高中数学第一章解三角形章末优化总结新人教A必修

＝sin
53＋ 3·sin 45°cos 60°＋cos
45° 45°sin
60°
＝5 33＋3＋1 1＝10 3(海里)． 2
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC＝20 3海里， 在△DBC 中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC ＝300＋1 200－2×10 3×20 3×12＝900，
解析：依据题设条件的特点，由正弦定理，得 sin Bcos C＋cos Bsin C ＝sin2A，即 sin(B＋C)＝sin2A，从而 sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，解得 sin A＝1， ∴A＝π2，故选 B. 答案：B
专题三 与三角函数有关的问题 三角形和三角函数结合的题目，常以三角形为载体，以正、余弦定理 和三角函数公式为工具综合考查，在利用三角函数公式化简时一定要 准确，而且要根据三角形确定角的范围，进而解决所求问题．
设函数 f(x)＝cosx＋23π＋2cos2x2，x∈R. (1)求 f(x)的值域； (2)记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f(B)＝1，b ＝1，c＝ 3，求 a 的值．
[解析] (1)f(x)＝cos xcos23π－sin xsin 23π＋cos x＋1
1＋18－2×1×3 2× 22＝ 13.
1．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设 a，b，c 满足条件 b2＋c2－bc＝a2 和bc＝12＋ 3，求 A 和 tan B 的值． 解析：由余弦定理 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12， ∴A＝60°.在△ABC 中，C＝180°－A－B＝120°－B. 由已知条件，应用正弦定理得 12＋ 3＝bc＝ssiinn CB＝sin1si2n0°B－B
定理 C＝180°求出另一角，S△＝12absin C
在有解时只有一解
已知条件
三边 (a，b，c)
两边和其中一 边的对角
(如 a，b，A)
应用定理
一般解法
余弦 定理
由余弦定理求出角 A，B，再利用 A ＋B＋C＝180°求出角 C，S△＝12absin C 在有解时只有一解
由正弦定理求出角 B，由 A＋B＋C
专题四 实际应用问题 1.几种常见题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题等． 2．解题时需注意的几个问题 (1)要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念，并能准确地找出(或 作出)这些角； (2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发 现题目中的隐含条件，才能顺利解决．
已知△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 满足 a＋c＝2b 且 2cos 2B－8cos B＋5＝0， 求 B 的大小，并判断△ABC 的形状． [解析] ∵2cos 2B－8cos B， ∴4cos2B－8cos B＋3＝0， 即(2cos B－1)(2cos B－3)＝0. 解得 cos B＝12或 cos B＝32(舍去)．
解析：由题意知 AB＝5(3＋ 3)海里，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB 中，由正弦定理得sin∠BDDAB＝sin∠ABADB，
∴DB＝ABsi·nsi∠n∠ADDBAB＝53＋sin310·s5in°45°
正弦 定理
＝180°求出角 C，再利用正弦定理 求出 c，S△＝12absin C 可有两解、一
解或无解
在△ABC 中，B＝45°，AC＝ 10，cos C＝255. (1)求 BC 边的长； (2)求 AB 边上的中线 CD 的长．
[解析] (1)由 cos C＝255，得 sin C＝ 55，
无友不如己者，过则勿一惮改边。和两角
正弦
孤独并不可怕，每个人都是孤独的，可怕的是害怕孤独。
孤能独说并不不能可做怕，，不每是个真(人智如都慧是。a孤，独B的，，可C怕)的是害怕定孤独理。
弦定理求出 b 与 c；S△＝12acsin B 在
孤真独正并的不友可谊怕无，论每从个正人反都看是都孤应独一的样，，可不怕可的能是从害前怕面孤看独是。蔷薇而从有后面解看是时刺只。 有一解
∵B∈(0，π)，∴B＝π3. ∵a＋c＝2b， ∴cos B＝a2＋2ca2c－b2＝a2＋c22－aca＋2 c2＝12. 化简得 a2＋c2－2ac＝0，解得 a＝c. 又 a＋c＝2b，∴a＝b＝c. ∴△ABC 是等边三角形．
2．设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos C＋ ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
＝sin
120°cos
B－cos sin B
120°sin
B
＝2tan3 B＋12，
从而 tan B＝12.
专题二 利用正余弦定理判断三角形的形状 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径： (1)化边为角； (2)化角为边． 常见具体方法有： ①通过正弦定理实施边角转换； ②通过余弦定理实施边角转换； ③通过三角变换找出角之间的关系； ④b2＋c2－a2>0⇔A 为锐角，b2＋c2－a2＝0⇔A 为直角，b2＋c2－a2<0⇔A 为钝角．
解析：(1)∵f(x)＝sinx＋74π－2π＋cosx－π4－π2 ＝sinx－π4＋sinx－π4 ＝2sinx－π4， ∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.
(2)f(C)＝2sinC－π4＝ 2， ∴sinC－π4＝ 22， ∵0<C<π，∴－π4<C－π4<34π，∴C＝π2. 又 c＝2，b＝ 2， ∴a＝ c2－b2＝ 2，S△ABC＝12absin C＝1.
∴CD＝30(海里)，则需要的时间 t＝3300＝1(小时)． 即救援船到达 D 点需要 1 小时．
能说不能做，不是真智慧。 真正的友谊无论从正反看都应一样，不可能从前面看是蔷薇而从后面看是刺。 孤独并不可怕，每个人都是孤独的，可怕的是害怕孤独。 君子不重则不威，学则不固。主忠信。无友不如己者，过则勿惮改。——《论语·学而》 作者不一定能写到老，但是他一定应该学到老。 最能保人心神之健康的预防药就是朋友的忠言规谏。——培根 发展是硬道理，但硬发展是没道理。 我们的人生必须励志，不励志就仿佛没有灵魂。 肯承认错误则错已改了一半。 视死若生者，烈士之勇也。 小时候我以为自己长大后可以拯救整个世界，长大后才发现整个世界都拯救不了我。
在 Rt△DCE 中，CD＝CE·tan∠CED
＝10( 3－1)tan 30°
＝103－3
3 .
∴塔高为103－3 3米．
4．如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3＋ 3)海里的两个观测点．现 位于 A 点北偏东 45°，B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航 行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？
sin A＝sin(180°－45°－C)＝sin(135°－C)
＝
2 2 (cos
C＋sin
C)＝3
10 10 .
由正弦定理，得 BC＝siAnCB·sin A＝
10×3 2
1010＝3
2.
2
(2)由正弦定理，得 AB＝siAnCB·sin C＝
10× 2
55＝2.
2
BD＝12AB＝1.
由 余 弦 定 理 ， 得 CD ＝ BD2＋BC2－2BD·BCcos B ＝
在△ABC 中，由正弦定理知sinAC15°＝sin41035°， ∴AC＝4s0insin13155°°＝40 2sin(45°－30°) ＝40 2( 22× 23－ 22×12)＝20( 3－1)． 在△ABC 中，过 C 作 AB 的垂线，设垂足为 E，则由立体几何知识可 知沿途测得塔的最大仰角就是∠CED，即∠CED＝30°. 在 Rt△ACE 中，EC＝AC·sin∠BAC＝ACsin 30° ＝20( 3－1)×12＝10( 3－1)．
法二：由正弦定理sinb B＝sinc C，得 sin C＝ 23，C＝π3或23π. 当 C＝π3时，A＝π2，从而 a＝ b2＋c2＝2； 当 C＝23π 时，A＝π6，又 B＝π6，从而 a＝b＝1. 故 a 的值为 1 或 2.
3．已知函数 f(x)＝sinx＋74π＋cosx－34π，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期和最小值； (2)记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f(C)＝ 2， c＝2，b＝ 2，求 S△ABC.
付出就要赢得回报，这是永恒的真理，自古以来很少有人能突破它。然而，如果有人能够超越它的限制，付出而不求回报，那么他一定会得到得更 多。
某人在塔的正东沿南偏西 60°的道路前进 40 米后，望见塔 在东北方向上，若沿途测得塔的最大仰角为 30°，求塔高． [解析] 如图，由题设条件， 知∠CAB＝∠A＝90°－60°＝30°， ∠ABC＝45°－∠A＝45°－30°＝15°， ∴ ∠ ACB ＝ 180°－ ∠ BAC － ∠ ABC ＝ 180°－ 30° －15°＝135°. 又∵AB＝40 米，
＝－12cos
x－
3 2 sin
x＋cos
x＋1
＝12cos
x－
3 2 sin
x＋1
＝sinx＋56π＋1， 因此 f(x)的值域为[0,2]．
(2)由 f(B)＝1 得 sinB＋56π＋1＝1， 即 sinB＋56π＝0，又因 0<B<π，故 B＝π6. 法一：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 a2－3a＋2＝0，解得 a＝1 或 a＝2.
高中数学第一章解三角形章末优化总结新人教A必修
网络 体系构建 专题 归纳整合 章末检测（一）
专题一 利用正、余弦定理解三角形 这类问题一般要先审查题设条件，进行归类，根据题目类型确定用哪个定理 入手解决． 解斜三角形有四种情况：
已知条件 应用定理
一般解法
无友不如己者，过则勿惮改。
由 A＋B＋C＝180°求出角 A；由正
无友不如己者，过则勿惮改。 最能保人心神之健康的预防药就是朋友的忠言规谏。
由余弦定理求出第三边 c；由正弦定
孤独并不可怕，每个人都是孤独的，可怕的是害怕孤独。
最能保人心神之健康的预防药就是朋友的忠言规谏。
高中数学第一章解三角两形章边末和优化夹总角结新人教A必修余弦
理求出小边所对的角；再由 A＋B＋
(如 a，b，C)