2011年离散数学A-B-1227

命题人：吴明芬 审核人： 试卷分类（A 卷或B 卷）
五邑大学 试 卷
学期： 2011 至 2012 学年度 第 1 学期 课程：
离散数学
课程代号： 006A1020
使用班级： AP10061、62、63、64 姓名： 学号：
（每小题3分共12分）
（
1）将下面的命题翻译成命题公式。

1．
如果天不下雨，我就骑自行车上班。

2．不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。

（2）将下列命题翻译成谓词公式。

1． 所有的人都要呼吸。

2． 除非李联不怕吃苦，否则她不会取得这样好的成绩。

计算题（每题4分共12分）
（1） 求公式)())()((a R x Q P x ∨→∀的真值，其中论域为{-2，3，6}，12:>P ；3:)(≤x x Q ；
6:)(≥x x R ；5=a 。

（2） 设集合A ={a,b,c,d,e}上有一各划分S={{a,b},{c},{d,e}}，试由S 确定A 的一个等价关系R 。

三、 计算题（每题6分共30分）
（1）给定集合X={0，1，2，3}，R 和S 是X 上的关系，
R ={（x,y ）|y=x+1 或 y= x/2 }，S ={ (x,y)|x=y+2} 。

要求1）R,S 是否满足自反、对称、传递性；2）计算关系R S ，。

（2）求集合{1,2,3,…1000}中有多少元素至少能被4，5, 6这三个数中的一个整除。

（3）求公式 R Q P →→)(的主析取范式。

（4）在整数集合I 上，定义二元运算*如： x*y=x+y-5，则
1）运算*在I 上可交换和可结合吗？ 2）运算*在I 上有单位元、零元和逆元吗？
（5）设A ＝｛1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 20, 40｝，ρ是定义在集合A 上的整除关系， 1）请画出A 中整除关系的哈斯图；
2）写出A 的子集B={4，5，8，20}的最大元，最小元，上界，下界。

四、
证明题（每题7分共14分） （1）对任意命题公式,,,A B C D ，证明,(),()A B B C C A D D →⌝∨∧⌝⌝⌝∧⇒⌝ （8分） （2）设ρ是整数集合I 上的二元关系， ，试证ρ是I 上的等价关系，并求ρ
对应的划分。

(9分)
操作题（每题4分共16分）
(1)画一个图使它有一条欧拉回路但没有哈密尔顿回路；画一个图使它既没有欧拉回路但是有哈密尔顿回路。

（6分）
（2）请画出4个结点的全部简单连通图。

（3）请判断K 5少一条边是否为平面图， 如果是请说明有几个面及每个面的度数。

（4）画出下图的一棵最小生成树，并计算该最小生成树的权。

六、 本题8分
设一个图有4个结点1234,,,v v v v ，该图的边集为：
{(,)|}3a b
a b I ρ-=∈
1112232431324143{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v v v v v v v =。

则
1）画出该图；2）写出邻接矩阵；3）求出可达矩阵，4）该图是强连通、单向连通？
七、
本题8分 1）请给出整数集合I 模6的同余类关于模6加法运算的运算表，即()66,I +； 2）写出群()66,I +的全部子群。

命题人：吴明芬 审核人： 试卷分类（A 卷或B 卷）
五邑大学 试 卷
学期： 2011 至 2012 学年度 第 1 学期 课程：
离散数学
课程代号： 006A1020
使用班级： AP10061、62、63、64 姓名： 学号：
（每小题3分共12分）
（
1）将下面的命题翻译成命题公式。

2．
如果他没来见你，那么他或者是生病了，或者是不想见你。

2．狗急跳墙。

（2）将下列命题翻译成谓词公式。

3． 没有不犯错误的人。

4． 每个人都有人爱，但没有人为所有人爱。

计算题（每题4分共12分）
（1） 求公式(()())x P x Q x ∀∨的真值，其中论域为{0，1，2}，():1,P x x =():=2Q x x 。

（2）设集合A ={a,b,c,d,e}上有一各划分S={{a,b},{c},{d,e}}，试由S 确定A 的一个等价关系R 。

三、 计算题（每题6分共30分）
（1）给定集合X={0，1，2，3，4}，R 和S 是X 上的关系，
R ={（x,y ）|x+y=4}，S ={ (x,y)|x-y=1} 。

要求1）R,S 是否满足自反、对称、传递性；2）计算关系S R 。

（2）求集合{1,2,3,…1000}中有多少元素不能被4，5, 6这三个数中的任何一个整除。

（4）在实数集R 上，定义如下运算 *：对任意a ，b ∈R ，a*b = a+b+2ab ，则1）运算*在I 上可交换和可结合吗？2）运算*在I 上有单位元、零元和逆元吗？
（5）对于集合{1，2，3，4，5，6，8，10，12，24}上的整除关系。

试画出其哈斯图，并求{4，6，8，10，12}的极大，极小元；上确界，下确界。

四、
证明题（每题7分共14分） （1）证明：(()()),(),(()())()x P x Q x x R x x Q x R x x P x ∀→⌝∃⌝∀∨⇒∃⌝（8分）
（2）设C={|,a bi a b +为实数，且0}a ≠， 定义C 上的关系R 如下：
R={a+bi,c+di)|a+bi,c+di C,ac>0}∈（，证明R 为等价关系，并求R 对应的划分。

操作题（每题4分共16分）
（1）画一个图使它有一条欧拉回路和一条哈密尔顿回路；画一个图使它既没有欧拉回路也没有哈密尔顿回路。

（2）请画出5个节点的全部树。

（3）请判断下图是否为平面图，如果是请说明有几个面及每个面的度数。

（4）画出下图的一棵最小生成树，并计算该最小生成树的权。

六、
本题8分
设一个图有4个结点1234,,,v v v v ，该图的边集为：
1112232431324143{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v v v v v v v =。

则
1）画出该图；2）写出邻接矩阵；3）求出可达矩阵，4）该图是强连通、单向连通？
七、 本题8分
1）请给出整数集合I 模8的同余类关于模8加法运算的运算表，即()88,I +； 2）写出群()88,I +的全部子群。