2020-2021上海久隆模范中学高三数学上期中第一次模拟试卷(含答案)

2020-2021上海久隆模范中学高三数学上期中第一次模拟试卷(含答案)
一、选择题
1．已知函数22()
()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩
，若()(1)n a f n f n =++，则
123100a a a a ++++=L
A ．0
B ．100
C ．100-
D ．10200
2．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
3．已知关于x 的不等式()2
2
4300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212
a
x x x x ++的最大值是（ ） A
B
C
D
． 4．已知数列{}n a 满足11a =，12n
n n a a +=+，则10a =（ ）
A ．1024
B ．2048
C ．1023
D ．2047
5．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
则z =x +y 的最大值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*1
1
n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S
D ．n S 的最小值是7S
7．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1
B ．6
C ．7
D ．6或7
8．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ）
A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．23,15⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C ．()1,+∞
D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
9．等比数列{}n a 中，11
,28
a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4
B ．4
C ．1
4
± D ．14
10．已知x ，y 满足条件0
{20
x y x
x y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16
B ．－6
C ．-83
D ．6
11．已知数列{}n a 中，3=2a ，7
=1a ．若数列1
{}n
a 为等差数列，则9=a ( ) A ．
12
B ．
54
C ．
45
D ．45
-
12．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且
723
n n S n T n +=+，则220
715
a a
b b +=+（ ）
A ．
49
B ．
378
C ．
7914
D ．
149
24
二、填空题
13．在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，且满足
222sin sin sin sin sin A B C A B +=+，若ABC V 的面积为3，则ab =__
14．已知
的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．
15．设0x >，则231
x x x +++的最小值为______.
16．设
是定义在上恒不为零的函数，对任意
，都有
，若
，
，
，则数列
的前项和
的取值范围是__________．
17．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5
cos
23
C =
，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．
18．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有
2343n n S n T n -=-，则93
5784
a a
b b b b +++的值为_______．
19．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．
20．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯
一，则实数a 的值为__________．
三、解答题
21．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为
130/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量12
cos 13
A =
，3cos 5C =．
（1）求索道AB 的长；
（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？
22．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且2
2
2,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；
（2）若2
2
sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 23．设数列的前项和为
，且
.
（1）求数列的通项公式； （2）设
，求数列
的前项和
.
24．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5
，b=5，求sinBsinC 的值．
25．设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac ≤
1
3
； （Ⅱ）222
1a b c b c a
++≥.
26．
围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，
已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．
（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；
（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()2
2()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当
n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以
()
1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，
故选B.
考点：数列的递推公式与数列求和.
【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与
运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22()
{()
n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及
()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分
组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,3
3
B A
C π
π
=
+=
,又因为sin A 、
sin B 、sin C 成等比数列，所以23
sin sin sin 4
B A
C =⋅=，整理计算即可得出答案.
【详解】
因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，
所以2,3
3
B A
C π
π=
+=
, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以2
3sin sin sin 4
B A
C =⋅=
所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ⎛⎫⎛
⎫⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2111113
2sin 2cos 2sin 2424442344
A A A A A π⎛⎫=
+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
又因为203
A π<< 所以3
A π
=
故选B 【点睛】
本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,3
3
B A
C π
π
=+=
，再利用三角公式转化，属于中档题.
3．D
解析：D 【解析】
：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），
根据韦达定理，可得：2
123x x a =，x 1+x 2=4a ，
那么：1212a x x x x ++=4a +13a
． ∵a ＜0， ∴-（4a +
13a ）
，即4a +
13a ≤
故1212a x x x x ++
的最大值为． 故选D ．
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示
内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】
因为12n n n a a +=+，所以12n
n n a a +-=，
因此10
9
8
1010921198122221102312
a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ，选C.
【点睛】
本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．D
解析：D 【解析】
如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故
max 303z =+=，故选D ．
点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由
870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.
【详解】
由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以
1
1
n n S S n n +<+， 所以()()()
()
1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，
所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即
8
7
1a a <-， 所以80a >，70a <，
即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.
7．B
解析：B 【解析】
试题分析：由等差数列
的性质，可得
，又，所以
，所以数列
的通项公式为
，令
，解得
，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得
取最小值时的为
，故选B ．
考点：等差数列的性质.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用分离常数法得出不等式2a x x >
-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2
f x x x
=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围
【详解】
关于x 的不等式220x ax +->在区间[]
1,5上有解
22ax x ∴>-在[]15
x ∈，上有解 即2
a x x
>
-在[]15x ∈，上成立，
设函数数()2
f x x x
=
-，[]15x ∈，
()2
2
10f x x ∴'=-
-<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数
且()f x 的值域为2315⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
， 要2a x x >
-在[]15x ∈，上有解，则23
5
a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
故选A 【点睛】
本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用等比数列{}n a 的性质可得2
648a a a ＝ ，即可得出．
【详解】
设4a 与8a 的等比中项是x ．
由等比数列{}n a 的性质可得2
648a a a ＝，6x a ∴=± ．
∴4a 与8a 的等比中项5
61
248
x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】
本题考查了等比中项的求法，属于基础题．
10．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
由z ＝x ＋3y 得y ＝－
13x ＋3
z
，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，
因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】
依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}n
a 为等差数列，
所以73111
11273738
--===--a a d ，所以()97
11159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 【点睛】
本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】
因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以
2201111
7151111
22a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =,
故令21n =有2121721214921324
S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以1111149
24a b = 故选：D. 【点睛】
本题主要考查等差数列的等和性质：
若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+
与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*
21(21),()n n S n a n N -=-∈
二、填空题
13．4【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得由余弦定理可得根据同角三角函数基本关系式可得进而利用三角形面积公式即可计算得解【详解】由正弦定理可得即：由余弦定理可得可得的面积为可得解得故答案为4【点睛
解析：4 【解析】 【分析】
由正弦定理化简已知等式可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得cos C ，根据同角三角函数基本关系式可得sin C ，进而利用三角形面积公式即可计算得解． 【详解】
222sin sin sin sin sin A B C A B +=+Q ，
∴由正弦定理可得，222ab c a b +=+，即：222a b c ab +-=，
∴由余弦定理可得，2221
cos 222
a b c ab C ab ab +-===，
可得sin C ==
，
ABC QV 1sin 2
ab C ==
， ∴解得4ab =，故答案为4．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
14．【解析】【分析】利用余弦定理得到进而得到结合正弦定理得到结果【详解】由正弦定理得【点睛】本题考查解三角形的有关知识涉及到余弦定理正弦定理及同角基本关系式考查恒等变形能力属于基础题
【解析】 【分析】 利用余弦定理得到cos C ，进而得到sin C ，结合正弦定理得到结果. 【详解】
9254913
cos ,sin 3022
C C +-==-=，由正弦定理得732,sin 3
c R R C ===. 【点睛】
本题考查解三角形的有关知识，涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本关系式，考查恒等变形能力，属于 基础题.
15．【解析】【分析】利用换元法令将所给的代数式进行变形然后利用均值不等式即可求得最小值【详解】由可得可令即则当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法换元法及其应用等知识意在 解析：231-
【解析】 【分析】
利用换元法，令1t x =+将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】
由0x >，可得11x +>.
可令()11t x t =+>，即1x t =-，则
()()2
2113333
1212311t t x x t t x t t t
-+-+++==+-⋅-=-+≥， 当且仅当3t =，31x =-时，等号成立.
故答案为：231-． 【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值的方法，换元法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．121)【解析】试题分析：由题意对任意实数xy ∈R 都有f(x)f(y)=f(x+y)则令x=n y=1可得f(n)f(1)=f(n+1)即f(n+1)an+1an=f(n+1)f(n)=12即数列{a 解析：
【解析】
试题分析：由题意，对任意实数
，都有
，则令
可得 ，即，即数列是以
为首项，
以为公比的等比数列，故
考点：抽象函数及其应用，等比数列的通项及其性质
17．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得
最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的 解析：
5 【解析】 试题分析：
5cos
2C =
，21cos 2cos 129C C =-=，45sin C =，cos cos 2a B b A c +==，外接圆直径为95
2sin c R C =
=
，由图可知，当C 在AB 垂直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x =，则由相交弦定理有95110x x ⎛⎫
-= ⎪
⎪
⎝⎭
，解得
52
x =
，故最大面积为155
22S =⋅⋅=
.
考点：解三角形．
【思路点晴】本题主要考查解三角形、三角函数恒等变换、二倍角公式、正弦定理，化归与转化的数学思想方法，数形结合的数学思想方法.一开始题目给了C 的半角的余弦值，我们由二倍角公式可以求出单倍角的余弦值和正弦值.第二个条件cos cos 2a B b A +=我们结合图像，很容易知道这就是2c =.三角形一边和对角是固定的，也就是外接圆是固定的，所以面积最大也就是高最大，在圆上利用相交弦定理就可以求出高了.
18．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an}{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题 解析：
19
41
【解析】 【分析】
由等差数列的性质和求和公式可得原式11
11
S T =
，代值计算可得．
【详解】
∵{a n }，{b n }为等差数列，
∴
9393936
57846666
222a a a a a a a b b b b b b b b
++=+==++ ∵61111111111622a S a a T b b b +==+＝211319411341⨯-=⨯-，∴66
1941a b =， 故答案为
19
41
. 【点睛】
本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
19．（）【解析】如图所示延长BACD 交于E 平移AD 当A 与D 重合与E 点时AB 最长在△BCE 中∠B=∠C=75°∠E=30°BC=2由正弦定理可得即解得=平移AD 当D 与C 重合时AB 最短此时与AB 交于F 在△B
解析：（62-，6+2） 【解析】
如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得
sin sin BC BE
E C
=∠∠，即
o o
2sin 30sin 75
BE
=，解得BE =6+2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，
sin sin BF BC
FCB BFC =∠∠，即o o
2sin 30sin 75BF =，解得BF=62-，所以AB 的取值范
围为（62-，6+2）.
考点：正余弦定理；数形结合思想
20．或【解析】【分析】先画出不等式组所代表的平面区域解释目标函数为直线在轴上的截距由目标函数取得最大值的最优解不唯一得直线应与直线或平行从而解出的值【详解】解：画出不等式组对应的平面区域如图中阴影所示将
解析：2或1-. 【解析】 【分析】
先画出不等式组所代表的平面区域，解释目标函数为直线=+y ax z 在y 轴上的截距，由目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一，得直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或
220x y -+=平行，从而解出a 的值.
【详解】
解：画出不等式组20220220x y x y x y +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
对应的平面区域如图中阴影所示
将=+z ax y -转化为=+y ax z ，所以目标函数z 代表直线=+y ax z 在y 轴上的截距 若目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一
则直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，如图中虚线所示 又直线20x y +-=和220x y -+=的斜率分别为1-和2 所以2a =或1a =- 故答案为：2或1-.
【点睛】
本题考查了简单线性规划，线性规划最优解不唯一，说明目标函数所代表的直线与不等式组某条边界线平行，注意区分最大值最优解和最小值最优解.
三、解答题
21．（1）=1040AB m （2）35
37
（3）1250625[
,]4314（单位：m/min ） 【解析】 【分析】 【详解】
（1）在ABC ∆中，因为12cos 13
A =，3cos 5C =，
所以5sin 13A =
，4
sin 5
C =，
从而
[]sin sin ()B A C π=-+sin()A C =+5312463sin cos sin cos 13513565
A C C A =+=
⨯+⨯=．
由正弦定理sin sin AB AC C B
=，得12604
sin 1040
63sin 565
AC AB C B =⨯=⨯=（m ）． （2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(10050)m t +，乙距
离A 处130t m ， 所以由余弦定理得
22212
(10050)(130)2130(10050)13
d t t t t =++-⨯⨯+⨯
2200(377050)t t =-+， 由于1040
0130
t ≤≤，即08t ≤≤， 故当35
min 37
t =
时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理
sin sin BC AC
A B
=， 得12605
sin 500
63sin 1365
AC BC A B
=
⨯=⨯=（m ）． 乙从B 出发时，甲已走了50(281)550⨯++=（m ），还需走710m 才能到达C ． 设乙步行的速度为/min vm ，由题意得5007103350v -≤
-≤，解得1250625
4314
v ≤≤， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在
1250625,4314⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
（单位：/min m ）范围内． 考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用. 【方法点睛】
本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用. 22．（1）3
C π
=（2
【解析】
试题分析：（1）由余弦定理得cos C 值，再根据三角形内角范围求角C ；（2）由正弦定理将条件化为边的关系：2224cos b c a ac A +-=，再根据余弦定理得2a b =，代人解得
23
3a =
，433b =，2c =，由勾股定理得2B π=，最后根据直角三角形面积公式得ABC V 的面积．
试题解析：解：（1）由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-== 22221
222
a b ab ab ab +-==，
又()0,C π∈，所以3
C π
=
．
（2）由()2
2
sin sin sin 2sin2sin B A C A C -=-， 得222sin sin sin 2sin2sin B C A A C +-=， 得222sin sin sin 4sin cos sin B C A A A C +-=，
再由正弦定理得2
2
2
4cos b c a ac A +-=，所以222
cos 4b c a A ac
+-=．①
又由余弦定理，得222
cos 2b c a A bc
+-=，②
由①②，得222222
42b c a b c a bc bc
+-+-=
，得42ac bc =，得2a b =， 联立2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩
，得23
a =，43
b =．
所以222b a c =+．所以2
B π
=．
所以ABC V 的面积112323
222S ac ==⨯⨯=
． 23．(1);(2)
.
【解析】 试题分析：
(1)由题意结合通项公式与前n 项和的关系可得
;
(2)结合(1)中求得的通项公式和所给数列通项公式的特点错位相减可得数列
的前项和
.
(3) 试题解析：
(Ⅰ)由2S n ＝3a n －1 ① 2S n －1＝3a n －1－1 ② ②-①得2a n ＝3a n －3a n －1，∴
＝3，(
)
又当n ＝1时，2S 1＝3a 1－1，即a 1＝1，（符合题意） ∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得：b n＝
∴T n＝＋＋＋…＋，…………………③T n＝＋＋…＋＋，………④
③－④得：T n＝＋＋＋…＋－
＝－＝－
∴T n＝－.
24．（1）（2）5 7
【解析】
试题分析：（1）根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程，解得角的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和.
试题解析：（1）由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，
得2cos2A＋3cos A－2＝0，
即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，
解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．
因为0<A<π，所以A＝.
（2）由S＝bcsin A＝bc×＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21，故a＝.
从而由正弦定理得sin B sin C＝sin A×sin A＝sin2A＝×＝.
考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.
【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现时，就要考虑一个条件，,,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式
,灵活使用其中的一个.
25．（Ⅰ）证明见解析；（II）证明见解析.
【解析】
【分析】
【详解】
（Ⅰ）由222a b ab +≥，222c b bc +≥，222a c ac +≥得：
222a b c ab bc ca ++≥++，
由题设得
，
即2222221a b c ab bc ca +++++=， 所以3()1ab bc ca ++≤，即13
ab bc ca ++≤
. （Ⅱ）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，2
2c a c a +≥，
所以222
()2()a b c a b c a b c b c a
+++++≥++，
即222
a b c a b c b c a ++≥++， 所以2221a b c b c a
++≥.
本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”. 【考点定位】
本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
26．（Ⅰ）y =225x +2
360360(0)x x
-〉n
（Ⅱ）当x =24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 【解析】
试题分析：（1）设矩形的另一边长为am ，则根据围建的矩形场地的面积为360m 2，易得
360
a x
=
，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，我们即可得到修建围墙的总费用y 表示成x 的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x 值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则
45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+
（2）
．当且仅当225x=
时，等号成立．
即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
考点：函数模型的选择与应用。