最新初中数学方程与不等式之二元二次方程组分类汇编及答案解析(1)

最新初中数学方程与不等式之二元二次方程组分类汇编及答案解析(1)
一、选择题
1．解方程组：223020
x y x y -=⎧⎨+=⎩.
【答案】1212x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩ 【解析】
【分析】
把第一个方程化为x=3y ，代入第二个方程，即可求解.
【详解】
由方程①，得x ＝3y③，
将③代入②，得(3y )2+y 2＝20，
整理，得y 2＝2，
解这个方程，得y 1
，y 2
④，
将④代入③，得x 1＝
，2x ＝﹣
所以，原方程组的解是11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
11x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩【点睛】
该题主要考查了代入法解二元二次方程组，代入的目的是为了消元，化二元为一元方程，从而得解.
2．解方程组：222570x y x y x +=⎧⎨-++=⎩
． 【答案】11
13x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
用代入法即可解答，把①化为y=-2x+5，代入②得x 2-（-2x+5）2+x+7=0即可．
【详解】
由①得25y x =-+．③
把③代入②，得22(25)70x x x --+++=．
整理后，得2760x x -+=．
解得11x =，26x =．
由11x =，得1253y =-+=．
由26x =，得21257y =-+=-．
所以，原方程组的解是11
13x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩.
3．已知A ，B 两地公路长300km ，甲、乙两车同时从A 地出发沿同一公路驶往B 地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上与A 地相距105km 的C 处取回货物，于是甲车立即原路返回C 地，取了货物又立即赶往B 地（取货物的时间忽略不计），结果两下车同时到达B 地，两车的速度始终保持不变，设两车山发x 小时后，甲、乙两车距离A 地的路程分别为y1(km)和y2(km)．它们的函数图象分别是折线OPQR 和线段OR ．
（1）求乙车从A 地到B 地所用的时问；
（2）求图中线段PQ 的解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）在甲车返回到C 地取货的过程中，当
x= ，两车相距25千米的路程.
【答案】（1）5h （2）90360y x =-+（3）67h 30或77h 30
【解析】（1）由图可知，求甲车2小时行驶了180千米的速度，甲车行驶的总路程，再求甲车从A 地到B 地所花时间；即可求出乙车从A 地到B 地所用的时间；（2）由题意可知，求出线段PQ 的解析式；（3）由路程，速度，时间的关系求出x 的值.
（1）解：由图知，甲车2小时行驶了180千米，其速度为180290÷=（km/h ） 甲车行驶的总路程为： ()2180105300450⨯-+=（km)
甲车从A 地到B 地所花时间为： 450905÷=（h ）
又∵两车同时到达B 地，
∴乙车从A 地到B 地所用用的时间为5h.
（2）由题意可知，甲返回的路程为18010575-=（km)，所需时间为575906÷=（h ），517266+=.∴Q 点的坐标为（105， 176
）.设线段PQ 的解析式为： y kx b =+， 把（2，180）和（105， 176）代入得： 1802{171086
k b k b =+=+，解得90360k b =-=，， ∴线段PQ 的解析式为90360y x =-+.
（3）6730 h 或7730
“点睛”本题考查了一次函数的应用，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利
用数型结合的思想解答问题．
4．解方程组：22229024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩
【答案】113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
将原方程组变形为：()()(
)()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩＝＝，所以有3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨-+⎩
＝＝，然后解4个二元一次方程组就可以求出其值．
【详解】
原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩
＝＝， 原方程组变为四个方程组为：3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨--⎩
＝＝，3020x y x y +⎧⎨-+⎩
＝＝， 解这四个方程组为：113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩. 故答案为113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩.
5．解方程组221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩
【答案】1143x y =-⎧⎨=-⎩，22
01x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】先将②式左边因式分解，再将①式代入，可求出x,再分别代入①式求出y.
【详解】解：221? 444y x x xy y ①②=+⎧⎨-+=⎩
由②得，()2
24x y -= ③，
把①代入③，得 ()2
214x x ⎡⎤-+=⎣⎦，
即：()224x +=，
所以，x+2=2或x+2=-2
所以，x 1=-4,x 2=0,
把x 1=-4,x 2=0,分别代入①，得y 1=-3,y 2=1.
所以，方程组的解是 1143x y =-⎧⎨=-⎩，22
01x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组.
6．解方程组
【答案】原方程组的解为：， 【解析】
【分析】
把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，把x 代入第一个方程，求出y 即可.
【详解】 解：
把①代入②得：x 2-4x （x +1）+4（x +1）2=4，
x 2+4x =0，
解得：x =-4或x =0，
当x =-4时，y =-3，
当x =0时，y =1， 所以原方程组的解为：，． 故答案为：，． 【点睛】
本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想.
7．解方程组2210260x y x x y -+=⎧⎨--+=⎩
【答案】1113x y =⎧⎨
=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩. 【解析】
【分析】
由（1）得21y x =+，代入到（2）中整理为关于x 的一元二次方程，求出x 的值，并分别求出对应的y 值即可.
【详解】
解： ()()221012602x y x x y ⎧-+=⎪
⎨--+=⎪⎩， 由（1），得21y x =+（3），
把（3）代入（2），整理，得2540x x -+=，
解这个方程，得121,4x x ==，
把11x =代入（3），得13y =，
把24x =代入（3），得29y =，
所以原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，22
49x y =⎧⎨=⎩.. 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，用代入消元法消去一个未知数，转化为解一元二次方程是解题关键.
8．解方程组：2220334x y x y y -=⎧⎨+-=⎩
. 【答案】21x y =⎧⎨
=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩
【解析】
【分析】 由①可知x=2y ，代入②可得一个关于y 的一元二次方程，进行解答，求出y 值，再进一步求x 即可．
【详解】
解：2220......33 4......x y x y y -=⎧⎨+-=⎩
①② , 由①得：2x y =………… ③
将③代入②，化简整理，得：
2340y y +-=，
解得：13y y ==-或，
将13y y ==-或代入①，得：
21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩
. 【点睛】
考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
9．22x -y -3x 10y ⎧=⎨++=⎩
，①，② 【答案】x 1y -2=⎧⎨
=⎩ 【解析】
【分析】
根据解二元二次方程组的步骤求解即可.
【详解】
解：由方程①得：()()x y x-y -3+⋅=，③
由方程②得：x y -1+=，④
联解③④得x-y=3，⑤
联解④⑤得x 1y -2=⎧⎨=⎩
所以原方程组的解为x 1y -2=⎧⎨
=⎩ 【点睛】
本题考查解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程,再降次转化为一元一次方程解之.
10．解方程组：222,
{230.x y x xy y -=--=
【答案】1111x y =⎧⎨=-⎩22
31x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
【详解】
x 2-2xy-3y 2="0"
(x-y)2-4y 2=0
又因：x-y=2代入上式
4-4y 2=0
y=1或y=-1
再将y=1、y=-1分别代入x-y=2
则 x=1、x=3
∴1111x y =⎧⎨=-⎩22
31x y =⎧⎨=⎩
11．解方程组 1730x y xy -=⎧⎨=-⎩
【答案】1212215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨
⎨=-=-⎪⎩⎩ 【解析】
【分析】
根据第一个式子，得出x 与y 的关系，代入第二个式子求解．
【详解】
解：1730x y xy -=⎧⎨=-⎩
①②， 由①，得x=17+y③，
把③代入②式，化简得y 2+17y+30=0，
解之，得y 1=-15，y 2=-2．
把y 1=-15代入x=17+y ，得x 1=2，
把y 2=-2代入x=17+y ，得x 2=15．
故原方程组的解为121
2215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨
⎨=-=-⎪⎩⎩. 【点睛】
本题考查了二元二次方程的解法，解题的关键是运用代入法得出x 、y 的值．
12．k 为何值时，方程组2216x y x y k ⎧+=⎨-=⎩
只有唯一解？ 【答案】
k=±.
【解析】
【分析】
将方程组转化为一元二次方程，根据△=0求解即可.
【详解】
2216(1)(2)
x y x y k ⎧+=⎨-=⎩ 由（2）得， y=x-k （3）
将（3）代入（1）得，2222160x kx k -+-=，
要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=0，即
22(2)42(16)0k k --⨯⨯-=，
解得，
k=±.
所以当
k=±2216x y x y k
⎧+=⎨-=⎩只有唯一解. 【点睛】
本题考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判别式的应用，掌握当判别式为0时，一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键．
13．解方程组:223403
x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩ 【答案】1141x y =⎧⎨=⎩或223232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
； 【解析】
【分析】
由代入消元法，消去一个未知数x ，得到关于y 的一元二次方程，然后用公式法解出y 的值，然后计算出x ，即可得到方程组的解.
【详解】
解：223403x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩
①②， 由②得：3x y =+③，
把③代入①，得22(3)3(3)40y y y y +-+-=，
整理得：26390y y +-=，
∵2494692250b ac ∆=-=+⨯⨯=>，
∴用求根公式法，得
y =， 解得：1=1y ，232
y =-；
∴14x =，232
x =； ∴方程组的解为：1141x y =⎧⎨=⎩或223232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
； 【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，利用代入消元法把解方程组转变为解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.
14．解方程组：222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩
【答案】1110x y =⎧⎨
=⎩，22
34x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】
【分析】
由方程②得出x +y =1，或x +y =﹣1，进而解答即可．
【详解】 222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩①②，由②可得：x +y =1，或x +y =﹣1，所以可得方程组221x y x y +=⎧⎨+=⎩
①③或221x y x y +=⎧⎨+=-⎩
①④，解得：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩； 所以方程组的解为：1110x y =⎧⎨
=⎩，2234
x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，关键是根据完全平方公式进行消元解答．
15．解方程组： 22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩
． 【答案】1111x y =⎧⎨=⎩,2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
． 【解析】
【分析】
由完全平方公式，组中②可变形为（x +2y ）2＝9，即x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3．这样原方程组可变形为关于x 、y 的两个二元一次方程组，这两个二元一次方程组的解就是原方程组的
解．
【详解】
22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩①②
由②得：（x +2y ）2＝9，
即：x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3
所以原方程组可化为3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩； 3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩
． 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩
；得1111x y =⎧⎨=⎩； 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩．得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
． ∴原方程组的解是得1111x y =⎧⎨=⎩；得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法．把二元二次方程组转化为一元一次方程组是解决本题的关键．
16．21238438xy x y yz z y zx z x =+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩
【答案】231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3521
x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩ 【解析】
【分析】
将x 和z 分别都用y 表示出来，代入第三个方程，解出y ，然后就可以解出x 、z ．
【详解】
解：21238438xy x y yz z y zx z x =+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩①②③
由①得：12y x y -=
-④ 由②得：382
y z y -=-⑤ 将④⑤代入③得：
1384(38)3(1)82222y y y y y y y y ----=+-----g ， 去分母整理得：2422300y y -+=，
∴2(3)(25)0y y --=，
3y ∴=或52
=， 将3y =分别代入④⑤得：2x =，1z =； 将52
y =分别代入④⑤得：3x =，1z =-； 综上所述，方程组的解为：231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3521
x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩． 【点睛】
本题考查了三元二次方程组的解法，解方程的基本思想是消元，任意选择两个方程将两个未知数用第三个未知数表示，即可代入第三个方程，解出一个未知数之后，剩下两未知数就可直接算出．
17．解方程组：2225210x y x y xy +=⎧⎨+--=⎩
． 【答案】7343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或12x y =⎧⎨=⎩． 【解析】
【分析】
将方程22
210x y xy +--=变形整理求出1x y -=或1x y -=-，然后分别与25x y +=组成方程组，求出对应的x ，y 的值即可．
【详解】
解：2225210x y x y xy +=⎧⎨+--=⎩
①②， 对②变形得：()21x y -=，
∴1x y -=③或1x y -=-④，
①－③得：34y =，解得：43y =
， 把43
y =代入①得：4253x +⨯=，解得：73x =； ①－④得：36y =，解得：2y =，
把2y =代入①得：225x +⨯=，解得：1x =， 故原方程组的解为：7343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或12x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”，掌握好消元和降次的方法和技巧是解二元二次方程组的关键．
18．解方程组：22235,230.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩
． 【答案】1111x y =⎧⎨=⎩，2
2553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩
． 【解析】
【分析】
先将第二个方程利用因式分解法得到两个一元一次方程，然后分别与第一个方程联立成二元一次方程组，分别解方程组即可．
【详解】
由②得：()()30x y x y -+=；
所以，0x y -=或30x y +=；
整理得：2350x y x y +=⎧⎨-=⎩或23530x y x y +=⎧⎨+=⎩
； 解得：11x y =⎧⎨=⎩或553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩
； 所以，原方程组的解为1111x y =⎧⎨=⎩，2
2553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩
； 【点睛】
本题主要考查二元二次方程组的解法，能够将原方程组拆成两个二元一次方程组是解题的关键．
19．解方程组：2226691
x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩． 【答案】14
11x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 【解析】
【分析】
先由②得(x-3y)2
=1，x-3y=1或x-3y=-1，再把原方程组分解为：2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,x y x y +=⎧⎨-=-⎩
最后分别解这两个方程组即可． 【详解】
解：2226691,x y x xy y +=⎧
⎨-+=⎩①② 由②得：(x-3y)2=1，
x-3y=1或x-3y=-1，
所以原方程组变为：2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,x y x y +=⎧⎨-=-⎩
解这两个方程组得：41x y =⎧⎨=⎩，16575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以原方程组的解为14
11x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 【点睛】
此题考查了解高次方程，解答此类题目一般是先把高次方程分解为低次方程，再分别解低次方程．
20．解方程组：2220{25x xy y x y --=+=①②
【答案】5{
5x y ==-或21x y =⎧⎨=⎩
. 【解析】
【分析】
将①左边因式分解，化为两个二元一次方程，分别与②联立构成两个二元一次方程组求解即可.
【详解】
2220{25x xy y x y --=+=①②
由①得()()20x y x y +-=，即0x y +=或20x y -=，
∴原方程组可化为0{25x y x y +=+=或20{25
x y x y -=+=. 解0{25x y x y +=+=得5{5x y ==-；解20{25x y x y -=+=得21
x y =⎧⎨=⎩. ∴原方程组的解为5{5x y ==-或21
x y =⎧⎨=⎩.。