tan75°•（m﹣3），
解得：m≈14.3，
∴OC=14.3+≈17.5米，
答：塑像的高度约为17.5米．
24、【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，根据平行四边形的判定得出DCBG为平行四边形，在Rt△DGH中，根据DH=DG•sin37，即可求出点D到直线AB的距离；
（2）根据（1）先求出GH、AD和AH的长，再根据两条路线路程之差为AD+DG﹣AG，代值计算即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，
∵DC∥AB，
∴四边形DCBG为平行四边形．
∴DC=GB，GD=BC=11．
在Rt△DGH中，
DH=DG•sin37°≈11×0.60=6.60，
∴点D到直线AB的距离是6.60km；
（2）根据（1）得：
GH=DG•cos37°≈11×0.80≈8.80，
在Rt△ADH中，
AD=DH≈1.41×6.60≈9.31．
AH=DH≈6.60，
∵两条路线路程之差为AD+DG﹣AG，
∴AD+DG﹣AG=（9.31+11）﹣（6.60+8.80）≈4.9（km）．
即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km．
25、【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】（1）根据题意画出图形，再根据平行线的性质及直角三角形的性质解答即可．
（2）根据甲乙两轮船从港口A至港口C所用的时间相同，可以求出甲轮船从B到C所用的时间，又知BC间的距离，继而求出甲轮船后来的速度．
【解答】解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：
由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，
在Rt△ABD中，
∵AB=30海里，∠BAC=30°，
∴BD=15海里，AD=ABcos30°=15海里，
在Rt△BCD中，
∵BD=15海里，∠BCD=45°，
∴CD=15海里，BC=15海里，∴AC=AD+CD=15+15海里，即A、C间的距离为（15+15）海里．
（2）∵AC=15+15（海里），
轮船乙从A到C的时间为=+1，
由B到C的时间为+1﹣1=，
∵BC=15海里，
∴轮船甲从B到C的速度为=5（海里/小时）．
26、解：过P作PC⊥AB于C点，如图，
据题意知AB＝9×＝3，∠PAB＝90°－60°＝30°，[ ∠PBC＝90°－45°＝45°，∠PCB＝90°，∴PC＝BC.
在Rt△APC中，tan 30°＝＝＝，
即＝，∴PC＝海里＞3海里，
∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险．
人教版九年级数学下册第二十八章 锐角三角函数 单元测试题（含答案）
一、选择题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
1．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，tan A ＝12，则下列判断正确的是( )
A ．∠A ＝30°
B ．A
C ＝1
2
C ．AB ＝2
D ．AC ＝2
2．在△ABC 中，∠A ，∠C 都是锐角，且sin A ＝
32
，tan C ＝3，则△ABC 的形状是( )
图1
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．等边三角形
D ．不能确定
3．如图2，直线y ＝3
4
x ＋3与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，则cos ∠BAO 的值是( )
图2
A.45
B.35
C.43
D.54
4．如图3，一河坝的横断面为梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，坝顶BC 宽10米，坝高BE 为12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( )
图3
A ．26米
B ．28米
C ．30米
D ．46米
5．如图4，某时刻海上点P 处有一客轮，测得灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/时的速度沿北偏西60°方向航行23小时到达B 处，那么tan
∠ABP 的值为( )
图4
A.12
B ．2 C.
5
5
D.2 55
6．如图5，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，以点A 为圆心，BC 长为半径画弧交AB 于点D ，分别以点A ，D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧在AB 的下方交于点E ，连接AE ，DE ，则∠EAD 的余弦值是( )
图5
A.3
12
B.3
6
C.3
3
D.32
7．聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔是本市现存最古老的建筑．如图6，测绘师在离铁塔10米的点C 处测得塔顶A 的仰角为α，他又在离铁塔25米的点D 处测得塔顶A 的仰角为β.若tan αtan β＝1，点D ，C ，B 在同一条直线上，则测绘师测得铁塔的高度约为(参考数据：10≈3.162)( )
图6
A ．15.81米
B ．16.81米
C ．30.62米
D ．31.62米
二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分) 8．计算：cos30°＋3sin30°＝________. 9．若α为锐角，且tan(α＋20°)＝
3
3
，则α＝_____________. 10．如图7所示的网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是________．
图7
11．如图8，一山坡的坡度为i ＝1∶3，小辰从山脚A 出发，沿山坡向上走了200米到达点B ，则小辰上升了________米．
图8
12．如图9，菱形ABCD 的周长为20 cm ，且tan ∠ABD ＝4
3，则菱形ABCD 的面积为
________cm 2.
图9
13．如图10所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝45°，AC 的垂直平分线与AB ，AC 分别交于点D ，E ，连接CD .如果AD ＝1，那么tan ∠BCD ＝________.
图10
14．如图11所示，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME ＝EF 且EF ∥MN ，则cos E ＝________.
图11
三、解答题(本大题共4小题，共44分)
15．(8分)计算：|－3|＋3tan30°－12－(2020－π)0.
16．(10分)如图12，在▱ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10.
(1)求证：∠BEC＝90°；
(2)求cos∠DAE的值．
图12
17．(12分)如图13，为了测出旗杆AB的高度，在旗杆前的平地上选择一点C，测得旗杆顶部A的仰角为45°，在C，B之间选择一点D(C，D，B三点共线)，测得旗杆顶部A的仰角为75°，且CD＝8 m.
(1)求点D到CA的距离；
(2)求旗杆AB的高．
图13
18．(14分)如图14，皋兰山某处有一座信号塔AB，山坡BC的坡度为1∶3，现为了测量塔高AB，测量人员选择山坡C处为一测量点，测得∠DCA＝45°，然后他沿着山坡向上行走100 m到达点E处，再测得∠FEA＝60°.
(1)求山坡BC的坡角∠BCD的度数；
(2)求塔顶A到CD的铅直高度AD(结果保留整数，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)．
图14
答案1．D
2．C
3．A
4．D
5．A
6．B
7．A[
8．[答案] 3
9．[答案] 10°
10．[答案] 1 2
11．[答案] 100 12．[答案] 24 13．[答案] 2－1
14．[答案] 1 2
15．解：原式＝3＋3×
3
3－2 3－1＝3－2 3.
16．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，DC∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB.
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE＝10，∴BC＝10.
∵62＋82＝102，即CE2＋BE2＝BC2，
∴∠BEC＝90°.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC＝CE＋DE＝16.
∵AB∥CD，
∴∠ABE ＝∠BEC ＝90°，
∴AE ＝AB 2＋BE 2＝162＋82＝8 5， ∴cos ∠DAE ＝cos ∠EAB ＝AB AE ＝168 5＝2 55
.
17．解：(1)如图，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则DE ＝CD ·sin45°＝8×2
2＝4 2(m)．
答：点D 到CA 的距离为4 2 m.
(2)∵∠ADB ＝75°，∠C ＝45°， ∴∠CAD ＝∠ADB －∠C ＝30°.
在Rt △ADE 中，AE ＝DE tan ∠CAD ＝4 2÷33＝4 6(m)．
∵∠C ＝45°，∠CED ＝90°， ∴△CDE 是等腰直角三角形， ∴CE ＝DE ＝4 2 m ，
∴AC ＝AE ＋CE ＝(4 6＋4 2)m ，
∴AB ＝AC ·sin C ＝(4 6＋4 2)×2
2＝(4 3＋4)m.
答：旗杆AB 的高为(4 3＋4)m. 18．解：(1)依题意，得tan ∠BCD ＝
13＝3
3
，∴∠BCD ＝30°.
(2)如图，过点E 作EG ⊥CD 于点G . ∵∠DCA ＝45°，∠BCD ＝30°， ∴∠ACE ＝15°，∠DAC ＝45°. ∵∠AEF ＝60°， ∴∠EAF ＝30°. ∵∠DAC ＝45°，
∴∠EAC＝∠DAC－∠EAF＝15°，
∴∠ACE＝∠EAC，∴AE＝CE＝100 m.
在Rt△AEF中，∠AEF＝60°，
∴AF＝AE·sin60°＝50 3 m.
在Rt△CEG中，CE＝100 m，∠ECG＝30°，
∴EG＝CE·sin30°＝50 m，
∴AD＝AF＋FD＝AF＋EG＝50 3＋50≈137(m)．答：塔顶A到CD的铅直高度AD约为137 m.。