一元微积分几何应用

微分元素 S(x)d x
例11 解
求以圆为底, 以平行且等于该圆直径的线段为顶, 高为 h 的正劈锥的体积 .
y
h
h
y
|y| |y|
a
Ox a x
x2 y2 a2
| y | a2 x2 .
S(x) 1 (2 | y | ) h | y | h h a2 x2. 2
h a2 sin 2 d 1 h a2 .
0
2
四、弧长及其计算方法
1 平面曲线弧长的定义
在弧 AB 上, 任意取分点 A M0, M1,, 将 AB 弧分成 n 个小段 : Mi1Mi ( i 1,
y
Mn1, Mn 2,, n ).
BM MA0
1
0
0
a3
2
(1
cos t )3
d
t
展开

5a3
.
0
三、平行截面面积为已知的几何体的体积
y
S ( x)
Oa
x
b
x
设几何体 A 被垂直于x 轴的平面所截得的面积S(x).
若 S(x) C([a, b]), 则几何体 A 位于区间[a, b] 上的体积为
b
V a S(x) d x.
A
由图可以看出 :
选择 y 为积分变量比选择x 为积分变量好.
积分区间为 y [2, 4].
(2) 求微分元素 d A (( y 4) 1 y2 ) d y . 2
(3) 计算面积
A 4 (( y 4) 1 y2 ) d y 18.
2
2
2 参数方程形式下平面图形的面积
y
解 由对称性, 只需求出
2
第一象限中的面积A1, 然 后乘以 4 即可.
t

O
ax
(1) 积分区间 x : 0 a 时, t : 0 .
2
(2) 微分元素
3
2
d A1 | y | d x a sin 3 t d(a cos3 t) 3a2 sin 4 t cos2 t d t .
x2 2

x3 3
]
1 2

4
1 2
.
求曲线 y x2 , 直线 y x, y 2x 所围 例2 平面图形的面积.
解 (1) 求积分区间: 联立方程组
y x2 y x
y x2 y 2x
y x y 2x
求得交点为 A(1,1), B(2, 4), O(0, 0) .
例11 解
求以圆为底, 以平行且等于该圆直径的线段为顶,
高为 h 的正劈锥的体积 .
积分区间 : x [a, a].
a 计算体积:
令 x a cos
y
微分元素:
h dV h a2 x2 d x.
y
Ox a x
V h a a2 x2 d x a
正劈锥的体积等于 同底、同高的圆柱 体体积的一半.
求量 A的步骤如下 :
(1) 在区间[a,b]中任取一小区间[x, x d x];
(2) 求出A 在小区间上的部分量的近似值A , 记为 A f (x) d x (微分元素为 d A f (x) d x)
(3) 计算定积分求出量A 在区间[a, b] 上的值
b
b
A a d A a f (x)d x .
解 (1) 求积分区间 x : 0 2 a 时, t : 0 2 .
(2) 求微分元素
y
at O
2 a x
d A | y | d x a(1 cost) d(a(t sin t)) a2 (1 cost)2 d t.
(3) 计算面积
A
2 a
| y|dx

1

y
4
d
y

2 (2 y2 ) d y 20 2 22 .
0
1
15
有其它的计算方法吗?
y y 2 x2
( 2 ) 绕 y 轴旋转
M y x
如图所示, x [0, 1], x 0, 平面图形绕 y 轴旋转时, 小矩形生成
Ox 1 x x
一、平面图形的面积
y
直角坐标系中平面图形的面积
y f (x)
xa Oa
y g(x)
xb
x x x b x
dA
任取 [x, x x] [a, b] , 则微分元素(面积元素)为
b
d A | f (x) g(x) | d x 于是, 所求面积为 A | f (x) g(x) | d x a
a
a
例8 解
求椭圆
x2 a2

y2 b2
1
绕
x 轴,
绕
y 轴旋转一周所生成的
旋转体的体积 .
(1) 绕 x 轴旋转(只需用上半椭圆)
y
b
积分区间 : x [a, a].
a
O
a x 微分元素: dV y2 d x
b

b2
a2
(a2

x2)d
x.
计算体积:
V
a
dV
a

b2
设曲线 L 的方程为 y (t) x (t)
点别对应于t 和 t .
t , L 的起终
若函数(t), (t) C1([, ]), 且 2 (t) 2 (t) 0,
则曲线L 是可求长的, 其弧长为
s 2 (t) 2 (t) d t.
(3) 所求面积
A 4A1 4
a
| y|dx 4
0
0
(3a
2
sin
4
t
cos2
t
)
d
t
12a2

2
2 (1 sin 2 t) sin 4 t d t
3 a2.
0
8
例5 求由摆线x a(t sin t), y a(1 cost) 的第一拱 (0 t 2 ) 与横轴 x 所围成的平面图形的面积.
y y 2 x2
1
M y x
微分元素:
O1
x
在区间[0, 1]上, dV1 x2 d y ( y2 )2 d y y4 d y.
在区间[1, 2] 上, dV2 x2 d y (2 y2 ) d y.
计算体积:
1
2
V V1 V2 0 dV1 1 dV2
如果曲线由参数方程给出:
x (t), y (t), t .
则将直角坐标系下的面 积公式按定积分换元法 处理即可.
此时要求函数(t) 和 (t) 满足定积分换元法的条件.
例4
求星形线x a cos3 t, y a sin 3 t, 0 t 2
所围成的平面图形的面 积.
求由连续曲线 x ( y ), x ( y )及 y c, y d
所围成的平面图形的面积的计算公式为
d
A c |( y ) ( y ) | d y . (c d )
求曲线 y x2 与直线 x y 2 所围成的 例1 平面图形的面积.
y
解 (1) 求积分区间
i 1
si
存在,
则称曲线 AB 是可求长的,
极限值为曲线 AB 的长度.
注：导数连续的光滑曲线是可求长的。
2 平面曲线弧长的计算公式
定理 设 y f (x) x [a, b]为光滑曲线, 其端点A, B 分别 对应于x a 和 x b, 则该曲线弧的长度为
s b 1 y2 d x . a
a2
a (a2 x2 ) d x 4 ab2 .
a
3
y
(2) 绕 y 轴旋转(只需用右半椭圆)
b
积分区间 : x [a, a].
a
O
ax
微分元素: dV x2 d y
b

a2
b2
(b2

y2)d
y.
计算体积:
V
b
dV
b

a2
b2
b (b2 y2 ) d y 4 a2b .
6.4 一元微积分的几何应用 ----面积、体积、弧长
一、平面图形的面积 二、旋转体的体积 三、平行截面面积为已知的几何体的体积 四、弧长及其计算方法 五、旋转体的侧面积
注意 在应用微分元素法时, 要求所计算的量A 具有可加性:
即在区间[a,b] 上, 量 A 总等于它在该区间的各个子区间上部 分量 A的和.
b
3
求圆弧 y 2 x2 与抛物线 y x 以及 y 轴所
例9
围成的平面图形绕x 轴, 绕 y 轴旋转一周所生成的旋
转体的体积 .
解 (1) 绕 x 轴旋转
可视为两个旋转体体积 之差.
积分区间 :
y x y 2 x2
y y 2 x2
1
M y x
Ox1
x
交点M (1, 1)
设曲线L 的方程为极坐标形式: r r( ) . 若函数 r( ) C1([, ]), 则曲线 L 是可求长的, 其弧长为
x [0, 1].
圆环的面积
微分元素: dV y2 d x [ ( 2 x2 )2 ( x)2 ]d x
计算体积:
V
1
dV
a (2 x x2)d x 7 .
0
a
6
( 2 ) 绕 y 轴旋转 积分区间 : y [0, 1][1, 2].
AB 与直线 y c, y d 以及 y 轴所围成的平面图形
绕 x 轴旋转一周所产生的旋 转体的体积.
类似于上面的作法可得 : 积分区间 : y [c, d ].
微分元素: dV x2 d y. dV (( y))2 d y.
计算体积:
V
b
dV
b

y
2
d
x.
x 一个壁厚为x 的空心圆柱体, 故微分 元素为
dV 2 x ( 2 x2 x) d x.
周长
高
厚
于是
V
1
dV
1
2 x(
2 x2
x) d x 20 2 22 .
0
0
15
例10 解
求摆线 x a(t sin t), y a(1 cost) 的第一拱(0 t 2 )
x b 以及 x 轴所围成的平面图形
绕 x 轴旋转一周所产生的旋 转体的
体积 . x 积分区间 : x [a, b].
微分元素: dV y2 d x.
dV ( f (x))2 d x.
计算体积:
b
V a dV

b

y
2
d
x.
a
2
计算连续曲线x ( y) 在区间[c, d] 上的一段弧
绕 x 轴旋转一周所生成的旋 转体的体积. y
这是曲线的参数方程形式,
我们可以按照积分换元 法处理. a
由 V
b

yHale Waihona Puke 2dx,a
O
令 x a(t sin t), 则 y a(1 cost), 且
2 a x
x : 0 2 a,
t : 0 2.
故 V 2 a y2 d x 2 a2 (1 cost)2 a(1 cost) d t
积分区间为 [0, 1][1, 2] [0, 2].
B y y 2x y x2
yx A
(2) 微分元素
O
1 2x
在[0,1]中, d A (2x x) d x x d x ; 在[1, 2]中, d A (2x x2 ) d x .
(3) 计算面积
A
1
2 a2 (1 cost)2 d t
0
0
a2 2 (1 2 cost cos2 t) d t 3 a2. 0
二、旋转体的体积
y y f (x) B
A
O a x x x b
1
计算连续曲线y f (x) 在区间 [a, b] 上的一段弧 AB 与直线x a,
y x2
A
联立方程组 x y 2
y x2 B xy2
求得交点: A(2, 4), B(1, 1) .
2 O 1
x
(2) 微分元素 d A [(2 x) x2 ]d x . 有何想法? (3) 计算面积
A
1 [(2 x) x2 ]d x
2
[2x
(2x x)d x
2 (2x x2)d x 7 .
0
1
6
例3 解
求曲线 y2 2x 与直线 y x 4 所围成的
平面图形的面积.
(1) 求积分区间
y y2 2x B
联立方程组
y2 2x y x4
O
y x4
x
求得交点为 A(2, 2) , B(8, 4) .

M

i1M i

M

n1

B M
n
n
n
si | M i1M i | ,
i 1
i 1
a
b
O
x1 xi1xi xn1 x
其中si | M i1M i | 为弦 M i1M i 的长度. 记 || si || m1iaxn {si}.
n
若极限 lim ||s||0