高中数学第二章圆锥曲线与方程1椭圆1.2椭圆的简单性质实用课件北师大版选修11
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第十七页，共27页。
4．若点 P(a,1)在椭圆x22＋y32＝1 的外部，则 a 的取值范围为(
)
A.－2
3
3，2
3
3
B.2
3
3，＋∞∪－∞，－2
3
3
C.43，＋∞
D.－∞，－43
第十八页，共27页。
解析：因为点 P 在椭圆x22＋y32＝1 的外部， 所以a22＋132＞1，解得 a＞233或 a＜－233，故选 B. 答案：B
第二十四页，共27页。
7．椭圆 x2＋4y2＝1 的离心率为
()
3
3
A. 2
B.4
2
2
C. 2
D.3
解析：将椭圆方程 x2＋4y2＝1 化为标准方程得 x2＋y12＝1，则
4
a2＝1，b2＝14，c＝ a2－b2＝ 23，离心率 e＝ac＝ 23，故选 A. 答案：A
第二十五页，共27页。
8．过椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于
3．椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆 的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为 a2＝b2＋c2，所以ba＝ 1－e2，因 此，当 e 越趋近于 1 时，ba越接近于 0，椭圆越扁；当 e 越趋近于 0 时， ba越接近于 1，椭圆越接近于圆．当且仅当 a＝b 时，c＝0，两焦点重合， 图形变为圆，方程为 x2＋y2＝a2.所以 e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆．
第二十页，共27页。
6．已知椭圆的对称轴为坐标轴，椭圆上的点到焦点的最近距离为 4，短轴长为 8 5，求椭圆的方程．
b＝4 5， 解：由题意得，a－c＝4，
a2＝b2＋c2，
解得ac＝＝81，2，
∴椭圆的方程为1x424＋8y02 ＝1 或1y424＋8x02＝1.
第二十一页，共27页。
椭圆的离心率 [例 3] 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点 F1， F2 在 x 轴上，A，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点， 且 PF1⊥x 轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率． [思路点拨] 求椭圆的离心率就是设法建立 a，c 的关系式，此 题可利用 kPF2＝kAB 以及 a2＝c2＋b2 来建立 a，c 的关系．
D．(0，± 7)
解析：由题意，椭圆的焦点在 y 轴上，a＝4，b＝3，所以 c＝ a2－b2 ＝ 42－32＝ 7，所以椭圆的焦点坐标是(0，± 7)，故选 D. 答案：D
第十三页，共27页。
3．已知椭圆方程为 4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、
焦点坐标、顶点坐标和离心率．
解：把椭圆的方程化为标准方程x92＋y42＝1.
∴a＝1，b＝12，c＝
3 2.
∴椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1，
两焦点坐标分别为
F1－ 23，0，F2 23，0， 顶点坐标分别为
A1(－1,0)，A2(1,0)，B10，－12，B20，12.
第十页，共27页。
[一点通] 求椭圆的性质时，应把椭圆方程化为标准方程，注意分清楚焦 点的位置，准确地写出 a，b 的数值，进而求出 c 及椭圆的长轴和 短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
第三页，共27页。
问题 1：此时椭圆的长轴长是多少？
提示：aa－ ＋cc＝ ＝66
371＋200， 371＋5 100
⇒2多少？
提示：∵a＝9 021，c＝2 450，
∴e＝ac＝0.271 6.
第四页，共27页。
椭圆的简单性质
焦点的位置
焦点在x轴上
第十一页，共27页。
1．已知椭圆 C1：1x22 ＋y42＝1，C2：1x62＋y82＝1，则
()
A．C1 与 C2 顶点相同
B．C1 与 C2 长轴长相同
C．C1 与 C2 短轴长相同 D．C1 与 C2 焦距相等 解析：由两个椭圆的标准方程可知，C1 的顶点坐标为
(±2 3，0)，(0，±2)，长轴长为 4 3，短轴长为 4，焦距
焦点在y轴上
图像
标准方程
_xa_22_＋___by_22_＝__1_(_a_＞___b_＞__0__)
_ay_22_＋__xb_22_＝___1_(_a_＞__b_＞___0_)
第五页，共27页。
焦点的位置 范围 顶点 对称性 轴长
离心率
焦点在x轴上 _|_x_|≤___a_，__|_y_|_≤__b__
4c 3
.由椭圆的
定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以
2c ＋ 3
4c3＝2a，即
e＝ac＝
3 3.
答案：
3 3
第二十六页，共27页。
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，要先 化成标准形式，再确定焦点位置，求准 a，b.
2．求离心率 e 时，注意方程思想的运用．
第二十七页，共27页。
可知此椭圆的焦点在 x 轴上，且长半轴长 a＝3，短半轴长 b
＝2；又得半焦距 c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5.
因此，椭圆的长轴长 2a＝6，短轴长 2b＝4；两个焦点的坐
标分别是(－ 5，0)，( 5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，
(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率
e＝
5 3.
点 P，F2 为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为_____．
解析：由题意知，△PF1F2 为直角三角形，且∠F1PF2＝60°，
所以|PF2|＝2|PF1|.设|PF1|＝x，则|PF2|＝2x，|F1F2|＝ 3x，又
|F1F2|＝2c，所以
x＝
2c 3
.即|PF1|＝
2c3，|PF2|＝
为 4 2；C2 的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2 2)，长轴长为 8， 短轴长为 4 2，焦距为 4 2，故选 D. 答案：D
第十二页，共27页。
2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，
(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是
()
A．(±1,0)
B．(0，±1)
C．(± 7，0)
第六页，共27页。
1．椭圆上到中心距离最远和最近的点：短轴端点 B1 和 B2 到中心 O 的距离最近；长轴端点 A1 和 A2 到中心 O 的距离最远．
2．椭圆上一点与焦点距离的最值：点(a,0)，(－a,0)与焦点 F1(－c,0) 的距离，分别是椭圆上的点与焦点 F1 的最大距离和最小距离．
理解教材 ( jiàocái)新知
1.2
第 §1 二椭
椭圆 的简
章
圆
单性
质
把握(bǎwò) 热点考向
应用 (yìngyòng)
创新演练
考点一 考点二 考点三
第一页，共27页。
§1
椭圆
1．2 椭圆的简单性质
第二页，共27页。
中国第一颗探月卫星——“嫦娥一号”发射后，首先进入 一个椭圆形地球同步轨道，在第 16 小时时它的轨迹是近地点 200 km，远地点 5 100 km 的椭圆，地球半径约为 6 371 km.
第二十二页，共27页。
[精解详析] 设椭圆的方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)． 则有 F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)， 直线 PF1 的方程为 x＝－c， 代入方程xa22＋by22＝1，得 y＝±ba2， ∴P－c，ba2.又 PF2∥AB，∴kPF2＝kAB， ∴－b22ac＝－ab，即 b＝2c. ∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.
第十九页，共27页。
5．已知椭圆的对称轴是坐标轴，中心 O 为坐标原点，F 是一个
焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是 6，且 cos ∠OFA＝
23，则椭圆的标准方程为____________． 解析：∵椭圆的长轴长是 6，cos ∠OFA＝23， ∴点 A 不是长轴的端点(是短轴的端点)．
∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3，∴3c＝23. ∴c＝2，b2＝32－22＝5. ∴椭圆的方程是x92＋y52＝1 或x52＋y92＝1. 答案：x92＋y52＝1 或x52＋y92＝1
第八页，共27页。
[精解详析]
椭圆方程可化为xm2＋
y2 m
＝1(m>0)，
m＋3
∵m－mm＋3＝mmm＋＋32＞0，
∴m＞mm＋3，即 a2＝m，b2＝mm＋3.
∴c＝ a2－b2＝
mm＋2 m＋3 .
由 e＝ 23，得
mm＋＋23＝ 23，解得 m＝1，
第九页，共27页。
∴椭圆的标准方程为 x2＋y12＝1. 4
第十四页，共27页。
椭圆性质的简单应用 [例 2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)离心率 e＝23，短轴长为 8 5； (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距 为 6. [思路点拨] (1)焦点的位置不确定，可设标准方程为ax22＋by22＝1 或ay22＋xb22＝1(a>b>0)． (2)画出图形，结合图形明确已知条件．
第七页，共27页。
椭圆的简单性质 [例 1] 已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率 e＝ 23， 求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标． [思路点拨] 将椭圆方程化为标准形式，用 m 表示出 a，b， c，再由 e＝ 23，求出 m 的值，然后再求 2a,2b，焦点坐标，顶 点坐标．
第十五页，共27页。
[精解详析] (1)设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1 或ay22＋xb22＝1(a>b>0)．由已知得 e＝ac＝23，2b＝8 5， ∴ac22＝a2－a2 b2＝49，b2＝80.∴a2＝144. ∴所求椭圆的标准方程为1x424＋8y02 ＝1 或1y424＋8x02＝1. (2)如图所示，△A1FA2 为一等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且 OF＝c，A1A2＝2b， ∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的方程为1x82 ＋y92＝1.
第十六页，共27页。
[一点通] 利用椭圆的性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法， 其步骤是： (1)确定焦点位置． (2)设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两 种标准方程)． (3)根据已知条件建立关于参数的方程，利用方程(组)求参数， 列方程(组)时常用的关系式为 b2＝a2－c2，e＝ac等．
焦点在y轴上 _|x_|_≤__b_， ___|y__|≤__a__
_(_±_a_,_0_)_，___(0__，__±_b__) __
_(_0__，__±_a_)_，___(_±_b_,_0_)_
对称轴： 坐标轴 对称中心：__(_0_,0_)__
长轴长 2a ，短轴长__2_b_ c
e＝__a___∈__(_0_,1_)_
∴e2＝15，即 e＝ 55，
所以椭圆的离心率为
5 5.
第二十三页，共27页。
[一点通] 1．求椭圆离心率的方法： (1)直接求出 a 和 c，再求 e＝ac，也可利用 e＝ 1－ab22求解； (2)若 a 和 c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到 a 和 c 的齐次等式关系，然后整理成关于ac的方程，即为关于离心率 e 的 方程，进而求解． 2．求离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等 式来求离心率的取值范围．
4．若点 P(a,1)在椭圆x22＋y32＝1 的外部，则 a 的取值范围为(
)
A.－2
3
3，2
3
3
B.2
3
3，＋∞∪－∞，－2
3
3
C.43，＋∞
D.－∞，－43
第十八页，共27页。
解析：因为点 P 在椭圆x22＋y32＝1 的外部， 所以a22＋132＞1，解得 a＞233或 a＜－233，故选 B. 答案：B
第二十四页，共27页。
7．椭圆 x2＋4y2＝1 的离心率为
()
3
3
A. 2
B.4
2
2
C. 2
D.3
解析：将椭圆方程 x2＋4y2＝1 化为标准方程得 x2＋y12＝1，则
4
a2＝1，b2＝14，c＝ a2－b2＝ 23，离心率 e＝ac＝ 23，故选 A. 答案：A
第二十五页，共27页。
8．过椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于
3．椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆 的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为 a2＝b2＋c2，所以ba＝ 1－e2，因 此，当 e 越趋近于 1 时，ba越接近于 0，椭圆越扁；当 e 越趋近于 0 时， ba越接近于 1，椭圆越接近于圆．当且仅当 a＝b 时，c＝0，两焦点重合， 图形变为圆，方程为 x2＋y2＝a2.所以 e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆．
第二十页，共27页。
6．已知椭圆的对称轴为坐标轴，椭圆上的点到焦点的最近距离为 4，短轴长为 8 5，求椭圆的方程．
b＝4 5， 解：由题意得，a－c＝4，
a2＝b2＋c2，
解得ac＝＝81，2，
∴椭圆的方程为1x424＋8y02 ＝1 或1y424＋8x02＝1.
第二十一页，共27页。
椭圆的离心率 [例 3] 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点 F1， F2 在 x 轴上，A，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点， 且 PF1⊥x 轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率． [思路点拨] 求椭圆的离心率就是设法建立 a，c 的关系式，此 题可利用 kPF2＝kAB 以及 a2＝c2＋b2 来建立 a，c 的关系．
D．(0，± 7)
解析：由题意，椭圆的焦点在 y 轴上，a＝4，b＝3，所以 c＝ a2－b2 ＝ 42－32＝ 7，所以椭圆的焦点坐标是(0，± 7)，故选 D. 答案：D
第十三页，共27页。
3．已知椭圆方程为 4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、
焦点坐标、顶点坐标和离心率．
解：把椭圆的方程化为标准方程x92＋y42＝1.
∴a＝1，b＝12，c＝
3 2.
∴椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1，
两焦点坐标分别为
F1－ 23，0，F2 23，0， 顶点坐标分别为
A1(－1,0)，A2(1,0)，B10，－12，B20，12.
第十页，共27页。
[一点通] 求椭圆的性质时，应把椭圆方程化为标准方程，注意分清楚焦 点的位置，准确地写出 a，b 的数值，进而求出 c 及椭圆的长轴和 短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
第三页，共27页。
问题 1：此时椭圆的长轴长是多少？
提示：aa－ ＋cc＝ ＝66
371＋200， 371＋5 100
⇒2多少？
提示：∵a＝9 021，c＝2 450，
∴e＝ac＝0.271 6.
第四页，共27页。
椭圆的简单性质
焦点的位置
焦点在x轴上
第十一页，共27页。
1．已知椭圆 C1：1x22 ＋y42＝1，C2：1x62＋y82＝1，则
()
A．C1 与 C2 顶点相同
B．C1 与 C2 长轴长相同
C．C1 与 C2 短轴长相同 D．C1 与 C2 焦距相等 解析：由两个椭圆的标准方程可知，C1 的顶点坐标为
(±2 3，0)，(0，±2)，长轴长为 4 3，短轴长为 4，焦距
焦点在y轴上
图像
标准方程
_xa_22_＋___by_22_＝__1_(_a_＞___b_＞__0__)
_ay_22_＋__xb_22_＝___1_(_a_＞__b_＞___0_)
第五页，共27页。
焦点的位置 范围 顶点 对称性 轴长
离心率
焦点在x轴上 _|_x_|≤___a_，__|_y_|_≤__b__
4c 3
.由椭圆的
定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以
2c ＋ 3
4c3＝2a，即
e＝ac＝
3 3.
答案：
3 3
第二十六页，共27页。
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，要先 化成标准形式，再确定焦点位置，求准 a，b.
2．求离心率 e 时，注意方程思想的运用．
第二十七页，共27页。
可知此椭圆的焦点在 x 轴上，且长半轴长 a＝3，短半轴长 b
＝2；又得半焦距 c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5.
因此，椭圆的长轴长 2a＝6，短轴长 2b＝4；两个焦点的坐
标分别是(－ 5，0)，( 5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，
(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率
e＝
5 3.
点 P，F2 为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为_____．
解析：由题意知，△PF1F2 为直角三角形，且∠F1PF2＝60°，
所以|PF2|＝2|PF1|.设|PF1|＝x，则|PF2|＝2x，|F1F2|＝ 3x，又
|F1F2|＝2c，所以
x＝
2c 3
.即|PF1|＝
2c3，|PF2|＝
为 4 2；C2 的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2 2)，长轴长为 8， 短轴长为 4 2，焦距为 4 2，故选 D. 答案：D
第十二页，共27页。
2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，
(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是
()
A．(±1,0)
B．(0，±1)
C．(± 7，0)
第六页，共27页。
1．椭圆上到中心距离最远和最近的点：短轴端点 B1 和 B2 到中心 O 的距离最近；长轴端点 A1 和 A2 到中心 O 的距离最远．
2．椭圆上一点与焦点距离的最值：点(a,0)，(－a,0)与焦点 F1(－c,0) 的距离，分别是椭圆上的点与焦点 F1 的最大距离和最小距离．
理解教材 ( jiàocái)新知
1.2
第 §1 二椭
椭圆 的简
章
圆
单性
质
把握(bǎwò) 热点考向
应用 (yìngyòng)
创新演练
考点一 考点二 考点三
第一页，共27页。
§1
椭圆
1．2 椭圆的简单性质
第二页，共27页。
中国第一颗探月卫星——“嫦娥一号”发射后，首先进入 一个椭圆形地球同步轨道，在第 16 小时时它的轨迹是近地点 200 km，远地点 5 100 km 的椭圆，地球半径约为 6 371 km.
第二十二页，共27页。
[精解详析] 设椭圆的方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)． 则有 F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)， 直线 PF1 的方程为 x＝－c， 代入方程xa22＋by22＝1，得 y＝±ba2， ∴P－c，ba2.又 PF2∥AB，∴kPF2＝kAB， ∴－b22ac＝－ab，即 b＝2c. ∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.
第十九页，共27页。
5．已知椭圆的对称轴是坐标轴，中心 O 为坐标原点，F 是一个
焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是 6，且 cos ∠OFA＝
23，则椭圆的标准方程为____________． 解析：∵椭圆的长轴长是 6，cos ∠OFA＝23， ∴点 A 不是长轴的端点(是短轴的端点)．
∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3，∴3c＝23. ∴c＝2，b2＝32－22＝5. ∴椭圆的方程是x92＋y52＝1 或x52＋y92＝1. 答案：x92＋y52＝1 或x52＋y92＝1
第八页，共27页。
[精解详析]
椭圆方程可化为xm2＋
y2 m
＝1(m>0)，
m＋3
∵m－mm＋3＝mmm＋＋32＞0，
∴m＞mm＋3，即 a2＝m，b2＝mm＋3.
∴c＝ a2－b2＝
mm＋2 m＋3 .
由 e＝ 23，得
mm＋＋23＝ 23，解得 m＝1，
第九页，共27页。
∴椭圆的标准方程为 x2＋y12＝1. 4
第十四页，共27页。
椭圆性质的简单应用 [例 2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)离心率 e＝23，短轴长为 8 5； (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距 为 6. [思路点拨] (1)焦点的位置不确定，可设标准方程为ax22＋by22＝1 或ay22＋xb22＝1(a>b>0)． (2)画出图形，结合图形明确已知条件．
第七页，共27页。
椭圆的简单性质 [例 1] 已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率 e＝ 23， 求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标． [思路点拨] 将椭圆方程化为标准形式，用 m 表示出 a，b， c，再由 e＝ 23，求出 m 的值，然后再求 2a,2b，焦点坐标，顶 点坐标．
第十五页，共27页。
[精解详析] (1)设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1 或ay22＋xb22＝1(a>b>0)．由已知得 e＝ac＝23，2b＝8 5， ∴ac22＝a2－a2 b2＝49，b2＝80.∴a2＝144. ∴所求椭圆的标准方程为1x424＋8y02 ＝1 或1y424＋8x02＝1. (2)如图所示，△A1FA2 为一等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且 OF＝c，A1A2＝2b， ∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的方程为1x82 ＋y92＝1.
第十六页，共27页。
[一点通] 利用椭圆的性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法， 其步骤是： (1)确定焦点位置． (2)设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两 种标准方程)． (3)根据已知条件建立关于参数的方程，利用方程(组)求参数， 列方程(组)时常用的关系式为 b2＝a2－c2，e＝ac等．
焦点在y轴上 _|x_|_≤__b_， ___|y__|≤__a__
_(_±_a_,_0_)_，___(0__，__±_b__) __
_(_0__，__±_a_)_，___(_±_b_,_0_)_
对称轴： 坐标轴 对称中心：__(_0_,0_)__
长轴长 2a ，短轴长__2_b_ c
e＝__a___∈__(_0_,1_)_
∴e2＝15，即 e＝ 55，
所以椭圆的离心率为
5 5.
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[一点通] 1．求椭圆离心率的方法： (1)直接求出 a 和 c，再求 e＝ac，也可利用 e＝ 1－ab22求解； (2)若 a 和 c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到 a 和 c 的齐次等式关系，然后整理成关于ac的方程，即为关于离心率 e 的 方程，进而求解． 2．求离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等 式来求离心率的取值范围．