高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.2对数与对数函数4.2.2对数运算法则课件新人教B版必修第

第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4．2 对数与对数函数
4.2.2 对数运算法则
(教师独具内容) 课程标准：1.掌握对数运算法则，并能运用对数运算法则进行对数式的 化简、求值与证明.2.掌握换底公式，并能运用换底公式将一般对数化成自然 对数或常用对数． 教学重点：对数运算法则、换底公式． 教学难点：对数运算法则及换底公式的应用.
5．(1)计算：2(lg 2)2＋lg 2×lg 5＋ lg 22－lg 2＋1；
解 (1)原式＝lg 2×(2lg 2＋lg 5)＋ lg 2－12 ＝lg 2×(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.
(2)已知 log35＝m,3n＝7，用 m，n 表示 log3245.
解 解法一：设 ax＝by＝cz＝t， ∴x＝logat，y＝logbt，z＝logct， ∴1x＋1y＋1z＝lo1gat＋lo1gbt＋lo1gct＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0， ∴abc＝t0＝1，即 abc＝1.
解法二：∵a，b，c 是不等于 1 的正数，且 ax＝by＝cz，
金版点睛 利用对数运算法则解决相关问题的思路 (1)利用对数的运算法则解决问题的一般思路：①把复杂的真数化简；② 正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的 和、差、积、商再化简；③逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对 数的运算法则化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值． (2)要注意一些常见的结论，如 lg 2＋lg 5＝1，lg a1＝－lg a 等．
a＋b a＋b ＝1＋log18198＝2－a.
解法二：∵18b＝5，∴log185＝b.又∵log189＝a，
于是 log3645＝lolgo1g81981×9825＝2lloogg1188918＋－lologg181589＝a2＋ －ba.
解法三：∵log189＝a,18b＝5，∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18.
解析 ∵xy>0，∴A 中若 x<0 则不成立；C 中若 x<0，y<0 也不成立；B， D 恒成立．故选 BD.
4．已知 loga2＝m，loga3＝n，则 loga18＝________(用 m，n 表示)． 答案 m＋2n 解析 loga18＝loga(2×32)＝loga2＋loga32＝loga2＋2loga3＝m＋2n.
∴log3645＝llgg
4356＝lglg91×9825＝2llgg
9＋lg 5 18－lg 9
alg 18＋blg 18 a＋b ＝2lg 18－alg 18＝2－a.
题型三 与对数有关的条件求值 例 4 (1)设 3x＝4y＝36，求2x＋1y的值； [解] (1)对等式 3x＝4y＝36 各边都取以 6 为底的对数，得 log63x＝log64y ＝log636， 即 xlog63＝ylog64＝2，∴2x＝log63，1y＝log62， ∴2x＋1y＝log63＋log62＝log66＝1，即2x＋1y＝1.
金版点睛 与对数有关的条件求值问题的解题技巧
1通过指数式化对数式求出 x，y，再代入所求式子中进行运算. 2对等式两边取对数，是一种常用的技巧，一般地给出的等式以指数形 式出现时，常用此法，值得一提的是，在取对数时，要注意对底数的合理选 取.
[跟踪训练3] 已知 a，b，c 是不等于 1 的正数，且 ax＝by＝cz，1x＋1y＋1z ＝0，求 abc 的值．
对于②，取 x＝8，y＝4，a＝2，则 log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2， ∴logax－logay＝loga(x－y)不成立； 对于③，取 x＝4，y＝2，a＝2，则 log2(4×2)＝log28＝3，而 log24·log22 ＝2×1＝2≠3，∴loga(xy)＝logax·logay 不成立；
lg
10 23
2lg 换底公式的作用
换底公式的作用是将不同底数的对数式转化为同底数的对数式，将一般 对数转化为自然对数或常用对数来运算，要注意换底公式的正用、逆用及变 形使用.
注意：在使用换底公式时，通常根据需要和从简的原则进行换底，一般 换成以 10 或 e 为底的常用对数或自然对数.
[跟踪训练1] 计算：(1)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2； 解 (1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋ lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
(2)log535－2log537＋log57－log51.8. 解 (2)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log559＝log55＋log57 －2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.
3
PART THREE
随堂水平达标
1．计算 log916×log881 的值为( )
A．18
1 B.18
8 C.3
3 D.8
答案 C
解析 log916×log881＝llgg196×llgg881＝42llgg 23×43llgg 32＝83，故选 C.
2．已知 lg 2＝a，lg 3＝b，则 log36＝( )
题型二 换底公式的应用 例 3 (1)用 logab 表示 loganbn 和 logambn(m≠0，n≠0)；
[解] (1)loganbn＝llgg bann＝nnllgg ba＝llgg ba＝logab； logambn＝llgg abmn＝mnllgg ba＝mn logab.
(2)计算：(log85＋log25)×(log54＋log258)；
⑥logax＝－loga1x；
⑦longax＝logan x；
x－y
x＋y
⑧logax＋y＝－logax－y.
其中式子成立的个数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
[解析] 对于①，取 x＝4，y＝2，a＝2，则 log24·log22＝2×1＝2，而 log2(4 ＋2)＝log26≠2，∴logax·logay＝loga(x＋y)不成立；
(2) □03 logaMα＝αlogaM
；
(3)
□04 logaMN＝logaM－logaN
.
知识点二 对数的换底公式
(1)logab＝□01 llooggccba ，其中 a>0 且 (2)转换成自然对数或常用对数
a≠1，b>0，c>0
logab＝□02 llnn
b a
＝
且 c≠1.
□03 llgg
[解] (2)原式＝llgg 85＋llgg 25×llgg 45＋llgg285＝3llgg52＋llgg 52×2llgg52＋32llgg 25＝ 23＋12＋2＋32＝134.
(3)已知 lg 2＝a，lg 7＝b，用 a，b 表示 log89.8 的值．
72×2
[解]
(3)log89.8＝lglg98.8＝lg
(2)已知实数 x，y 满足 xy＝yx，且 logxy＝2，求 xy 的值．
[解] (2)∵xy＝yx，且 logxy＝2，∴ylg x＝xlg y，llgg yx＝2， ∴ylg x＝x·2lg x，∴2x＝y，∴logx2x＝2，则 2x＝x2， ∵x>0 且 x≠1，∴x＝2，y＝4，∴xy＝8.
(1)log325－log35＝___lo_g_3_5__.
(2)lg 8＋lg 53＝___3_____. a
(3)若 lg 5＝a，lg 7＝b，用 a，b 表示 log75＝____b____.
2
PART TWO
核心素养形成
题型一 对数运算法则的应用 例 1 若 a>0 且 a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式： ①logax·logay＝loga(x＋y)； ②logax－logay＝loga(x－y)； ③loga(xy)＝logax·logay； ④llooggaaxy＝logaxy； ⑤(logax)n＝logaxn；
[跟踪训练2] (1)计算：(log43＋log83)×llgg 23；
解
(1)原式＝llgg
34＋llgg
38×llgg
2 3
＝2llgg32×llgg 23＋3llgg32×llgg 32＝21＋31＝65.
(2)已知 log189＝a,18b＝5，求 log3645.
解 (2)解法一：∵18b＝5，∴log185＝b.又∵log189＝a， 于是 log3645＝lloogg11884356＝lloogg1188198××52＝log11＋89＋loglo18g2185
3×22
lg 10
＝32llgg33＋＋22llgg22－－11＝23.
(2)2log32－log3392＋log38－5log53； [解] (2)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3 ＝5log32－(5log32－2)－3＝－1.
(3)log2 8＋4 3＋log2 8－4 3. [解] (3)原式＝log2( 8＋4 3· 8－4 3)＝log24＝2.
对于④，取 x＝4，y＝2，a＝2，则lloogg2242＝2≠log242＝1， ∴llooggaaxy＝logaxy不成立； 对于⑤，取 x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)3＝8≠log243＝6， ∴(logax)n＝logaxn 不成立； ⑥成立，由于－loga1x＝－logax－1＝loga(x－1)－1＝logax；
∴令 ax＝by＝cz＝t>0，∴x＝llgg at ，y＝llgg bt ，z＝llgg ct，
∴1x＋1y＋1z＝llgg
at ＋llgg
bt ＋llgg
ct ＝lg
a＋lg lg
b＋lg t
c .
∵1x＋1y＋1z＝0，且 lg t≠0，
∴lg a＋lg b＋lg c ＝lg (abc)＝0，∴abc＝1.
解 (2)由 3n＝7，得 log37＝n，∴log3245＝log3(5×49)＝log35＋log372＝ log35＋2log37＝m＋2n.
b a
.
1．对数运算性质口诀 积的对数变加法，商的对数变减法； 幂的乘方取对数，要把指数提到前．
2．换底公式的常用推论 (1)loganbn＝logab；(2)logambn＝mn logab； (3)logab·logba＝1；(4)logab·logbc·logcd＝logad. 对于上述结论，都可采用换底公式证出，以(4)为例，证明如下： logab·logbc·logcd＝llgg ba·llgg bc·llgg dc＝llgg da＝logad.
1
PART ONE
核心概念掌握
知识点一 对数运算法则
如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么，
(1)
□01 loga(MN)＝logaM＋logaN
；
推广：□02 loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N＋，N1，
N2，…，Nk 均为正数) ；
⑦成立，由于
n loga
1
x＝logaxn
＝1nlogax；
⑧成立，由于 logaxx－ ＋yy＝logaxx＋ －yy－1＝－logaxx＋ －yy.
[答案] A
lg 27＋lg 8－3lg 10
例 2 化简：(1)
lg 1.2
；
1
1
lg 33 2 ＋lg 23－3lg 10 2
[解] (1)原式＝
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( √ ) (2)loga(xy)＝logax·logay.( × ) (3)log2(－5)2＝2log2(－5)．( × ) (4)由换底公式可得 logab＝lloogg－－22ba.( × )
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
a＋b a＋b
a
b
A. a B. b C.a＋b D.a＋b
答案 B
解析
log36＝llgg
63＝lg
2＋lg lg 3
3 a＋b ＝ b ，故选
B.
3．(多选)若 a>0 且 a≠1，x∈R，y∈R 且 xy>0，则下列各式恒成立的 是( )
A．logax2＝2logax B．logax2＝2loga|x| C．loga(xy)＝logax＋logay D．loga(xy)＝loga|x|＋loga|y| 答案 BD