5_3树的概念和算法

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定理.1(证明(3)(4))

Ⅱ、增加任何新边，得到一个且仅有一个回路


若在连通图T中加入新的边(ui,uj)，则该边与T中ui到 uj的一条路构成一个回路，则该回路必是唯一的。 否则（即回路不唯一），若删去此新边，T中必有回 路，得出矛盾。

综述，T连通且e=v-1则T无回路但增加任何新边，得 到一个且仅有一个回路。
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定理.1(证明(2)(3))
(2) T无回路 且e=v-1 (3) T连通且e=v-1 证明(2)(3)： 证明T连通： (反证法） 假设T有s个连通分支, 则每个连通分支都是连通无 回路即树, 所以 e=e1+e2+…+ es=(v1-1)+(v2-1)+…+(vs-1) =v1+v2+…+vs-s=v-s=v-1, 所以s=1，与s>1矛盾， 所以T连通。

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定理.1(证明(1)(2))
(1) 无回路的连通图 (2) T无回路且e=v-1 证明(1)(2)： e=v-1(归纳法)：


v=1时,e=0（平凡树）。 设vk-1时成立,即ek-1=vk-1-1。 当v=k时, 要证ek=vk-1。 因为无回路且连通，故至少有一边其一个端点u的度数为 1,设该边为(u,u*）。删除结点u,得到一个k-1个结点的 连通图T’，T’的边数e’=v’-1=(k-1)-1=k-2,于是将结点u 与边(u,v)加入图T’得到原图T，此时T的边数为e=e’+1=k2+1=k-1， 结点数v=v’+1=(k-1)+1=k，故e=v-1。 综上所述， T无回路且e=v-1。
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定理.1(证明(5)(6))
(5) T连通但删去任一边后便不连通 (6) T中每一对结点之间有且仅有一条路 证明(5)(6)： （反证法）

假设T中存在有一对结点之间有两条路。
由连通性知，两个结点有多于一条的路，则T 中必有回路，删去任一边，图仍连通，与（5） 矛盾， 所以T中每一对结点之间有且仅有一条路。
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例题
例2： 已知无向树T有5片树叶, 2度与3度结点各1个, 其余结点的度数均为4。求T的阶数v, 并画出满足 要求的所有非同构的无向树。 解 设T的阶数为v, 则边数e为v1, 4度结点的个数为 v7. 由握手定理得 2e=2(v1)=51+21+31+4(v7) 解出v=8， 4度结点为1个。 T的度数列为1,1,1,1,1,2,3,4 有3棵非同构的无向树
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关于树的不等式的证明

关于树的证明的三个式子 e=v-1 deg(vi)=2e 根据具体的题设条件，进行特殊不等式的改 写（解题关键）
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非平凡树至少有2个树叶
定理.2： 非平凡树至少有2个树叶。 证明方法一:（直接证明） 设T有x个树叶, 由定理.1和握手定理, e=v-1 deg(vi)=2e= 2(v-1) = 2v-2 = vi是树叶deg(vi) + vi是分枝点deg(vi) ≥ x + 2(v-x) = 2v-x, 即2v-2 ≥ 2v-x 所以 x ≥ 2。
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带权图


给定图G=<V,E>（G为无向图或有向图），设W： E→R（R为实数集），对G中任意的边e=(vi,vj) （G为有向图时，e=<vi,vj>）设W(e)=wij，称实 数wij为边e上的权，并将wij标注在边e上，称G为 带权图，此时常将带权图G记作<V,E,W>。 W(G)= ∑W(e)。
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引理1
设G是至少有一条边的连通图且无回路，则G至少有一 个结点只相邻于另一个结点，即G至少有一个结点的度 数为1。 证明：



因为G至少有一条边，所以，G有一点v1，且v1有相邻 点v2。若v2即为所求，则引理得证。 否则，令v3为v2的不同于v1相邻点，以此类推，即， 对k≥2，或者vk只与vk-1相邻，从而vk即为所求；或者 vk又相邻于vk+1vk-1。于是得v1，v2，…，vk-1，vk， vk+1，…，因为G无回路，故这一串点不能有重复。 上述过程必在有限步内停止。从而引理得证。
e1=v1-1 e2=v2-1 es=vs-1
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引理1
设G是至少有一条边的连通图且无回路，则G至少有一 个结点只相邻于另一个结点，即G至少有一个结点的 度数为1。 证明：



证明方法二（反证法） 假设对于任意结点u，有deg(u)≥2, 则2e= deg(v)≥2v，所以e≥v，与e=v-1矛盾。 所以，必有一结点的度数为1。


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定理.1(证明(6)(1))
(6) T中每一对结点之间有且仅有一条路 (1) 无回路的连通图 证明：(6)(1)： 连通性： u,vV, u,v之间有唯一一条路，则T必连通； 无回路： (反证法)若有回路，则u,v之间的路不唯一, 矛 盾! 所以T无回路。 因此，T是无回路的连通图（即 T是树)。
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注意

余树不一定连通，也不一定不含回路。
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定理.3：连通图G至少有一棵生成树 证明：构造法，不断删除边（破圈法）。 (1)连通图G无回路，则G本身为生成树。 (2)若G至少有一回路，则删去回路上的一边，得 到G1，G1连通并与G有相同的结点集，则若G1无 回路，G1就是生成树。 (3)若G1有回路，再删去回路上的一边，重复上述 步骤，直到得到一连通图T，它没有回路，但与G 有相同结点集，所以T是G的生成树。
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最小生成树(MST)


定义.3 最小生成树(minimal spanning tree)： 无 向连通带权图G=<V,E,W>的权最小的生成树 W(T) = eTW(e)
1 2 3 2 1.5 5 6 1 2 3 2 1.5 5 6
3
3
W(T1)=11.5
W(T2)=18
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A Kruskal算法（或避圈法）
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定理.1(证明(4)(5))
(4) T无回路但增加任何新边，得到一个且仅有一 个回路 (5) T连通但删去任一边后便不连通 证明：(4)(5)： T连通： (反证法)若T不连通，则存在结点u,vV,在u与 v之间无路，显然增加边(u,v)不会产生回路， 与（4）矛盾，故T连通。 删去任一边后便不连通： 又因为T无回路，所以删去任一边，图 T不连通。 因此，T连通但删去任一边后))
(3) T连通且e=v-1 (4) T无回路但增加任何新边，得到一个且仅有一个回路 证明：(3)(4)：（用数学归纳法证明）

① 当v=2时，e=1，即T必无回路，但增加任何新边，得到一 个且仅有一个回路 。 ② 设v=k-1时命题成立。 ③考察v=k时的情况 Ⅰ、T无回路 因为T是连通的，且e=v-1，所以每个结点u有deg(u)≥1， 假设结点u0的度数为1。删去u0及其关联的边，而得到 一个新图T’，由归纳假设知，T’无回路，在T’中加入 u0及关联边又得到T，故T是无回路的。
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连通图的生成树例
例.1：破圈法构造生成树
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定理推论（3个）
推论1： G是v个结点e条边无向连通图 ev-1。 证明：由定理可知，G有生成树，设T为G的一 棵生成树，则e=|E(G)|≥|E(T)|=v-1. 推论2： T是v个结点e条边无向连通图G的生成树 ， 则T的余树中含有e-v+1条边。
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树的等价定义（树的性质）
定理.1： 设T=<V,E>是v个结点e条边无向图,则以 下关于树的定义是等价的，即 (1) 无回路的连通图 (2) T无回路且e=v-1 (3) T连通且e=v-1 (4) T无回路但增加任何新边，得到一个且仅有一 个回路 (5) T连通但删去任一边后便不连通 (6) T中每一对结点之间有且仅有一条路 证明： (1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)
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2.生成树(spanning tree)


定义.2 生成树： 若图G的生成子图T是树，则该树称 为图G的生成树。 树枝(tree edge)： 属于生成树T的边，共有v-1条。 弦(chord)： 图G的不在生成树中的边。 生成树的补： 所有弦组成的集合。 余树： G[E(G)-E(T)]
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例题
例1：已知无向树T中, 有1个3度结点, 2个2度结点, 其 余结点全是树叶。试求树叶数 , 并画出满足要求的 非同构的无向树。 解 用树的性质e=v1和握手定理. 设有x片树叶，于是 v=1+2+x=3+x, 2e=2(v1)=2(2+x)=13+22+x 解出x=3，故T有3片树叶. T的度数列为1, 1, 1, 2, 2, 3 有2棵非同构的无向树, 如图所示。
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定理推论
推论3：简单图是连通的当且仅当它具有生成树。


证明： 必要性：简单图是连通的则它具有生成树。 显然，因为连通图G至少有一棵生成树。 充分性：简单图具有生成树则它是连通的。 设生成树为T，T包含简单图G的所有结点， 因为树为连通的，所以T中任意两个结点有 路。因为T是G的子图，所以G中任意两个 结点都有T中的路，即G连通。
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例 用Kruskal算法求下图的最小树. 在左图中 {e1, e2 ,..., e8}权值 最小的边有 e1, e5 , 任取一条e1, 在 {e2 , e3 ,..., e8} 中选取权值 最小的边 e5 , {e2 , e3 , e4 , e6 , e7 , e8} ： 中权值最小边有 e3 , e7, 从中选 任取一条边 e3 ; {e2 , e4 , e6 , e7 , e8} 中选取在中选取 e7 , 在{e2 , e4 , e6 , e8}中选取 e4 , e8 . 但 e4与 e8都 会与已选边构成圈,故停止。