线性规划在物流运输中数学模型及应用

目录
线性规划在物流运输中数学模型及应用 (1)
摘要 (1)
关键词 (1)
引言 (1)
1、线性规划问题 (1)
1.1、线性规划问题的提出 (1)
1.2、线性规划数学模型 (6)
1.3、线性规划问题的标准形式 (7)
1.4、线性规划问题解的概念 (8)
1.4.1、可行解 (9)
1.4.2、基 (9)
1.4.3、基可行解 (10)
1.4.4、可行基 (10)
2、物流运输问题 (10)
2.1、物流运输 (10)
2.2、物流运输的规划设计 (11)
2.2.1、运输成本 (11)
2.2.2、运输速度 (11)
2.2.3、运输的一致性 (11)
2.2.4、与物流节点的匹配程度 (11)
2.3、运输规划设计内容 (12)
2.3.1、确定运输战略 (12)
2.3.2、确定运输线路 (12)
2.3.3、选择运输方式 (12)
2.3.4、运输过程控制 (12)
2.4、物流运输问题的提出 (12)
2.5、物流运输问题的数学模型 (14)
3、物流运输问题线性规划数学模型实例 (14)
3.1、车辆调度问题 (15)
3.2、产销运输问题 (17)
3.3、物资调运问题： (18)
4、结束语 (25)
致谢 (25)
参考文献 (25)
英文摘要 (26)
Linear Programming in logistics and (26)
transportand application of mathematical models (26)
Abstract (26)
Keywords (26)
线性规划在物流运输中数学模型及应用
线性规划在物流运输中数学模型及应用
摘要：
本论文重要是对线性规划问题的提出、标准型、以及求解进行分析，然后建立一些数学模型来解决一些实际问题。

针对物流运输这个方面的实际应用建立一些特殊的数学模型用线性规划进行分析，让物流运输变的简单、快捷、节约成本。

本文的关键是对物流运输中的问题建立的数学模型就行分析，利用线性规划来运算和求解，建立线性规划数学模型。

关键词：线性规划物流运输数学模型车辆调用物资调运
引言：
物流是物品从供应地向接受地的实体流动过程。

据数据统计，在机械产品的生产过程中，加工时间仅占10％左右，而物流时间却占90％，很大一部分生产成本消耗在物流过程中。

而运杂费接近总物流费用50％。

因此，运输成了降低物流费用最有潜力的领域，它是物流活动的核心。

在运输组织中，如何选择合理路线使运输费用最省，线性规划是实现运输管理最优化最成功的方法。

线性规划创始人、美国G．Dantzig教授曾在一个学术会议上说，他除了发现单纯形法之外，还有两个功绩：一是总结人们的实践经验，认识到在管理科学中大多数的实际关系都可用线性公式来表示；二是明确提出应该使用目标函数作为最优方案的选择准则。

为此，本文主要介绍在物流运输中如何建立它的线性规划数学模型。

至于求解线性规划的单纯形法不在这里介绍，因为用单纯形法求解线性规划问题计算机应用软件包代替了人工计算，并能非常轻松地解决此问题。

因此，现在物流业面临的新问题是针对具体的物资运输实物如何建立起数学模型，以及建立线性规划的条件。

1、线性规划问题
1.1、线性规划问题的提出
在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效益。

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例2.1 饲料问题
饲料场的饲料由各种食物混合而成，要求各种营养素达到各自的一定限量。

假定有n 种食物n f ,,f ,f 21 可供选择，要求每天所供给的m 种营养素m v ,,v ,v 21 量分别不少于m b b b ,,,21 单位，食物1f 的单位重量的价格为i i f c ,含j v 的百分比ji a ，其中n i m i ,,2,1;,2,1 ==。

假定每天每份饲料含食物i f 的重量为i x ，其中n i ,,2,1 =，则代价为
n n x c x c x c z +++= 2211。

要求在保证营养素i v 不少于),2,1(m i b i =的条件下，使代
价最小，则问题导致
112211112211
21122222112212min ..0,0,,0
n n
n n n n m m mn n n
n z c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b
x x x =++++++≥⎧⎪
+++≥⎪⎪⎨
⎪+++≥⎪⎪≥≥≥
⎩ 若考虑营养素i v 不得少于i b ，但不得超过i i i b b b ≥,，其中n i ,,2,1 =，则问题导致
,,0,0.
.min 2122112
222212121121211112211≥≥≥≥+++≥≥+++≥≥+++≥+++=n n n mn m m m n n n n n n x x x b x a x a x a b b x a x a x a b b x a x a x a b t s x c x c x c z
如若进一步考虑饲料中食物i f 的含量不得超过i d 单位，其中n i ,2,1=，则问题导致
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3
n
n n n mn m m m n n n n n n d x d x d x b x a x a x a b b x a x a x a b b x a x a x a b t s x c x c x c z ≤≤≤≤≤≤≥+++≥≥+++≥≥+++≥+++=0,,0,0.
.min 221122112
222212121121211112211
例2.2 生产计划问题
某工厂生产两种产品1P 和2P 。

产品1P 的单位售价29元，产品2P 单位售价23元；产品1P 每单位原材料费用为12元，而产品2P 每单位原材料费用为11元；产品
1P 每单位需要1m 机器2小时和2m 机器 1小时，产品2P 每单位需要机器 1m 和机器2m 各1小时。

产品1P 每单位机器费用13元，产品2P 每单位机器费用10元。

该工
厂机器 每天有100小时可供使用，机器每天有80小时可供使用。

产品1P 销售量不受限制，而产品2P 最多只能卖出40个单位。

问该厂应该如何安排使利润到达最大。

假定每日生产1P 为1x 单位，生产2P 为2x 单位。

产品1P 每单位的利润为29-12-13=4元，产品2P 每单位的利润为28-11-10=2元。

总利润
2124x x z +=
约束条件
40
0,080100
2212121≤≤≥≤+≤+x x x x x x
故生产计划问题导致下面的线性规划问题，即安排生产使总利润达到最大。

40
0,0801002.
.24max 2121212
1≤≤≥≤+≤++=x x x x x x t s x x z
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4
例2.3 下料问题
现有钢筋长为l ，由它截成长度为i l 的钢条i b 根，其中m i ,,2,1 =。

假定现有n 种切割方案，每种方案用一个列向量表示，即
n j a a a a mj j
j j ,2,1,21=⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=
其中ij a 为j 种方案截取长度为i l 的钢条数，即
l l a l a l a m mj j j ≤++ 2211
假定用第j 中方案截取的钢筋数为n j x j ,,2,1, =。

于是有
n
i x l x a x a x a l x a x a x a l x a x a x a t s x x x z i m n mn m m n n n n n ,,2,10.
.min 22112
22221211121211121 =≥≥++≥++≥+++++=且均为整数，
例2.4 投资问题
假定某产品拟在以后4年内对某项目依次投资300万、500万、900万和600万元，为了筹措这笔资金，该单位打算出售长期债券。

长期债券的市场年利率4年中依次是7.5%、6%、7.5%和6.5%。

可连续付10年利息后还本。

与此同时，有短期存款年利率分别为6.5%、6.5%和5.5%。

问最佳投资策略是什么？即每年出售多少长期债券和用多少作为短期存款，使最后付出最小？
设第i 年开始时卖出的长期债券为i x 百万元，4,3,2,1=i 。

收到长期债券后立即用于投资。

余下的款作为短期存款以备下一年投资用。

又设第j 年存入的短期存款为j y 百万元，3,2,1=j 。

因此第1年售出长期债券i x 1万元，1y 万元用于短期存款，故有
311=-y x
第2年开始时短期存款还本付息数量为1065.1y ，第2年开始时长期债券卖出22,y x 用
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于短期存款。

故有
5065.1221=-+y x y 第3年有
9065.1332=-+y x y
第4年有
6055.143=+x y
应该如何安排使得10年里付的总利息最少。

于是有
3
,2,1,0;
4,3,2,1,06055.19
065.15
065.13..)065.0(10)075.0(10)06.0(10)075.0(10min 433322
211
14321=≥=≥=+=-+=-+=-+++=j y i x x y y x y y x y y x t s x x x x z j i
例2.5 用工安排问题
某邮局从星期一到星期日，每人需要工作人员如下：
邮局规定每位工作人员连续工作5天，休息2天。

试问该邮局应如何雇用搞作人员使所雇总人数最少？
设i x 为从星期i 开始工作的人数，7,,2,1 =i 。

其中7x 为星期日雇用工作人员数，于是依题意有
7
,,2,1,01116
14
1915
13
17
..min 76543654325
432174
321763
217652
176541
7654321 =≥≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++++++++=i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x z i 且为整数，
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6
从以上例子可以看出，它们都是属于一类优化问题。

它们的共同特征：
（1）每一个问题都用一组决策变量）（n x ,,x ,x 21 表示某一方案，这组决策变
量的值就代表一个具体方案。

一般这些变量取值是非负且连续的。

（2）存在有关的数据，同决策变量构成相互不矛盾的约束条件。

这些约束条件可以用一组线性等式或不等式来表示。

（3）都有一个要求达到的目标，它可用决策变量及其有关的价值系数构成的线性函数来表示，按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。

线性规划是运筹学的重要分支，传统的管理只注重定性分析，已远远不能适应当今社会发展的需要，现代化管理要求采用定性分析和定量分析相结合的方法，一切管理工作要力求做到定量化、最优化，于是就产生了管理优化技术。

在诸多的管理优化技术中，线性规划是目前最常用而又最为成功的一种。

其原因有三：一是应用广泛。

管理工作中的大量优化问题可以用线性规划的模型来表达。

二是模型较为简单，容易建立，容易学习和掌握。

三是求解方法成熟。

因此无论从理论体系，还是从实际应用角度出发，系统地学习线性规划的理论和方法都是十分必要的，也是学习其他最优化理论的基础和起点。

1.2、线性规划数学模型
所谓线性规划问题，是指在一组线性不等式月约束下求线性目标函数的极大值或极小值问题。

线性规划所研究的问题主要有两类：一类是已给定一定数量的人力和物力资源，如何用这些资源完成最大量的任务；另一类是已给定一项任务，如何统筹安排，才能以最小量的资源去完成这项任务。

即有关“多、快、好、省”的最优化问题。

线性规划的数学模型的一般形式是： 在约束为:
()
()()()
n i x x x x x x x x x x i m m m n mn m m n n n n ,,3,2,10b ,b b a a a b ,b b a a a b ,b b a a a 221122222221211111212111 =≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤=+++≥≤=+++≥≤=+++ 的条件下，求目标函数
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)m ax m in(n 2221或=+++=x C x C x C S n 。

式中m m mn c c b b a ,,;,,;,,a 1111 都是问题给定的常数。

约束条件分两部，线性方程组叫主约束条件，变量的约束叫约束(决策)变量，满足约束的n X X X ,,,21 。

叫最优解，其相应的S 值叫最优值。

当约束方程组是线性等式，),2,1(0i m i b =≥和目标函数最小，则称标准型数学模型，否则是非标准型数学模型。

对于非标准化模型都可以化为标准型。

（1）如第i 个方程为i n jn j j b x a x a x a ≤+++ 2211时则引进入0≥i λ，使
i j j n jn j j b x a x a x a λλ,2211=++++ 称松弛变量。

若“≥”号,则应“减”i λ(剩余变
量)，使不等式变成等式。

（2）约束中，某个方程的常数项为负值，则对方程两端同乘1-，使常数项化为正数。

标准化后目标函数不变,n 2221x C x C x C S n +++= ，因此求解时只需讨论它的标准型即可。

1.3、线性规划问题的标准形式
目标函数有的要求max ，有的要求min ，约束条件可以是≤，也可以是≥形式的不等式，还可以是等式，决策变量一般是非负约束，但也允许在），（∞+∞-范围内取值，即无约束。

将这些多种形式的数学模型统一变换为标准形式，这里规定的标准形式为：
()n n x c x c x c z M +++= 22111m ax
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++=+++0,,,21221122212212111
1212111n m
n mn m m n n n n x x x b
x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a
()∑==n
j j
x
c z M 1
j '
1
max
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⎪⎩
⎪⎨⎧=≥==∑=n j x m
i b x c j i n
j j ,,2,1,0,,2,1,1
j 在标准形式中规定各约束条件的右端项0>j x ，否则等式两端乘以"1"-。

当某一个0=i b 时，表示出现退化。

用向量和矩阵符号表示时为:
）
（“1M CX z =max ⎪⎩
⎪
⎨⎧
=≥=∑=n j x b x P j n
j J j ,,2,1,01
其中：),,,(21n c c c C =
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m mj j j j n b b b b a a a P x x x X 21212
1;;
向量j P 对应的决策变量是j x 。

用矩阵描述时为：
max ≥==X b
AX CX z ，
其中
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=0000);(2
1
2
1
11211
n mn m m n P P P a a a a a a A
A —约束条件的n m ⨯维系数矩阵，一般n m <；b —资源向量；C —价值向量： X —决策变量向量。

实际碰到各种线性规划问题的数学模型都应变换为标准形式后求解。

1.4、线性规划问题解的概念
在讨论线性规划问题的求解前，先要了解线性规划问题解的概念。

由前面可
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知，一般线性规划问题的标准性为
⎪⎩
⎪⎨⎧=≥===∑∑==n j x m i b x P x c z j n
j J j n
j j
,,2,1,0,,2,1,max 1
i 1
j 1.4.1、可行解
满足约束条件式的解T
n X ）（x ,,x ,x 21 =，称为线性规划问题的可行解，其中
使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。

1.4.2、基
设A 是约束条件组的n ⨯m 维系数矩阵，其秩为m 。

B 是矩阵A 中n m ⨯阶非奇异子矩阵)0(≠B ，则称B 是线性规划问题的一个基。

也就是说，矩阵B 是由m 个线性独立的列向量组成。

为不失一般性，可设
()m mm m m m P P P B ,,,a a a a a a 212
1
11211
=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡= 称),,2,1(m j P j =为基向量，与基向量j P 相应的变量),,2,1(m j x j =为基变量，否则称为非基向量。

假设∑===n
j J j m i b x P 1i ,,2,1, 该方程组系数矩阵A 的秩为m ，因
为n m <，故它有无穷多个解。

假设前m 个变量的系数列向量是线性独立的。

这时可写成
n
mn n n m m m m m m m mm m m m m x a a a x a a a b b b x a a a x a a a x a a a ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++ 2111,1,21,121121222212112111
或
∑∑+==-
=n
m j j
j
m
j J
j x
P b x
P 1
1
方程组的一个基是
),,,(212
1
22221
11211m
mm m m m m P P P a a a a a a a a a B =⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=
设B X 是对应于这个基的基变量
T m B x x x X ),,,(21 =
现令上式的非基变量0n 2m 1m ====++x x x 这时变量的个数等于线性方程的个数，用高斯消去法，求出一个解
T m x x x X )0,,0,,,,(21 =
该解的非零分量的数目不大于方程个数吗，称X 为基解。

由此可见，有一个基，就可以求出一个基解。

1.4.3、基可行解
满足非负条件
⎪⎩
⎪⎨⎧=≥==∑=n j x m
i b x P j n
j J j ,,2,10,,2,1,1
i ， 的基解，称为基可行解。

可见，基可行解的非负零分量的数目也不大于m ，并且都是非负的。

1.4.4、可行基
对应于可行解的基，称为可行基。

约束方程组具有基解的数目是m
C n 个。

一般
基可行解的数目要小于基解的数目。

2、物流运输问题
2.1、物流运输
现代运输工具的不断改进与提高，使得现代物流中的运输观念，已非平常意义上的运输，其触角已伸到企业生产经营活动的大部分领域，已成为一个系统。

现在
的原材料的调达常常是大量运输，需要选择与大量运输相适应的运输手段，如何更方便快捷的长距离运输，以及更好的节约成本，这时就需要对物流运输进行合理而有效的规划。

2.2、物流运输的规划设计
为了确保物流运输系统的实现、促进整个物流系统的协调进行，在进行运输系统规划的时候要综合考虑一些关键因素。

2.2.1、运输成本
运输系统规划需要考虑成本问题，这里的成本不是运输系统本身的成本，而是物流系统总成本，简而言之，通过合理的运输系统规划，确保使物流系统总成本降到最低，这意味着低费用的运输不一定能获得最低的物流总成本，这也是物流一体化的具体体现。

2.2.2、运输速度
确保及时送达是运输系统规划的核心目标，该目标的实现需要适当的运输速度来实现。

一般情况下，在进行运输系统规划时，运输速度速度越快越好，但这需要有一个前提来保证，即在成本可接受的情况下。

因为，在绝大多数情况下玉树速度和运输成本呈现同向变化，高的运输速度同时也会产生高的成本。

因此，在进行运输规划时，并不是速度越快越好，而是选择适当的运输方式，实现运输速度与运输成本之间的平衡。

2.2.3、运输的一致性
所谓运输一致性，是指在若干次装运中履行某一特定运输任务的时间，与计划的时间或前几次运输所需的时间是否一致。

运输一致性是运输可靠性的反应，如果摸个运输作业花费时间变动弹性非常大，这种不一致性就会导致整个物流系统的不一致性，从而产生低效率。

因此，在进行运输系统规划时要认真考虑运输的一致性问题。

2.2.4、与物流节点的匹配程度
物流运输系统的核心功能是发挥在各物流节点的一个桥梁作用，桥梁作用的发挥首先就要要求运输系统与其他物流节点之间的良好对接。

例如，公路集装箱运输车辆的规格必须与散货堆场的集装箱规格一致，否则就无法完成二者之间的对接，导致运输系统无法发挥作用。

当然运输系统与其他物流节点的匹配还涉及很多其他
类似问题，需要在运输系统规划时综合考虑。

物流运输系统的规划设计就是按照货物流通规律组织货物运输，力求用最少的劳动消耗得到最高的经济效益。

也就是说，在有利于生产，有利于市场供应，有利于节约流通费用、运力以及劳动力的前提下。

使货物运输走过最短的里程。

经过最少的环节，用最快的时间，一最小的损耗和最低的成本，把货物从出发地晕倒客户要求的地点。

因此需要利用合理的规划来建立数学模型来解决一些实际问题。

2.3、运输规划设计内容
2.3.1、确定运输战略
在进行运输系统规划设计是，首先需要对运输系统所处的环境进行分析。

环境分析的主要包括国家的宏观运输政策、运输市场的发展状况、物流系统综合战略、其他物流节点的情况等。

在对上述问题进行分析的基础上，确定运输系统战略，明确运输系统规划的方向。

物流运输战略的确定直接决定运输系统规划的其他要素。

2.3.2、确定运输线路
在物流系统中，当物流节点相对稳定时，在各个物流节点之间会形成若干条不同的运输系统，不同运输系统的差异可能体现在线路上节点的数目，也可能体现为线路上节点的先后顺序。

不同的运输线路由于节点数目或顺序的差异会产生不同的运输效果，满足物流节点的不同需求。

运输系统的选择往往需要利用线性规划问题来实现
2.3.3、选择运输方式
在运输战略明确、运输线路选定的情况下，选择适当的运输方式是保证运输系统目标实现的重要保证。

在选择具体的运输方式时，既可以选择单一的运输方式，也可以选择多种运输方式的联运。

2.3.4、运输过程控制
物流运输系统目标的实现依赖于有效的过程控制。

由于运输过程的空间变动性，对运输过程控制的难度远远高于固定节点的控制，因此在进行运输系统规划时如何实现对运输系统的有效控制特别是过程控制既是运输系统规划的难点又是重点。

2.4、物流运输问题的提出
设某种物品有m 个产地m 21A A A ，，
， ，n 个销售地n 21,,,B B B 。

i A 地的产量为;,,2,1,m i a i =j B 处得需求量为n j b j ,,2,1, =。

不妨假定∑∑===n
j j m
i i b a 1
1。

对所有的i 和j ，均有0,>j i b a 。

如果，即供过于求时，
可假定有一个虚拟的销售地∑∑==++-=n
j j m i i n b a b B 1
1
11n ,，而且),,2,1(01,m i c n i ==+。

若
∑∑==<n
j j
m i i b
a 1
1
，则问题无解。

由i A 运往j B 单位产品的运费为
),,2,1;,,2,1(n j m i c ij ==。

问题是决定最优运输方案：保证供给，使运费最少。

假定从i A 运往j B 的量为ij x 个单位，于是运输问题的数学模型为：
n
j m i x n
j b x
m i a x
t s x c z ij j m
i i n
j m
i n
j ij
ij ,,2,1;,,2,1,0,,2,1,,,2,1,.
.min 1
ij
1ij
11 ==≥=====∑∑∑∑====
i n
j a x
=∑=1
ij
表示从i A 运出的量正好是i A 的产量m i a i ,,2,1, =。

同样的理由j m
i b x =∑=1
ij 表示运往j B 的量正好是它的需求量n j b j ,,2,1, =。

共mn 个变量，m+n 个约束条件。

令
)
(b )()(x 21
22221
11211
2121212222111211212222111211mn m m n n
n m mn m m n n T mn m m n n a a a a a a a a a A b b b a a a c c c c c c c c c C x x x x x x x x x ====）
（
其中j m i ij e e a ++=，i e 为n+m 维列向量且第i 个分量为1，其余分量为0，j m +e 第m+j 个
分量为1，其余为0，n j m i ,,2,1;,,2,1 ==。

则有
⎩⎨
⎧≥==0
b Ax s.t.Cx
z min x 2.5、物流运输问题的数学模型
设有某种物资需要从m 个产地m 21A A A ，，
， 运到n 个销地n B B B ,,21，其中每个产地i A 的产量为),2,1(m i a i =，每个销地i B 的销量为),2,1(n j b j =。

设从产地
i A 到销地j B 的单位运价为ij C ，用ij x 表示从产地i A 到销地j B 的物资运量，则有数
学模型：
)
,2,1;,2,1(0)
,2,1(),2,1(),(.
.min 1
1
11n j m i x n j b x
m i a x
t s x c Z ij m i j ij
n
j i ij
m
i n
j ij
ij ==≥===≥≤==∑∑∑∑====
其中当∑==n
j i ij a x 1
时，为产销平衡问题，否则为产销不平衡问题，
3、物流运输问题线性规划数学模型实例
现在物流业面临的新问题是：
(1)认定所给问题确实是一个线性规划问题； (2)把它建立起线性数学模型；
(3)并能够完成具体实务的全部工作。

第一个问题实质上是具体实务究竟满足什么条件才能应用线性规划的方法。

一般地说，必须有：
①一定要满足将目标表为最小化或最大化的要求；
② 一定要有达到目标的不同方法，且必须要有选择的可能性； ③要求的目标是有限制条件的；
④ 必须将约束条件用数学表示为线性等式或线性不等式，并将目标函数化为线性函数。

3.1、车辆调度问题
物流部门承接的运输千万种，并往往是几十种物资同时调运。

为此，只有一种物资的数学模型求最优调运方案方法，在多种物质运输情况下就不能直接使用。

原因是：在调度汽车去完成运输任务时，免不了要出现空驶现象。

例如某车队有一天要完成如表2所示的运输任务，各地问的距离如表3，问应怎样安排汽车去完成这些任务才能做到最省?
表2 运输任务
表3 运输距离
分析：满车路线和方向显然是固定的，但空车的路程、方向却没有固定。

如把木材从火车站运到建筑工地卸下后，空车即可去火车站装煤，也可去文具公司装纸
t*数当然也不同，这就产生了车辆调度问题。

车张。

空车的走法不同，空驶的km
t*调度问题主要解决的是：怎样安排车辆去完成所有的运输任务并使空驶的辆km
t*数最小”；这就是说把空数最小。

物资调运问题是“怎样才能使物资运输的km
车看成是一批货物(卸几吨货物就看成是几吨空车)，则把车辆调度问题转化为物资调运问题。

把空车看成是货物，其发、收(产、销)点及发、收(产、销)量按如下的方法决定：
(1)若某点的卸货总量大于装货总量，则该点是空车的发点，其发量等于卸货总量与装货总量之差。

如学校的卸货总量为4，装货为0，故学校是发点，发量为4。

(2)若某点装货总量大于卸货总量，则该点是空车的收点，其收量也是二者之差。

（3)如果某点的卸货总量等于装货总量，如此点不存在空车则不予考虑。

为此，车辆调度问题可作为物资调运问题来处理。

即空车的流向应怎样才能使车辆调度合理?
其主要步骤如下：①确定空车的收发点和收发量，并列表；②确定空车调运的数学模型，并求解；③根据所得解并结合具体情况合理调派车辆。

解：收点：火车站、文具公司、粮店；发点：建筑工地、钢厂、学校。

表4 空车收发运距
约束条件为：
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎪
⎨⎧=++=++=++=++=++2
6424
322212312111333231232221131211x x x x x x x x x x x x x x x
)4,3,2,1;3,2,1(0==≥j i x ij
()33323123222113121113481025739m in x x x x x x x x x S ++++++++
用单纯形法的程序在计算机上可得：钢厂、学校分别向火车站发2t 空车，建筑工地向文具公司和粮店发2t 空车。

空车吨公里数最小是：
5648222723min =⨯+⨯+⨯+⨯=S
3.2、产销运输问题
销售商在组织某一产品销售时，需要从多个厂家或产地采购，运输到其不同的销售门店，而每个厂家或产地可提供的产品数量和运价各不相同，如何组织运输才能使总运费最低?
产销平衡问题一般可表述为：某种物资有m 个产地,21m A A A 。

，
， ，其供应量分为;,,,21m a a a ，有n 个销售地,,,21n B B B ，其销量分为;,,,21n b b b ；产地物资供应量总合等于销售地物资销量总合；从产地i A 到销售地j B 的物资量和单位物资运价分别为ij ij c x ,，求此时调运物资的最佳方案。

对此问题可有下述线性规划模型：
)
,,2,1;,,2,1(0)
,,2,1(),,2,1(.
.min 11
1111n j m i x a b
n i b x
m i a x
t s x c z ij m
i i
n
j j
m
i j ij
n
j i ij
m
i n
j ij
ij ==≥======∑∑∑∑∑∑======
例：设有两个煤矿供应三个城市用煤，煤矿1A 和2A 的日产量分别为
t a t a 250;20021==。

三城市),,(321B B B 的日产量分别为t
b t b t b 200,150,100321===假定每t 货物的社会运输费与出行公路线性有关，取ij
c 代表煤矿i 到城市j 的最短距离。

已知km c km c km c km c km c km c 80,65,80,100,70,90232221131211======。

问如何安排运输使运输费用最省？
解：设ij x 为煤矿i 运往城市j 的煤量，根据每个煤矿产煤总量和城市的用煤总量，)3,2,1;2,1(==j i x ij 必须满足下列条件：
200
150100250200231322122111232221131211=+=+=+=++=++x x x x x x x x x x x x
目标函数为：
2322211312118065801007090m in x x x x x x z +++++=。

用表上作业法可得：最优方案既是1A 向21B B 、调运煤数量分别为50、150；2A 向
31B B 、调运数量分别为50、200。

3.3、物资调运问题：
例l ：苹果的运价及产销量如表l ，求总运费最省的运输方案。

表l 运价产销量
解：找线性关系：设ij x 表示产地i A 供给销地j B 的物资数量，产地1A 产量只有9个单位，可供销地321B B B 、、其和为9，321B B B 、、的量有多种选择。

而1B 只需6个单位，可选21A A 、的产量，其和小于6。

因为总销量大于总产量。

故约束条件为：
11121321
222311211222132397
6
..560 (1,2,3
1,2)
ij x x x x x x x x s t x x x x x i j ++=⎧⎪++=⎪⎪+≤⎪⎨
+≤⎪⎪+≤⎪≥==⎪⎩ （2）
又从1A 运1个单位的苹果到1B 需运价7个单位，若11x 个单位则117x 运价，因此满足约束的)2,1;3,2,1(0==≥j i x ij 得总运价的目标函数为： )31131047m in(232221131211x x x x x x +++++ 此约束方程组不是标准型。

将约束条件方程组(2)标准化为：
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎪⎪⎨
⎧==≥=++=++=++=++=++)
2,1;3,2,1(065679323132221212111232221131211j i x x x x x x x x x x x x x ij
λλλ
用单纯形法的程序在计算机上可得最优调运矩阵为⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡205450，最省的运费为69min =S 。

特别地，当产量大于销量时，如常数9改为12，约束条件前两个方程改为7x x x ,12x x x 232221131211≤++≤++，后面三个用等式。

当产销平衡时，约束方程组是等式方程组，方程组的个数为()1-+n m 个。

在物资调运过程中，从m 个产地往n 个销售地，怎样组织运输，才能使总运输费用最节省？这是最常见的问题，也是至关重要的问题。

下面列举一个公司运输木材的例子，并运用线性规划数学模型来解决平衡运输问题。

例2:某公司是一个拥有3 个木材资源区和5 个需要供应的市场的木材公司。

木材资源区1、2、3 每年所能够生产的木材量分别为1500 万、2000 万和1500 万板英尺。

每年市场1、2、3、4、5 能够销售的木材量分别为800 万、900 万、1000 万、1100 万和1200 万英尺。

过去，这个公司通过火车来运输木材。

然而，由于使用火车的运输成本已经
上升了，最近，该城市建立了一个新的港口，所以可以考虑使用水运的方式来运输其中的一部分木材。

但是这种方式却需要公司要在水运方面进行投资。

除了这些投资成本之外，使用火车运输木材的成本（单位：千美元每板英尺），沿着每一条路线使用轮船来运输木材（如果这个方式可行的话）的成本如下表所示：表一
表二
沿着每一条路线用轮船每年运输每100万板英尺，如下表所示：需要对轮船进行的资金注入（单位：千美元）
表三
考虑到轮船的预计使用期限和货币的时间价值，年成本大约就是表中所列数值的1/10。

公司的目标是要制定出一个全面运输计划，使总年成本最小（包括运输成本）。

现在，公司管理科学小组的负责人分别制定出了三个能够使年成本最小的运输计划。

方案1：继续使用火车运输木材，并仅使用此方式。