整数指数幂教学设计

《15.2.3整数指数幂》教学设计与反思
福州十一中王淋淋一、内容和内容解析
本节选自义务教育课程标准实验教科书《数学》（人教版）八年级上册，是第15章“分式”第2节“分式的运算”第3课时的内容.
在此之前，学生已经学习了整式和分式的相关运算，以及掌握了正整数指数幂的运算性质.根据教材内容和学生情况，本节课学习的主要内容是让学生经历观察、猜想、归纳、验证等数学活动，在了解负整数指数幂定义合理性的基础上，探究整数指数幂的性质，并运用于简化计算.
本节课是在正整数指数幂扩充到自然数指数幂后的又一次扩充——将指数的范围扩大到整数.旨在使学生在经历整数指数幂扩展的过程中，体会到一套新概念扩张的研究方法.并在探索过程中体会类比思想、以及数学中的猜想、合理推断的思维方法.这节课是我们引导学生怎样认识、探索数学世界的一个很好的切入点.尤其是对数学规定合理性的思考，这些内容对学生的发展都是有益的.
本课内容在初中教材中起到了承上启下的作用，既承接了零指数幂的扩展的过程，又为今后研究有理数指数幂、实数指数幂提供了范例，也为高中指数函数的研究奠定了基础.同时负整数指数幂概念的引入将分式和整式之间建立了有机的联系，不仅如此，教学中对于负整数指数幂性质的探究方法，对于后续扩大数域范围后验证运算封闭性的问题具有类比和启示作用，因此本节课在初中数学学习中具有非常重要的地位.
本节课将教学重点定为:
1.展现整数指数幂的扩充过程，体会负整数指数幂规定的合理性.
2.掌握整数指数幂的运算性质.
二、目标和目标解析
1.目标
(1) 知识与技能：
①了解负指数幂的意义.
②掌握整数指数幂的运算性质，并能够运用整数指数幂运算性质解决幂的运算问题.(2) 过程与方法：
学生经历观察、猜想、归纳、验证等数学活动，探索整数指数幂的运算性
质，进一步体会负指数幂的意义，发展推理能力和运算能力.
(3) 情感态度与价值观：
在数学法则中渗透简洁美、和谐美.学生围绕着扩大数的范围后性质是否成
立的问题进行探究，感受数学充满着探索与创造，在师生、生生的交流活动
中，学会合作学习，学会倾听、欣赏和感悟.
三、教学问题诊断分析
本节课的教学难点之一是负整数指数幂的引入.首先类比这一
01(0)a a =≠规定产生的原因，为的引入提供了方法上的参考.是正整数），n a a
a n n 0(1≠=-采取从特殊到一般的思想方法，化解难点.
本课的另一教学难点是在检验正整数指数幂的运算性质对整数指数幂是否
仍然成立这一环节.针对八年级的学生思维活跃，对观察、猜想、探索性的问题充满好奇的心理特征，安排合适的探究活动，同时仍采取从特殊到一般的思想方法，由教师示例和学生分组举例、示例的环节，使学生在交流活动中化解难点.
四、教学策略分析
通过以上的分析，我让学生经历“旧知回顾—新知探究—类比推广—新知
运用—总结归纳”的一系列教学过程，在这个过程当中，以问题探究法为主，引导学生利用发现、比较、综合、归纳等研究问题的方式来验证，当幂的指数是全体整数时，整数指数幂的五条运算性质仍然是成立的.同时让学生体会，运算性质的推广能够使运算更加的简便和快捷.倡导学生独立思考、主动探究、自主学习、互助交流．
五、教学支持条件分析
从外部条件来看，本节课通过黑板和多媒体的结合使用，既能突出重点，
又能有效节省课堂时间.同时，投影仪的使用可以当堂展示学生的练习和操作活动，给学生提供互相学习，扬长补短的机会.
六、 教学过程设计
(一)复习旧知，提出思考与猜想
1、根据我们前面学习过的知识，对于一个非零数,指数n 可以取哪些
n a 数？除了正整数和零，我们还学习过哪些数？并给出一组负整数指数幂在实际生活中的例子.
【设计意图】：体会负整数指数幂的引入既是数学自身发展的需要，也是
实际生活的需要.
2、是如何规定的?为什么要这样规定?
)0(0≠a a 【设计意图】：回顾这一规定产生原因，即同底数幂除法除法
01(0)a a =≠性质的适用范围需要扩张，为后面这一规定的引入是正整数），n a a a n
n 0(1≠=
-提供了方法上的参考，蕴含类比的思想方法.（二）合理规定，完成整数指数幂概念的扩展
1、时同底数幂除法除法的运算性质这条性质能够成立，那么当
n m ≥的时候，这条性质还能成立吗？
n m 对于这个问题，学生可能感觉比较抽象，故从特殊的例子入手，由
、，归纳得出，从中体会从特殊221a a =-441a a =-是正整数），n a a
a n n 0(1≠=-到一般的数学思想方法.
【设计意图】：这一环节的设计可以打破一部分学生对“规定”的认识—
—“规定”是没有原因的，也让学生明确这个规定是合理的，是对原有性质的补充和延伸.这段设计可以让学生重视概念的形成过程的观念.
2、这项规定的引入使同底数幂的除法的运算性质当时仍然成立，所
m n <以同底数幂除法法则得到扩展:.
m n m n a a a -÷=(0 ,)a m n ≠为正整数3、从这个规定中，观察与之间的关系是什么?
n a -n a 揭示意义: 与之间互为倒数.
)0(≠-a a n n a 【设计意图】：以问题的形式创设情境，通过类比，让学生感受和体会数学规
定：
的意义和合理性．在引出负整数指数幂的同是正整数），n a a a n
n 0(1≠=-时，也扩大了同底数幂除法运算性质的使用条件．通过归纳概括得到猜想和规律、并加以验证，是创新的重要方法，在充分调动学生学习兴趣的同时，也让学生感受到数学的魅力和乐趣．
（三）针对训练，及时巩固
1、例题1、填空：
（1）= ；= ；32-23-（2）= ；= ；2)3(--23--【设计意图】：通过练习巩固，帮助学生更加深刻的理解负指数幂的含义.
2、到目前为止，一个非零数中指数n 可以取到哪些数？
n a 【设计意图】：完成整数指数幂概念的扩展.
（四）检验新规，完成正整数指数幂运算性质的扩展
1、在了解了整数指数幂之后，接下来我们应该研究些什么呢？
【设计意图】：类比正整数指数幂的研究过程，明确整数指数幂的研究思
路.学法指导，让学生指导知识的整体性以及逻辑上的连贯性.
2、类比数的范围的扩大时，只需要验证原有的性质是否仍然成立，当指数
范围扩大时，同样需要去验证正整数指数幂的运算性质对整数指数幂是否仍然适用.
【设计意图】：让学生了解代数学习的套路，同时再次渗透类比的思想.
3、回顾正整数指数幂的运算性质，提出问题：我们应该如何着手验证？
【设计意图】：指数幂概念的扩展并不能直接带来幂运算法则的扩展，相
反新的概念对原有的法则是否适用，是否带来矛盾，是需要我们认真对待的.这里的处理方法仍采取从特殊到一般的思想，进行举例验算.学生的困难在于:一是不理解对指数的取值要求及取值的多样性，二是不知道检验的方法.为n m 、化解难点，先由老师板演一个具体的验算过程和方法，然后给了学生自由发挥的空间，以小组合作的方式，设置了一个自己举例验算的环节.这个环节可以让学生在举例验算的过程中感受到法则推广的推导过程，再次感受负整数指数幂规定的合理性.最后的学生示例环节，可以使学生通过比较，体会数据选取的多样性及分类讨论的数学思想.
（五）学以致用，运用整数指数幂的性质进行运算
例题2、计算：（1）；（2）；（3） . 52a a ÷-3
21)(b a -223
)(-a b
学生的解法有的从定义出发，有的从性质出发，引导学生寻找最优方案，简化计算.并启发除法可以转化为乘法，渗透转化的思想，感受数学的简洁美.
【设计意图】：应用推广后的整数指数幂的运算性质进行运算，反馈教学效
果，内化知识．
（六）课堂小结
到了这节课的尾声，请大家来谈一谈你对本节课有什么收获和体会？或者
你还有什么疑问吗？
【设计意图】：使学生对本节课的整体有所把握，提炼出思想方法，使学
生的思维得以升华.
（七）课后作业
1、习题15.2 第7题；
2、《优化设计》 15.2.3 整数指数幂；
3、继续验证其他的正整数指数幂的运算性质对整数指数幂是否仍然适用.
【设计意图】：巩固本节课所学成果，在课后还有所提升．通过课后作
业，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况.
（八）教学反思
“整数指数幂” 是在学生学习了正整数指数幂的基础上，对整数指数幂学
习的进一步深入和拓展，是对性质条件数域的推广，通过数学思想方法的有效渗透，发展学生后续的数学学习能力.
本节课我抓住运算性质的条件推广主线作为显性明线，把数学思想方法的
渗透、学法指导作为隐性暗线，从学生的具体学情出发，双线并用，把学生从知识层面的学习引领到数学的学习方法的研究上.具体表现在如下几个方面：
一、以学生原有认知为基础，对教材进行重组构建
教材中对于的规定，对于学生理解而言略显生涩，特别是)0(1≠=-a a a n
n 对于教材中的假设部分学生总是有理解上的误区，认为是把正整数指数幂性质用错了条件得到的结果，从学生的最近发展区出发，将新知识纳入学生原有知识体系，让学生深刻体会数学规定的意义和合理性，从而完成对幂指数取值范围的扩充.
通过对于教材的重组构建，使教学能够立足学情，克服“只强调死记结
论，不重视知识形成过程”的急功近利的“结论式”的教学心理.并使学生对数
学的研究方法有一定的体会，能够逐步加深对数学学科本质的理解.
二、加强数学思想方法的教学，着眼于提升学生的学习能力
数学的学习既是知识的学习又是方法的学习.在教学中探索数学思想方法的最终目的是提高学生的思维品质和整体素养，而实现这一目标的主要途径通常是课堂教学.本节课中教师将数学思想方法的渗透贯穿教学始终，类比零指数幂的规定得到负整数指数幂的规定，类比正整数指数幂的学习过程，知道整数指数幂的研究内容；类比数域扩充时，原有的运算法则仍然成立，指导当指数范围的扩充时，也要去探究原有的性质是否仍然成立，这些都渗透着对学生的学法指导.
通过从特殊到一般的试验，验证获得性质推广正确性的结论，并在学生自己举例验证的环节渗透分类的思想，使学生的思维品质得到升华.
三、通过培养学生质疑精神导引学生学会理性思考
数学的发展过程是一个不断提出问题，解决问题的过程.在教学中，我们要重视启发学生自己去发现问题、提出问题.本节课在问题设置上，我尝试创设开放而有界的空间，通过学生自己举例验证并严谨推理过程，鼓励学生感受问题的发现、提出和质疑过程，让学生养成从感性认识到理性思考的习惯.
当然，由于这堂课课堂容量较大，时间紧凑，我打算将固化整数指数幂的运算性质以及运算能力的训练放入下一课时，因此在本节课中对运算能力的关注以及算法的强调还不够.今后对于学生运算能力的锻炼会抓住课堂上的契机，注重算法的固化，从而提升学生的运算能力.。