5聚点内点边界点

就可以定义极限.连续.导数.积分等运算,从而把数学分析的 相关概念及研究思路推广到一般的距离空间中来,使得分析 学有了更广泛的应用.
2、度量空间中的几个概念 d ( A, B)＝ inf{d ( P, Q) | P A, Q B} （1）两点集间的距离：
d ( P, Q) (2)点P到点集A的距离: d ( P, A) d ({P}, A) inf QA
其体积均为 | I | (bi ai )
i 1
n
二 .点集的诸点
1.定义:
n 设 E Rn , P R 0
（）若存在 1 0, 使得N ( P 0 , ) E, 则称P 0为E的内点
C （2）若存在 0, 使得N (P , ) E , 则称P 0 0为E的外点
（6）开区间I {( x1 , x2 ,..., xn ) | ai xi bi , ai , bi R, i 1, 2,..., n}, 闭区间，半开半闭区间
（7）点列{Pn }收敛于P0 , 记做 lim Pn P0 lim d ( Pn , P0 ) 0
n n
实变函数论
第5讲
第二章 n维空间中的点集
§1聚点、内点、边界点、Bolzano-Weierstrass定理
一、度量空间及其特例---n维欧氏空间 1. 度量空间---距离空间
(1)距离定义： 设X 为一集合, 若对x, y X , 唯一的实数d ( x, y ) R, 使得 (a)非负性 : d ( x, y ) 0, 且d ( x, y ) 0 x y; (b)对称性 : d ( x, y ) d ( y, x); (c)三角不等式 : d ( x, y ) d ( x, z ) d ( z , y ) 对 z X 成立, 则称d ( x, y )是x与y间的距离.
令 =1,则由条件在N ( P0 ,1)中至少有一点P 1 E, P 1 P 0,
1 令1 min{d ( P , P ), }, 则在N ( P0 , 1 )中至少有一点P2 E , P2 P0 P 1 0 1, 2
1 令 2 min{d ( P2 , P0 ), }, 则在N ( P0 , 2 )中至少有一点P3 E, P3 P0 , 3 得到{Pn }, 使 lim Pn P0
（3）若对任意的 0, 总有N ( P0 , ) E , N ( P0 , ) E C ， 则称P0为E的界点
（4）若存在 0, 使得N ( P E {P 0 , ) 0 }, 则称P 0为E的孤立点
（5）若对任意 0, 总有N ( P E为无穷集， , 则称P 0 , ) 0为E的聚点
n
3、聚点存在定理(Bolzano-Weierstrass )定理4： R n中任意有界无穷点集必有聚点。
问：任意有限集有聚点吗？－－无
三.点集诸点构成的点集
1.定义：设 E Rn
1）称E的所有内点组成之集为E的内部或开核，
E 2)称E的所有聚点组成之集为E的导集，记作：
3）称E的所有界点组成之集为 E的边界，记作：E
思考：点集的诸点与该集的所属关系如何？ 孤立点与界点的关系如何？ 内点与聚点、界点与聚点的关系任何呢？
2、聚点的等价定义
a)P 0 为E的聚点 b) 0，N ( P0 , )中至少含有一个属于E而异于P0的点 c) E中互异的收敛于P0的点列 Pn
证明 : a) b), c) a)是显然的，下面证明b) c)
d ( x, y )
2 ( x y ) i i i 1 n
则d ( x, y)是X 上的一个距离，称为欧氏距离， （X ,d )称为欧氏空间，记为Rn
若令d1 max | xi yi |,
1i n
d 2 | xi yi |
i 1
n
则d1,d2也是X 上一个距离，(X , d1 ),(X , d2 )也是距离空间
n { P | d ( P , P ) , P , P R } (3)点P 的 邻域 ： N ( P , ) 0 0 0 0
(4) 点集的直径: ( A) sup{d ( p, q)}
p , qA
(5) 有界集:
若 ( A) M 0, 对P A, 有d (P, o) M , o (0,0,...,0) Rn
记作： int E或E 0
4)称 E E为E的闭包，记为E
5)如果集合E的每一个点都是孤立点，则E为孤立集合
6)如果E ' , 则称E为离散集
2.性质：
1） 开核、闭包、导集的单调性：
若A B, 则A0 B0 , A B, A B
2）并集的导集与闭包：
A B A B
对x A 取有理数rx ( x
故 Aa
小结：
1、距离，距离空间 2、点集E的内点、外点、孤立点、界点、聚点 3、点集E的内部、边界、导集、闭包 4、点集E的内部、边界、导集、闭包的性质
作业：P29
4
(2)距离空间： 定义了距离的集合X 称为距离空间或度量空间, 记作( X , d ), 度量空间中的元素, 可以称其为点.
(3) 例1:
1) Rn
----n维欧氏空间,
其中集合 X {( x1, x2 ,..., xn ) | xk R, k 1,2,..., n} 对任意 x ( x1, x2 ,..., xn ) X , y ( y1, y2 ,..., yn ) X
注1 同一集合可以定义不同的距离，对应着不同的度 量空间。
2)
X {{x1 , x2 ,..., xn ,...}| xi 2 } E
i 1

x, y X , 令d ( x, y)
2 ( x y ) i i i 1

( X , d )是距离空间，记为l 2
3）X { f (t ) | f (t )在[a, b]上连续},
x(t ), y (t ) X , 令d ( x, y ) max | x(t ) y (t ) |
a t b
则 ( X , d )为距离空间, 记为 C[a, b]
为什么要定义距离呢?
----因为有了距离,在距离空间中,就可以定义邻域,有了邻域,
(1).doc
A
BA
B
3）孤立点和离散集合的关系：
离散集合都是孤立点集合，但孤立点集合不一定是离散集合
1 A { ; n 1, 2, 3 n
} 是孤立集合，但不是离散集合
例1 求
1.R1中01 ，内全体有理点 E的所有聚点、界点和内点
2.R 2中点集 E {( x, y ) x 2 y 2 1}的导集、边界、闭包
例2 对R中任意孤立点集A,总有 A a 证： A是孤立点集， x A, x 0, 使得( x x , x x ) A {x}
且当x与y都属于A, 且x y时, 有( x
x
2
,xx2)(y y2
,y
y
2
)
x , x x ) 令 ( x) rx 2 2 则此对应是A到有理数集某一子集的一个一一对应，