高等数学 第一章 第五节 连续与间断

第一章 第五节 连续与间断
A 组 一、选择题：
1．若()f x 为是连续函数，且()()01,10f f ==，则1lim sin
x f x x →∞⎛⎫
= ⎪⎝
⎭
( ) A ． -1 B ．0 C ．1 D ． 不存在
2． 要使()()ln 1m
x
f x kx =+在点0x =处连续，应给()0f 补充定义的数值是( )
A ． km
B ． k
m
C ． ln km
D ． km e
3.若lim ()x a
f x A →=，则下列正确的是 （ ）
A ． ()lim x a f x A
→= B ．
x a
→=
C ．
()lim x a
f x A
→=- D ．
lim ()x a
f x A
→=
4．设()()
(),00,0f x x F x x f x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩
且()f x 在0x =处可导，()00,f '≠()00f =,则0x =是
()F x 的 ( )
A ． 可去间断点
B ． 跳跃间断点
C ． 无穷间断点
D ． 连续点
5．()1sin
,00,0
x f x x x x ⎧⎪=≠⎨⎪=⎩在0x =处 ( )
A ． 极限不存在
B ．极限存在但不连续
C ．连续但不可导
D ．可导但不连续
6．设()21,1
,1
x x f x ax b x ⎧+≤=⎨+>⎩在1x =可导，则,a b 为 （ ）
A ． 2,2a b =-=
B ． 0,2a b ==
C ． 2,0a b ==
D ． 1,1a b == 7、下列说法正确的是：（）
（A ）()f x 在其定义域（a,b ）内一点x0处连续的充要条件是)(x f 在x0既左连续又右连续。

（B ）)(x f 在x0有定义，且0
lim x x →)(x f 存在，则)(x f 在x0连续。

（C ）)(x f 在其定义域（a,b ）内一点x0连续，则0
lim x x →)(x f =0
)(lim x x x f →
（D ）)(x f 在（a,b ）内除x0外处处连续，点x0是)(x f 的可去间断点，则
000()(,)(,)
()(,)lim (),x x f x x a x x b F x a b f x x x →∈⎧⎪=⎨=⎪⎩或在内连续
8、)(x f 在点0x 处有定义是)(x f 在点0x x =连续的 。

(A) 必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 无关条件 9、连续的在是00)()()(lim 0
x x x f x f x f x x ==→ 。

（A ）必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 10、x
x x f x 1
sin
sin )(0⋅==是的 。

(A)可去间断点 (B)跳跃间断点 (C)振荡间断点 (D)无穷间断点
11、的是则)(1,1,2,1,11
)(2x f x x x x x x x f =⎪⎩
⎪⎨⎧≥<--= 。

(A)连续点 (B)可去间断点 (C)跳跃间断点 (D)无穷间断点
12、的是则)(0,
0,1
cos ,0,0,
0,sin )(x f x x x x x x x x
x x f =⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧>=<+= 。

(A)连续点 (B)可去间断点 (C)跳跃间断点 (D)振荡间断点 13、设函数,)
1()(cot x
x x f -=则定义)0(f 为 时)(x f 在0=x 处连续
(A)
e
1
(B) e (C) -e (D)无论怎样定义),0(f )(x f 在0=x 处也不连续 14.
20()0sin 02()02()0()()22
a bx x f x x bx x x
A a b
B a b b b
C a
D a b ⎧+≤⎪
==⎨>⎪⎩====+=
，当　在处连续则有（ ）
，当．，， ．，为任意实数
． ．
15、
111()0()1()()()()x x
e
f x x f x e
A B C D -=
=+，点是的
．可去间断点 ．跳跃间断点．无穷间断点 ．连续点
16、
()(11)1()()()()()f x x x x f x A B C D =+-=设，则在处．有可去间断点 ．仅是左连续．仅是右连续 ．连续
17、
2
4402()sin 20()0
2
02x x x x
f x x x x
f x A x B x C x x D ⎧-+≤⎪⎪-=⎨
⎪>⎪⎩====，当，当则关于的连续性的正确结论是（ ）．仅有一个间断点．仅有一个间断点．有两个间断点及．处处连续
18、
0()()0()
1cos 0()()()()x f x f x x a x a x A B C D ⎪≠==⎨-⎪=⎩
±　要使在处连续 ，．等于．不存在
19、
2
()tan ()20()()()2()()(0)()246x x m m x
f x x m
f x A x m B x k k C x m m D x π⎧≠⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎩===≠=±±±，　为任意整数 ，则的间断点为
．　．　为任意整数．　．，，，
20、
21arctan 0()()sin 01()()()()0()1
()x x x f x f x x x x A f x B x C x D ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩-∞+∞==-，当则关于的连续性的正确结论是（ ）
，当．在，上处处连续．只有一个间断点．只有一个间断点．有两个间断点
21、
[][]
[]2
()()()0 , ()()()()
()()()()()()()()
f x f x x x A f x B x C f x D f x φφφφφ-∞+∞≠-∞+∞设在，上连续且在，上有定义且有间断点则下列函数哪个必有间断点 ． ．． ．
22、
2
22
241
()(2)0(0)()0()()()x f x x x f A B e C e D e -
---=+=要使在处连续，应补充
定义的值为
． ． ． ．
23、
1
)(2
1
)(0)(1)()0(0)()0(sin sin )(-=≠+-=
的取值应为：
处连续，在，要使　设D C B A f x x f x x
x x
x x f
24、
两个间断点
及．有．有一个间断点．有一个间断点．处处连续 则，　当，当设30)(0
)(3
)()()
()(1ln 131
)(====⎪⎩⎪
⎨⎧≥<-=x x D x C x B A x f x x x x x f
25、[][]存在
．．．．处连续的极限式是
在不能导出x
x f x x f x y D x x f x x f C x f x f B x f x x f A x x f y x x x x x x ∆∆-∆+=∆∆=∆--∆+==-∆+=→∆→∆→∆→→∆)
()(lim lim
)(0)()(lim )()
()(lim )(0)()(lim )()(000000
0000
00
二、 填空题（每小题4分，共24分）
1．设()f x 为连续奇函数，则()0f = 2．若()f x 为可导的偶函数，则()0f '=
3．设6y x k =+是曲线
2
3613y x x =-+的一条切线，则k =
4． 若()y f x =满足：()()0f x f =x +()x +α，且()0
lim
0x x x
→α=则()0
f '= 5． 设()f x 在2x =连续，且(2)f =4，则22
14lim ()24x f x x x →⎛⎫
-= ⎪--⎝⎭
6．()
5
sin 1()x x f x x x
⋅-=
-的间断点个数为 三 、计算题（每小题8分，共64分） 1． 已知
2sin 21
,0(),0
ax x e x f x x
a x ⎧+-≠⎪
=⎨⎪=⎩在x=0连续求a=？
2． 讨论
1
,0()0,01ln ,11
x e x f x x x x x ⎧⎪<⎪
=≤≤⎨⎪⎪>-⎩在0,1x x ==连续性
3．研究下列函数的连续性，并画出图象。

（1）⎩⎨⎧≤<-≤≤=2
1;210;)(2x x x x x f （2）⎩⎨⎧>-<≤≤-=11;11
1;)(x x x x x f 或
4．判断下列函数在指定点处的间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的
定义使其连续。

（1）23122+--=x x x y x=1,x=2 (2)tan x
y x = x=k π )2,1,0(2
±±=+=k k x ππ
（3） ⎩
⎨⎧>-≤-=1;31
;1x x x x y x=1
5、.求函数6
3
3)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间。

6、求函数⎩⎨
⎧≤<≤≤-=3
1;31
0;12)(x x x x x f 的连续区间
7、设函数⎩⎨⎧≥+<=0
;0
;)(x x a x e x f x 应当怎样选择数a,使得f(x)成为),(+∞-∞内的连续函数。

8．求下列极限
（1）a x a
x a x --→22cos cos lim （2）x
x x 5sin )21ln(lim 0+→
（3）x
x x cos 1cos 1lim
--+→ （4）1
sin 1tan 1lim
3
-+-+→x x e x
x
（5）131
3lim
11
+-+→x
x
x
（6）
x x arctan 3lim ∞
→
9．设函数
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧+--=)ln([ln 1cos 1sin )(2x x x x
b x ax x f 000>=<x x x 问b a ,为何值时，)(x f 在),(+∞-∞内连续?
§10 闭区间上连续函数的性质
下列说法错误的是：（）
（A ）)(x f 在（a,b ）内连续，则)(x f 在（a,b ）内一定有最大值和最小值。

（B ）设)(x f 在[a,b]上连续且无零点，则)(x f 在上[a,b]恒为正或恒为负。

（C ）
若)(x f 在闭区间[a,b]有定义，在开区间（a,b ）内连续，且f(a)·f(b)<0，则)(x f 在（a,b ）内有零点。

（D ）)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上有界。

1、函数],[)(b a x f 在上有最大值和最小值是],[)(b a x f 在上连续的
(A) 必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件。

答案：A
2、],[)(b a x f 在上连续，123456()()0,,f a f b a x x x x x x b ⋅<<<<<<<<且
,1)(,0)()(,1)()()(542631-======x f x f x f x f x f x f 则应判断),()(b a x f 在内的零
点个数 。

(A) ≥3 (B) ≥4 (C) ≥5 (D) ≥6
3、下列命题错误的是
(A) ],[)(b a x f 在上连续，则存在)()()(],,[,2121x f x f x f b a x x ≤≤∈使
(B) ],[)(b a x f 在上连续，则存在常数M ，使得对任意M x f b a x ≤∈)(],,[都有 (C) ],[)(b a x f 在内连续，则在（a,b ）内必定没有最大值；
(D) ],[)(b a x f 在内连续，则在（a,b ）内可能既没有最大值也没有最小值；
4．对初等函数来说，其连续区间一定是（ ）
（A ）其定义区间 （B ） 闭区间 （C ） 开区间 （D ） （),+∞∞-
5、函数)(x f =
3
2
-x ，则x=3是函数)(x f 的（） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点
113、
()lim()
x x
f x x f x
A B
C D
→
在点连续是极限存在的（ ）．必要条件；　．充分条件；
．必要充分条件；　．既非必要又非充分条件．
114、
00
00
lim()lim()()
x x x x
f x f x a f x x x
A B
C D
--
→→
===
，是函数在处连续的（ ）．充分条件　．必要条件
．充分必要条件　．既非充分又非必要条件
115、
1
10
()0
10
x
e x
f x x
x
A B
C D
-
⎧⎪
-≠
==
⎨
⎪=
⎩
，
函数，在点的连续性是（ ），
．连续； ．左连续，右不连续；
．右连续，左不连续；．左右都不连续．
16、
223
1
()1
1
1
0242
x x
x
f x x a
x
a x
A B C D
⎧--
≠-
⎪
==-=
+
⎨
⎪=-
⎩
--
，
设函数　，在处连续，则（ ）．，
． ． ． ．
119、
2
cos0
()
20
()0
11
2122
x
e x x
f x
a x x
f x x a
A B C D
⎧+<
⎪
=⎨
+≥
⎪⎩
=
-
，
设函数
，　
若在处连续，则的值等于（ ）． ． ． ．
118
、
1
()0
21
2
22
x
x
f x x k
ke x
e
A e
B
C D
e e
-
>
===
⎪≤
⎩
设　，在点连续，则（ ）
，
． ． ． ．
119、1sin 0()0001001k
x x f x x k x
x A k B k C k D K ⎧≠⎪
==⎨⎪=⎩≥≥>>，若函数　，在点连续，则的最大的取值范围是　
，． ． ． ．
120、3cos 0
()()020
1234
x x f x f x x b x b x A B C D <⎧===⎨+≥⎩，设函数　，如果在处连续，则（ ）
，． ． ． ．
121
、1()141()(22)(22)(22)(22)x f x x x a b a b A B C D ≠===⎩----设函数　，在处连续，
， 则常数，用数组，表示为（ ）．， ．， ．， ．，
123、tan 0()()0201212kx
x f x f x x k x x x A B C D ⎧>⎪
==⎨⎪+≤⎩--，设　，则在处连续，则的值是（ ）
，． ． ． ．
124、2
12
2
01sin 0
0()()0000
ln(1)0210
()()02(1)10
x x x x e x A f x B f x x
x x x x x x x C f x D f x x x x x -=⎧⎧≠⎪⎪===⎨⎨⎪⎪==⎩⎩⎧+≥--≥⎧⎪==⎨⎨-<+-<⎪⎩⎩下列函数在处不连续的是（ ）
，，． ．，　， ，，．　．　， ，
125、
sin
()10()0
1
1
1
x
x
x
f x x f x x
x
e x
A B
C D
⎧
⎪>
⎪
⎪
===
⎨
⎪
⎪<
+
⎪⎩
，　
设， ，则在处（ ）
，
．连续； ．右连续，但左不连续；．右不连续，而左连续；．左、右都不连续；
126
、
1cos
1
()0()0
2
1
2
x
x
x
x
f x x f x x
e x
A B
C D
-
⎧
>
⎪
⎪⎪
===
⎨
<
，
设， ，则在处（ ）
，
．连续； ．右连续，但左不连续；
．右不连续，而左连续；．左、右都不连续．
127、
[]((
0 ()()
10
1
sin01 ()()sin
00
x
x
x x
A f x
B f x x
x
x
x x
C f x
D f x x
x
x
x
=
⎧
≠
⎪
=⎨
⎪=
⎩
⎧
≠
⎪
==
⎨
⎪=
⎩
下列函数在点连续的是（ ）
，．； ．
，　
，
．　．．
，
128、
((
sin
0 ()()
10
sin sin
00 ()()
10cos0
x
x
x
A f x x
B f x x
x
x x
x x
C f x
D f x
x x
x x x
=
⎧⎛⎛
≠
⎪
==⎝⎝
⎨
⎪=
⎩
⎧⎧
≠>
⎪⎪
==
⎨⎨
⎪⎪
=<
⎩⎩
下列函数在处不连续的为（ ）
，． ．
，
，，
．　．
， ，
129、2
1
()(1)ln(1)
1
0101f x x x A x B x C x D x x =
-+===-==函数的不连续点（ ）．仅有一点； ．仅有一点；．仅有一点；　．有两点和．
130、221
1232
12121212x y x x x A x B x C x x D x x -==-+======函数的间断点为、，则此函数间断点的题型为（ ）
．，都是第一类；．，都是第二类；
．是第二类，是第一类；
．是第二类，是第一类．
131、11111010111011x x y x A x B x C x D x -
+=-==-=-=-函数的间断点是（ ）
．只有两点，；　．只有两点，；
．只有两点，；．有三点，，．
132、
2231
()12
222()12()12()12()12x x x f x x x x x A f x x x B f x x x C f x x x D f x x x ⎧+-≤⎪
=<≤⎨⎪->⎩
========设函数
，， ， 则有（ ）
．在，处都间断；．在，处都连续；
．在处连续，在处间断；．在处间断，在处连续．
答案：A
133、
cos
2()01()(1)
01010101x
f x x f x x x A x x B x x C x x D x x π
=
=-=-=====-设，且，为的二个间断点，则间断点的类型为（　）．，都是第一类间断点；
．为第一类间断点，为第二类间断点；．为第二类间断点，为第一类间断点；．，都是第二类间断点．
134、
000
000 ()()()()
()()()()
f x x
g x x f x g x x
f x x
g x x f x g x x
A B
C D
+
⋅
下列两个命题：
甲．设在点连续，在点间断，则在点必间断；乙．设在点连续，在点间断，则在点必间断．下面结论正确的是（ ）
．甲、乙都正确；　．甲、乙都不正确；
．甲正确，乙不正确；．甲不正确，乙正确．
135、
()()
()()
()()
f x
g x x
f x
g x x
f x
g x x
A B
C D
+
⋅
设有两个命题：
已知，在点都不连续，
甲．在点必不连续；
乙．在点必不连续．
问以下结论正确的是（ ）
．甲、乙都正确； ．甲、乙都不正确；
．甲正确，乙不正确；．甲不正确，乙正确．
答案：A
136
、
[)(]
[]
45
45()
y
A B
C D
=
+∞-∞
-∞+∞
函数
．， ．，
．， ．，
137
、
(](]
[)
46(4)46
(4)6
y
A B
C D
=+
-∞
-∞+∞
函数
．， ．，，，
．，　．，
139
、[)(]
[)
()
21
(1)(1)2
f x
A B
C D
=
+∞-∞
-∞-∞+∞
使函数
．仅是， ．仅是，
．仅是， ．是，，，
140、[][
)[)1
()ln(1)
122(12)(2)(1)1f x x A B C D =
-+∞+∞+∞+∞函数的连续区间是（ ）
．，
，， ．，，，．， ．，
141
、0()0()
2111
24
42
x f x x k x A B C D ≠===⎨⎪=⎩设　，在点连续，则 ， ． ． ． ．
142
、0
1
1
012
2
x e A B C D →-极限． ． ． ．
143
、0lim 325
1236
x x A B C D →极限． ． ． ．
144、0ln cos lim
ln cos31111
3396x x
x A B C D →-极限的值是（ ）
． ．
． ．
145、1ln 1
lim
10x e x x e
A B e C e D →---极限的值为（ ）
．
． ． ．
146
、033
6622
x A B C D →--极限． ．
． ．
147、
2
2
ln(12)
lim
ln(13)
124 2
339 x
x
x
A B C D
→
+
-
--
极限的值是
． ． ． ．
148、
ln()ln
lim(0)
1
01
x
x a a
a
x
A B C a D
a
→
+-
>
极限　的值是（ ）． ． ． ．
149
、
1
lim
ln(1)
1111
2346
x x x
A B C D
→
-
+
极限
． ． ． ．
、
151
、
1
lim)
10
x
x
A B C D
+
→
极限的值是（ ）． ．
15
、
1
()210
11
()(0)(0)
(1)(1)(1)(10)(0)
x
e
x
x
f x x x
x
A B
C D
⎧-
>
⎪
⎪⎪
=+-≤≤
⎨
<-
⎪⎩
-∞+∞-∞∞
-∞--+∞-∞--+∞
，
函数，　的连续区间是（ ）
，
．， ．，，，＋
．，，，　．，，，，，
155
、sin 01
()cos 01()2
21()(11)(01)
(10)(1)
ax
x x f x x x x x a b a b A B C D b π⎧<⎪⎪
⎪=+≤≤-∞+∞⎨>， 设函数，　，在，上
连续，则常数，用数组，表示为（ ）
． ，　．，．，　．，任意
答案：A
156、
[)(][]()()()()f x a b a b
f x A a b B a b C a b D -∞+∞<-∞+∞设在，上连续，，是任意实数，且则必能取到最大值和最小值的区间是
．， ．， ．， ．，
157、[]2()2303()(36)(26)(28)(38)
f x x x m M m M A B C D =-+函数在，上最小值和最大值，用数组，表示为
．， ．， ．， ．，
158、[]
1arctan 0()1102
()(1)(1)
2
2
2
2
(11)(1)2242
x x
f x m M x x m M A B C D πππππππππ
⎧
>⎪⎪=-⎨⎪+≤⎪⎩-+-++，函数　在，上的最小值和最大值，，　用数组，表示为（ ）
．， ．，．，　．，
159、
[][][]20
()20
1111100122x x f x x x A B C D ⎧≥=⎨+<⎩⎡⎤
---⎢⎥⎣⎦，　设　在区间（ ）上取到最大值和最小值．
，． ， ． ，． ，　．，
160、[][]()()()()0()()()()()0()()()0f x a b A f a f b B f x a b C f x a b f a f b D f x a b f a f b <<<函数在，内存在零点的充分条件是（ ）．；．在，上连续；
．在，上连续，且；
．在，上连续，且．
162
、3310(03210x x A B C D -+=方程在内的实根的个数为（ ）． ． ． ．
163
、21
(cos )0()0()
1()()()().
x x x f x x a a x A e B C D e ⎧
⎪≠===⎨⎪=⎩-，当　，在处连续则 ， 当． ． ．
164、22
()cos
0()()()()()f x x x x f x x
A B C C =+=设，则点是的　连续点； 可去间断点；　无穷间断点；　振荡间断点．
164、
[][][]0x x x x x x x x A B C D =设叫做的取整函数或叫的整数部分
（即表示不超过的最大整数）则点是函数的．连续点 ．可去间断点．跳跃间断点 ．第二类间断点
答案：A
171、
[)(][]1
1()1
(01)
010101x x x e f x e
A B C D --=
-使连续区间是（ ）
．，．，
．，
．，
答案：A
172、
2
2
1
arctan0
() , 0()
01
2
x x
f x x a
x
a x
A B C D
π
⎧
≠
⎪
===
⎨
⎪=
⎩
∞
　当
设在处连续，则 当
． ． ．　．
答案：A
173、
1
2
1
1
1
()1()
1
01
x
x
e x
f x x f x
x
x
A B
C D
-
⎧-
≠
⎪
==
-
⎨
⎪=
⎩
，当
，则点是的， 当
．连续点 ．跳跃间断点
．可去间断点．第二类间断点
答案：A
174、
()()()
1
01
011
f x f x
A x
B x
C x x
D x x x
=
=
=-
==-
==-=
的可去间断点为 ．仅有一点
．仅有一点
．有两点及
．有三点，及
答案：A
175、
2sec
22
lim(1cos)()
1
4
4
x
x
x
A e
B e
C D
π
→
-
-=
． ． ． ．
答案：A
176、
3
cos
3
lim(1cos)
81
x
x
x
A e
B
C D
→
+=
∞． ． ． ．
答案：A
177
、000cos 0()0()2sin 2
1
()()()()42x x x f x x x x x A B C D πππ≤<⎧⎪⎡⎤=⎨⎢⎥≤≤⎣⎦⎪⎩，当在，上连续则
，当．等于 ．等于 ．不存在
答案：A
178、2(cos sin )0()()0
()()21
()()0x x
e a x b x x
f x ax b e x A a b B a b C a D a b b
-⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩==-==，当　处处连续，则有：，当 ． ．，任意
答案：A
179、20()0sin 02()02()0()()22
a bx x f x x bx x x
A a b
B a b b b
C a
D a b ⎧+≤⎪
==⎨>⎪
⎩====
+=，当　在处连续则有（ ）
，当．，， ．，为任意实数
． ．
答案：A
180、111()0()1()()()()x x
e
f x x f x e
A B C D -=
=+，点是的
．可去间断点 ．跳跃间断点
．无穷间断点 ．连续点
答案：A
181、
()(11)1()
()()()()f x x x x f x A B C D =+-=设，则在处．有可去间断点 ．仅是左连续．仅是右连续 ．连续
答案：A
182、
2
44
2
()()
sin2
02
02
x x
x
x
f x f x
x
x
x
A x
B x
C x x D
⎧-+
≤
⎪⎪-
=⎨
⎪>
⎪⎩
==
==
，当
则关于的连续性的正确结论是（ ），当
．仅有一个间断点．仅有一个间断点
．有两个间断点及．处处连续
答案：A
183
、
()()0()
()()
())
x
f x f x x a
a x
A B
C D
≠
==
⎪=
⎩
±
　使在处连续 ，
．等于．不存在
答（ ）
答案：A
184、
2
()
()()
tan
2
()()2()
()(0)()246
x
x m m
f x f x
x
x m
A x m
B x k k
C x m m
D x
π
⎧
≠
⎪⎪
=⎨
⎪
=
⎪⎩
==
=≠=±±±
，　为任意整数
则的间断点为 ，
．　．　为任意整数
．　．，，，
答案：A
185、
2
1
arctan0
()()
sin
1
()()()()0 ()1()
x x
x
f x f x
x
x
x
A f x
B x
C x D
⎧
<
⎪⎪
=⎨
⎪≥
⎪+
⎩
-∞+∞=
=-
，当
则关于的连续性正确结论是（　），当
．在，上处处连续．只有一个间断点
．只有一个间断点．有两个间断点
答案：A
186、[][]
[]2
()()()0 , ()()()
()()()()()
()()()()
f x f x x A f x B x x C f x D f x φφφφφ-∞+∞≠-∞+∞设在，上连续且在，上有定义且有间断点则下列函数哪个必有间断点 ． ．． ．
答案：A
187、2
22241
()(2)
0(0)()0()()()x f x x x f A B e C e D e -
---=+=要使在处连续，应补充
定义的值为
． ． ． ．
答案：A
188、sin ()(0)()0(0)sin 1()1()0()()12
x x
f x x f x x f x x
A B C D -=
≠=+-设　，要使在处连续，的取值应为：
答案：A
189、
1
1()()()
3ln 1
()()3
()0
()03x f x f x x x x A B x C x D x x ⎧<⎪
=-⎨⎪≥⎩====，当设　则 ，　当．处处连续 ．有一个间断点．有一个间断点．有及两个间断点
96．研究下列函数的连续性,||1,
()1,||1;x x f x x ≤⎧=⎨>⎩
211.研究下列函数的连续性1,
,()0,.c
x Q f x x Q ∈⎧=⎨∈⎩
97.1,
3,()4, 3.x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩
讨论函数的间断点，并指出其类型．如果是可去间断点，
则补充或改变函数的定义使其连续 ．
98.1
()sin 1
f x x =-；讨论函数的间断点，并指出其类型．如果是可去间断点，则补充或
改变函数的定义使其连续 ．
99.1
1()1x
f x e =+； 讨论函数的间断点，并指出其类型．如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连续 ．
100. 1sin ,0,()0,
0;x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩讨论函数的间断点，并指出其类型．如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连续 ． 101221()32
x f x x x -=-+； 讨论函数的间断点，并指出其类型．如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连续 ．
102.22()||(1)
x x f x x x -=-；讨论函数的间断点，并指出其类型．如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连续 ．
1031()lim (0)1n
n f x x x →∞=≥+；讨论函数的间断点，并指出其类型 ．
104.22(1)()lim 1n n
n x x f x x →∞-=+．讨论函数的间断点，并指出其类型 ．
105．设函数2sin 2,0,(),0.
x x f x x x a x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩试确定a 的值，使函数()f x 在0x =处连
续 ．
106．设函数ln(13),0,()sin 1, 0x x f x ax bx x +⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在点0x =处连续，求a 和b 的值 ．
习 题 1-9
107．2()cos e x f x x x =+；研究函数的连续性 ：
108.3
3()27x f x x -=
-；研究函数的连续性 ：
109.()f x =；研究函数的连续性 ： 116、221()x f x x x
-=-指出的间断点，并判别其类型．
117
、()f x =确定
118、cos 2
()(1)x
f x x x π=-确定的间断点，并判定其类型．
119、2
1
()sin x f x x π-=确定的间断点，并判定其类型．
120、()tan x
f x x π=确定的间断点，并判定其类型．
121、1
123
()32
x
x e f x e +=+求的间断点并判定其类型．
122、1()2x
x
f x e =+求的间断点，并判定其类型．
123、()ln 1x
f x x =-求的间断点，并判定其类型．
124、()arcsin ()x
f x f x x =设，确定的连续区间，并指出间断点的类型．
125、1()arctan 1
f x x x
=-求的间断点，并判定其类型．
10分
126、11
1()11
1x x f x x x
-+=--求函数的间断点，并判断其类型．
127、求函数()tan x
f x x =的间断点并指出其类型。

128、讨论函数sin , 0() 1 , 0x
x x f x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的连续性及间断点
10分
129、指出函数1x y e =的连续区间，如果有间断点，判定间断点的类型。

130、1sin sin y x x =指出函数的连续区间及间断点的类型．
131、1cos y x x =指出函数的连续区间及间断点的类型．
132、sin x y x
=
指出函数的连续区间及间断点的类型．
133、220() , ()1011
x x x f x f x x x x ⎧-<⎪=⎨≥≠⎪-⎩，当设求的连续区间及，当，间断点的类型．
134、((2sin 20
00()22011
()x x x x f x x x x x f x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪-<≤⎪⎪>⎩，当， 当设函数，当， 当指出的间断点，并判定其类型．
135、221()32
x f x x x -=-+写出函数的连续区间及间断点的类型． 136、21(1)
y x =+写出函数连续区间及间断点的类型．
137.2
11()101
x x f x x x ⎧-≠-⎪=+⎨⎪=-⎩，确定函数的连续区间及间断点类型．
，
139、1arctan 0y x x
==判定，在处的连续性． 140、2cos 201(1)x
y x x x x π===±-讨论在，处的连续性，若是间断点应判定其类型，对于可去间断点，补充函数的定义，使函数在该点处连续．
141、()()ln 1x f x f x x
=
+设，指出的间断点并判断其类型． 144、22312
x x y x -+=-求函数的连续区间及间断点的类型．
146、16y x x
=+
求函数的连续区间及间断点的类型．
147、2()ln sin lim ln sin x f x x x π→=求的连续区间，并求极限．
148、1
()1
1f x x =+求函数的连续区间及间断点的类型．
149、1()ln x f x x
+=求函数的连续区间，指出间断点的类型．
151
、ln(1)0()00()100x x x f x x f x x x ⎧+>⎪⎪⎪==⎨-≤<=，设， 试讨论在点的连续性．
153.
221()lim ()()1n n n x f x x f x f x x →∞-=-+设，求的间断点及类型，并画出的草图．
154.
22111()12 , ()122123x x f x x x f x x x x x --≤<⎧⎪=≤≤==⎨⎪+<≤⎩，设，　判定在点及的连续性．，
157
、1()1 , ()1arccos 11x f x b x a b f x x a x x -∞<<-==-=-⎨⎪+-<≤⎩
设， 试求，，使在处连续．，
158、301()1 , ()112x b x f x a x a b f x x x b x +≤<⎧⎪===⎨⎪-<≤⎩
，
设， 试求，，使在处连续．
，
159、412() , ()1(1)(2)21x ax b x f x a b f x x x x x ⎧++≠⎪==-+⎨⎪=⎩
，、设求，，使在处连续．
，
161、121()21x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩
，当研究　的连续性．，　当
162、210()()10
x x f x f x x x x ⎧-≤≤=⎨-<->⎩，当设　讨论的连续性．
，当或
163、0()101()ln 1x e x f x x x f x x x ⎧<⎪=-≤≤⎨⎪>⎩
，　当设，当　试研究的连续性．，　当
164
、lim 0 () , ()10n
n n x x f x f x x x →∞⎧≥⎪=+<，当设函数讨论的连续性．
166、
1
0 ()00 sin 0x e x f x x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩，　讨论函数， 的连续性．
， 166、cos 12 () 11x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩
，讨论函数的连续性．，
167、1
1210 () 021
10
x x x f x x x ⎧-⎪≠⎪==⎨+⎪=⎪⎩，判定函数在处是否连续，
169、0 ()00x e x a b f x a x x b x ⎧<⎪==⎨⎪+>⎩
，当求、的值，使函数，当　，处处连续．，当
170、21 ()221ax b x a b f x x x x ⎧+≤⎪=⎨
+->⎪⎩，确定，之值使函数　处处连续．，
171、sin () 0()()x x c f x a b c c b c ax b x c
a f x ≤⎧=≠⎨+>⎩-∞+∞，设其中、、为常数且，如果、为已知，，应当怎样选择，才能使在，内连续．
172
、0() ()00x x f x a f x x ae x <==⎨⎪≥⎩
设问为何值时，在处连续． ， 173、5cos 0()()0sin 20tan x e x x f x a f x x x x ax
⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，设函数　，求的值使在处连续．， 178
、()01f x x x a b ===设及可去间断点，试确定，之值．
183、221()lim 1n
n
n x f x x x →∞-=⋅+讨论函数的连续性． 184、求的间断点，并确定其类型．f x x x x ()()()
=--⋅-11422 185、[]2211()121
()x x u u y f u u x x u u y f x ϕ⎧-≤≤⎧===⎨⎨>->⎩⎩=，，当设　，，　，当讨论复合函数的连续性．
190、处连续．在之值，使补充定义　0)()0()0()2tan arcsin(
)(=≠=x x f f x x
x x f 191、21cos 0() , ()03202
bx x x f x b f x x b x -⎧≠⎪⎪==⎨⎪-=⎪⎩，当确定值在处连续．　，当 192
、0() , ()0102
x f x a f x x a x ≠==⎨⎪+=⎪⎩确定值使在处连续．
， 193
、()()01f x b f x x x ===值使有无穷间断点，有可去间断点．
194
、10()(0)1cos 0()0x f x a x a x a f x x ⎧-⎪≠=≠⎨-⎪=⎩
= ，当试确定值，使在处连续．
195、((2()1sin x x f x x x
-=-指出的间断点，并判定其类型．
197、1arctan 1() , ()1101
t x f x f x x x x ⎧≠⎪==-⎨⎪=⎩，判定在处的连续性． ， 198、02()()22tan 2
x f x f x x x x x ππππ⎧=⎪⎪==⎨⎪-≠⎪⎩， 当设　在处的连续性．，
199、
1110() ()0110x x e x f x f x x e x ⎧-⎪≠⎪==⎨+⎪=⎪⎩，讨论在处的连续性． ，
10分
200、((211()()1x x f x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨>⎪⎩，当设　讨论的连续性．，当
201、
11()()cos 12x x f x f x x x π⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，设　试讨论的连续性．， 1．求函数11
()1x
x f x e -=-的间断点，并说明其类型．
2．设221()lim 1n
n
n x f x x x →∞-=+，试求函数()f x 的表达式，若有间断点，并说明其类型．
3．设21cos ,0,(),0,
x x f x x
a x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩ 要使()f x 在(),-∞+∞内连续，确定常数a ．
4
．讨论sin ,0,()1,0,1),0x x x f x x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪>⎪⎩
的连续性． 5．求下列极限：
0ln(1)(1)lim x x x α→+(α为常数）； sin sin (2)lim x a x a x a
→--； 0(3)lim x x
x e e x
αβ→-(,αβ为常数）． 6．设函数()f x 在[]0,2π上连续，且(0)(2)f f π=，证明在[]0,π上至少存在一点ξ，使得()()f f ξξπ=+．
7.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=，
，；，0cos 01e )(22x x x a x x x f x 在（-∞，+∞）上连续，则=a ． 8.函数x
x x f -=1ln )(的第一类间断点的个数为（ ）． （A ） 0； （B ） 1； （C ） 2； （D ） 3．
五.设⎪⎩⎪⎨⎧+∞-∞≤+>=),()(.
0,,0,1sin )(2在要使x f x x a x x x x f 内连续,应当怎样选择数a. 六.设1,1,()()ln(1),1 1.,x x f x f x e x x ⎧>⎪=⎨⎪+-<≤⎩
的间断点并说明间断点的类型求函数 120．若函数2,0,()sin , 0a bx x f x bx x x
⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则a 和b 的关系是（ ）． A ．a b =． B ．a b >． C ．a b <． D ．不能确定．。