三角函数公式汇总及口诀大全

三角公式汇总
一、任意角的三角函数
在角α的终边上任取．．
一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =
αsin 余弦：r x =αcos 正切：x
y =αtan 余切：y x =αcot 正割：x r =αsec 余割：y
r =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，
与单位圆有关的有向．．
线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.
二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα. 商数关系：αααcos sin tan =
，αααsin cos cot =. 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+.
三、诱导公式(总口诀：奇变偶不变，符号看象限)
⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．
锐角时原函数值的符号. （口诀：函数名不变，符号看象限）
⑵απ
+2、απ
-2、απ+23、απ-2
3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．
锐角时原函数值的符号. （口诀：函数名改变，符号看象限）
四、和角公式和差角公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+
βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-
βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+
βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-
βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=
+ β
αβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- 五、二倍角公式
αααcos sin 22sin =
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*
α
αα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-
2)cos (sin 2sin 1ααα+=+
2)cos (sin 2sin 1ααα-=-
六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）
ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，α
αα2tan 1tan 22tan -=. 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．
来表示. 七、和差化积公式
2cos 2sin 2sin sin βαβ
αβα-+=+ …⑴
2sin 2cos 2sin sin βαβ
αβα-+=- …⑵
2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ …⑶
2
sin 2sin 2cos cos β
αβ
αβα-+-=- …⑷ 了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：
2sin 2cos 2cos 2sin 22
sin sin βαβαβαβαβαβαα-++-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++= 2sin 2cos 2cos 2sin 22sin sin βαβαβαβαβαβαβ-+--+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵.
2sin 2sin 2cos 2cos 22cos cos βαβαβαβαβαβαα-+--+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++= 2sin 2sin 2cos 2cos 22cos cos βαβαβαβαβαβαβ-++-+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷.
八、积化和差公式
[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=
⋅ [])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=
⋅ [])cos()cos(2
1cos cos βαβαβα-++=⋅ [])cos()cos(21sin sin βαβαβα--+-
=⋅ 我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用.
九、辅助角公式
)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a （*）
其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，
22sin b a b
+=ϕ，22cos b a a +=ϕ，a
b =ϕtan .
十、正弦定理
R C
c B b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径） 十一、余弦定理
A bc c b a cos 22
22⋅-+=
B ac c a b cos 2222⋅-+=
C ab b a c cos 2222⋅-+=
十二、三角形的面积公式
高底⨯⨯=∆2
1ABC S B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===
∆（两边一夹角） R
abc S ABC 4=∆（R 为ABC ∆外接圆半径） 2ABC a b c S r ∆++⎛⎫=⋅
⎪⎝⎭（r 为ABC ∆内切圆半径） ))()((c p b p a p p S ABC ---=∆…海仑公式（其中
c b a p ++=）
十三、不常见的公式
1.3
sin 33sin 4sin 4sin(60)sin sin(60)θθθθθθ=-=︒-︒+ 3cos34cos 3cos 4cos(60)cos cos(60)θθθθθθ=-=︒-︒+ 2.22
sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=- 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=- x α x。