万有引力与天体运动--最全讲义

万有引力与天体运动讲义
［本章要点综述］
1.开普勒第三定律：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常量。

3
2
r k T = （K 值只与中心天体的质量有关） 2.万有引力定律： 12
2m r
F G m =⋅
万 （1）赤道上万有引力：F mg F mg ma =+=+引向向 （g a 向和是两个不同的物理量，） （2）两极上的万有引力：F mg =引
3.忽略地球自转，地球上的物体受到的重力等于万有引力。

2
2
GMm mg GM gR R
=⇒=(黄金代换) 4.距离地球表面高为h 的重力加速度：
()
()()
2
2
2
GMm
GM
mg GM g R h g R h R h '''=⇒=+⇒=
++
5.卫星绕地球做匀速圆周运动：万有引力提供向心力 2
G M m
F F r
==万向 (1)
22
GMm GM
ma a r r
=⇒= （轨道处的向心加速度a 等于轨道处的重力加速度g 轨） (2)2
2Mm v G m r r
=得 ∴r 越大，v 22
GMm v GM m v r r r =⇒= (3)由2
2
Mm G
m r
r ω=得 ∴r 越大，ω 223GMm GM m r r r ωω=⇒= (4)由
2
224Mm G m r r T
π=得 ∴r 越大，T
2
23224GMm r m r T r T GM ππ⎛⎫
=⇒=
⎪⎝⎭
6.中心天体质量的计算： 方法1：2
2gR GM gR M G
=⇒=
（已知R 和g ） 方法2：2GM v r
v M r G
=⇒=
（已知卫星的V 与r ） 方法3：233GM r M r G
ωω=⇒= （已知卫星的ω与r ）
方法4：2323
2
44r r T M GM GT
ππ=⇒= （已知卫星的周期T 与r ） 方法5：已知3
2324GM v r v T M G r T GM ππ⎧=⎪⎪⇒=
⎨⎪
=⎪⎩
（已知卫星的V 与T ） 方法6：已知33GM v v r M G GM
r ωω⎧=
⎪⎪⇒=⎨
⎪=⎪⎩
（已知卫星的V 与ω，相当于已知V 与T ） 7.地球密度计算： 球的体积公式：34
3
V R π=
22332
3
2322()3434r M M r R V mM G m GT R r r GT T M ππρππ=⎧⎪⎪=⇒⎨===⎪⎪
⎩
近地卫星23GT πρ= (r=R) 8.
发射速度：采用多级火箭发射卫星时，卫星脱离最后一级火箭时的速度。

运行速度：是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动时的线速度．当卫星“贴
着” 地面运行时，运行速度等于第一宇宙速度。

第一宇宙速度(环绕速度）：7.9km/s 。

卫星环绕地球飞行的最大运行速度。

地球上发射卫星
的最小发射速度。

第二宇宙速度（脱离速度）：11.2km/s 。

使人造卫星脱离地球的引力束缚，不再绕地球运
行，从地球表面发射所需的最小速度。

第三宇宙速度（逃逸速度）：16.7km/s 。

使人造卫星挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外
的宇宙空间去，从地球表面发射所需要的最小速度。

［要点精析］
1、人造卫星
⑴万有引力提供向心力：
⑵同步卫星：地球同步卫星，是相对地面静止的，与地球自转具有相同的周期 ①周期一定：同步卫星绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，
T＝24 h.
②角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度．
③轨道一定：所有同步卫星的轨道必在赤道平面内．
④高度一定：所有同步卫星必须位于赤道正上方，且距离地面的高度是一定的（轨道半径都相同，即在同一轨道上运动），其确定的高度约为h=3.6×104 km.
⑤环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是3.08 km/s，环绕方向与地球自转方向相同．
2.卫星变轨和卫星的能量问题
⑴人造卫星在圆轨道变换时，总是主动或由于其他原因使速度发生变化，导致万有引力与向心力相等的关系被破坏，继而发生近心运动或者离心运动，发生变轨。

在变轨过程中，由于动能和势能的相互转化，可能出现万有引力与向心力再次相等，卫星即定位于新的圆轨道。

⑵轨道半径越大，速度越小，动能越小，重力势能越大，但机械能并不守恒，且总机械能也越大。

也就是轨道半径越大的卫星，运行速度虽小，但发射速度越大。

⑶解卫星变轨问题，可根据其向心力的供求平衡关系进行分析求解
①若F供＝F 求，供求平衡——物体做匀速圆周运动．
②若F 供＜F 求，供不应求——物体做离心运动．
③若F 供＞F 求，供过于求——物体做向心运动．
卫星要达到由圆轨道变成椭圆轨道或由椭圆轨道变成圆轨道的目
的，可以通过加速(离心)或减速(向心)实现．
⑷速率比较：同一点上，外轨道速率大；同一轨道上，离恒星(或行
A B
星)越近速率越大．
⑸加速度与向心加速度比较：同一点上加速度相同，外轨道向心加
速度大；同一轨道上，近地点的向心加速度大于远地点的向心加速
度。

3.近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题
近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体三种匀速圆周运动的异同：
1．轨道半径：r同>r近＝r物
2．运行周期：T同＝T物>T近
3．向心加速度：a近>a同>a物
4.双心问题
在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星．
它们围绕两球连线上的某一点做圆周运动．由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变．已知两星质量分别为M1 和M2，相距L，求它们的角速度．
如图，设M1的轨道半径为r1，M2 的轨道半径为r2，由于两星绕O 点做匀速圆周运动的角速度相同，都设为ω，根据万有引力定律有：
1．双星系统模型的特点：
(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等．
(2)两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相
3
22)(33R h R GT GT +==
远近
ππρ等；
(3)两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即r 1＋r 2＝L . 2．双星系统模型的三大规律： (1)双星系统的周期、角速度相同． (2)轨道半径之比与质量成反比．
(3)双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关．
5.三星模型
宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星等间距地位于同一直线上，外侧的两颗星绕中央星在同一圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行．
附录：万有引力相关公式
1思路和方法:①卫星或天体的运动看成匀速圆周运动, ② F 心=F 万 (类似原子模型)
2公式：G 2r
Mm =ma n ，又a n =r )T 2(r r v 22
2π=ω=， 则v=
r GM ，3r GM =ω，T=GM r 23π 3求中心天体的质量M 和密度ρ
由G 2r
Mm ==m 2
ωr =m r
)T 2(2π⇒M=23
2GT r 4π (恒量=2
3
T
r ) ρ=233
3
3
43T GR r R M ππ=(当r=R 即近地卫星绕中心天体运行时)⇒ρ=2G T 3π=
（M=ρV 球=ρπ34r 3） s 球面=4πr 2 s=πr 2
(光的垂直有效面接收，球体推进
辐射) s 球冠=2πRh
轨道上正常转：
F 引=
G 2r
Mm = F 心= m a 心= m ωm R v =2 2
R= m 422πT R =m42πn 2 R
地面附近： G 2R
Mm = mg ⇒GM=gR 2
(黄金代换式) mg = m R v 2⇒gR =v =v
第一宇宙
=7.9km/s
题目中常隐含：(地球表面重力加速度为g)；这时可能要用到上式与其它方程联立来求解。

轨道上正常转： G 2r Mm = m R v 2 ⇒ r
GM
v =
【讨论】(v 或E K )与r 关系，r 最小时为地球半径时，v 第一宇宙=7.9km/s (最大的运行速度、最小
的发射速度)；
T 最小=84.8min=1.4h
①沿圆轨道运动的卫星的几个结论: v=
r
GM ，3
r GM =
ω，T=GM
r 23π
②理解近地卫星：来历、意义 万有引力≈重力=向心力、 r 最小时为地球半径、 最大的运行速度=v 第一宇宙=7.9km/s (最小的发射速度)；T 最小=84.8min=1.4h ③同步卫星几个一定：三颗可实现全球通讯(南北极仍有盲区)
轨道为赤道平面 T=24h=86400s 离地高h=3.56ｘ104km(为地球半径的5.6倍) V 同步=3.08km/s ﹤V 第一宇宙=7.9km/s ω=15o /h(地理上时区) a=0.23m/s 2 ④运行速度与发射速度、变轨速度的区别
⑤卫星的能量:r 增⇒v 减小(E K 减小<E p 增加),所以 E 总增加;需克服引力做功越多,地面上需要的发射速度越大
⑦卫星在轨道上正常运行时处于完全失重状态,与重力有关的实验不能进行
⑥应该熟记常识：地球公转周期1年, 自转周期1天=24小时=86400s, 地球表面半径6.4ｘ103km 表面重力加速度g=9.8 m/s 2 月球公转周期30天
例题精讲
1. 对万有引力定律的理解
（1）万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，两物体间引力的方向沿着二者的连线。

（2）公式表示：F=
2
2
1r
m Gm 。

（3）引力常量G ：①适用于任何两物体。

②意义：它在数值上等于两个质量都是1kg 的物体（可看成质点）相距1m 时的相互作用力。

③G 的通常取值为G=6。

67×10-11Nm 2/kg 2。

是英国物理学家卡文迪许用实验测得。

④一个重要物理常量的意义：根据万有引力定律和牛
顿第二定律可得：G 2r Mm ＝mr 2)2(T π∴k GM
T r ==2
234π.这实际上是开普勒第三定律。

它表明k T
r =23
是一个与行星无关的物理量，它仅仅取决于中心天体的质量。

在实际做题时，它具有重要的物理意义和广泛的应用。

它同样适用于人造卫星的运动，在处理人造卫星问题时，
只要围绕同一星球运转的卫星，均可使用该公式。

（4）适用条件：①万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。

当两物体间的距离远大于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接使用万有引力定律计算。

②当两物体是质量均匀分布的球体时，它们间的引力也可以直接用公式计算，但式中的r 是指两球心间的距离。

③当所研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力。

（此方法仅给学生提供一种思路） （5）万有引力具有以下三个特性：
①普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体（大到天体小到微观粒子）间的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相互作用之一。

②相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。

③宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的物理意义，在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计。

天体间的主要作用力就是万有引力了。

【例1】设地球的质量为M ，地球的半径为R ，物体的质量为m ，关于物体与地球间的万有引力的说法，正确的是：
A 、地球对物体的引力大于物体对地球的引力。

B 、物体距地面的高度为h 时，物体与地球间的万有引力为F=2
h GMm 。

C 、物体放在地心处，因r=0，所受引力无穷大。

D 、物体离地面的高度为R 时，则引力为F=
2
4R GMm
答案D 〖总结〗（1）物体与地球之间的吸引是相互的，由牛顿第三定律，物体对地球与地球对物体的引力大小相等。

（2）F= 2
2
1r
m Gm 。

中的r 是两相互作用的物体质心间的距离，不能误认为是两物体表面间的距离。

（3）F=
2
2
1r
m Gm 适用于两个质点间的相互作用，如果把物体放在地心处，显然地球已不能看为质点，故选项C 的推理是错误的。

【例2】对于万有引力定律的数学表达式F=
2
2
1r m Gm ，下列说法正确的是： A 、公式中G 为引力常数，是人为规定的。

B 、r 趋近于零时，万有引力趋于无穷大。

C 、m 1、m 2之间的引力总是大小相等，与m 1、m 2的质量是否相等无关。

D 、m 1、m 2之间的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力。

答案C
2.关于万有引力和重力的关系
地面上物体所受万有引力F 可以分解为物体所受的重
力mg 和随地球自转而做圆周运动的向心力F ’。

其中2R
Mm G
F = 2
ωmr F =' ① 当物体在赤道上时，F 、mg 、F ’三力同向，此时满足F ’＋mg ＝F ② 当物体在两极点时，F ’＝0 ,F=mg=2R
Mm
G
③ 当物体在地球的其他位置时，三力方向不同。

【例3】 地球赤道上的物体由于地球自转产生的向心加速度a ＝3.37×10－
2 m/s 2,赤道上重力加速度g 取10m/s 2 试问：
（1）质量为m kg 的物体在赤道上所受的引力为多少？ （2）（2）要使在赤道上的物体由于地球的自转而完全失重，地球自转的角速度应加快到实际角速度的多少倍？ 解析：（1）物体所受地球的万有引力产生了两个效果：一是使物体竖直向下运动的重力，一是提供物体随地球自转所需的向心力，并且在赤道上这三个力的方向都相同，有F 引＝mg+F
向＝m(g+a)=m(9.77+3.37×10-2
)=9.804m(N)
（2）设地球自转角速度为ω，半径为R ，则有a ＝ωR ，欲使物体完全失重，即万有引力完全提供了物体随地球自转所需的向心力，即m ω’R ＝F 引＝9.804m ，解以上两式得ω’＝17.1ω.
3.计算重力加速度
1、 在地球表面附近的重力加速度，在忽略地球自转的情况下，可用万有引力定律来计算。

g=G 2R M =6.67*11
10-*2
324)
10*6730(10*98.5=9.8(m/2s )=9.8N/kg 即在地球表面附近，物体的重力加速度g ＝9.8m/2
s 。

这一结果表明，在重力作用下，物体加速度大小与物体质量无关。

2、 即算地球上空距地面h 处的重力加速度g ’。

有万有引力定律可得：
g ’＝2)(h R GM +又g ＝2R GM ，∴g g '＝2
2
)
(h R R +，∴g ’＝2)(h R R +g 3 计算任意天体表面的重力加速度g ’。

有万有引力定律得： g ’＝
2''R GM （M ’为星球质量，R ’卫星球的半径），又g ＝2
R GM
， ∴
g g '＝
2
)'
('R R M M ∙。

4.估算中心天体的质量和密度
1 中心天体的质量，根据万有引力定律和向心力表达式可得：G
2
r Mm ＝mr 2
)2(T π，∴M ＝2
3
24GT r π
2 中心天体的密度
方法一：中心天体的密度表达式ρ＝
V M ，V ＝3
4
3R π（R 为中心天体的半径），根据前面M 的表达式可得：ρ＝3233R GT r π。

当r ＝R 即行星或卫星沿中心天体表面运行时，ρ＝2
3GT
π。

此时表面只要用一个计时工具，测出行星或卫星绕中心天体表面附近运行一周的时间，周期
T ，就可简捷的估算出中心天体的平均密度。

方法二：由g=2R
GM ,M=G gR 2进行估算，ρ＝V M ，∴ρ＝R G g
π43
地球的同步卫星（通讯卫星）
同步卫星：相对地球静止，跟地球自转同步的卫星叫做同步卫星，同步卫星的运行方向与地球自转方向相同，周期T=24h ，同步卫星又叫做通讯卫星。

同步卫星必定点于赤道正上方，且离地高度h ，运行速率v 是唯一确定的。

设地球质量为m '，地球的半径为6
R=6.410m ×，卫星的质量为m ，根据牛顿第二定律
()
()2
2
m m
2πG
=m R+h T R+h '⎛⎫
⎪⎝⎭
设地球表面的重力加速度2
g=9.8m s ，则2
Gm =R g '
以上两式联立解得：
()()2
2
622
3
3
2
2
7 6.4102436009.8
R T g R+h==m 4π4 3.14=4.210m
××××××
同步卫星距离地面的高度为
()767h=4.210 6.410m=3.5610m ×××－
注意：赤道上随地球做圆周运动的物体与绕地球表面做圆周运动的卫星的区别
在有的问题中，涉及到地球表面赤道上的物体和地球卫星的比较，地球赤道上的物体随地球自转做圆周运动的圆心与近地卫星的圆心都在地心，而且两者做匀速圆周运动的半径均可看作为地球的R ，因此，有些同学就把两者混为一谈，实际上两者有着非常显著的区别。

地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动所需的向心力由万有引力提供，但由于地球自转角速度不大，万有引力并没有全部充当向心力，向心力只占万有引力的一小部分，万有引力的另一分力是我们通常所说的物体所受的重力（请同学们思考：若地球自转角速度逐渐变大，将会出现什么现象？）而围绕地球表面做匀速圆周运动的卫星，万有引力全部充当向心力。

赤道上的物体随地球自转做匀速圆周运动时由于与地球保持相对静止，因此它做圆周运
动的周期应与地球自转的周期相同，即24小时，其向心加速度22
4πR
a=T
≈20.034m s ；而绕地球表面运行的近地卫星，其线速度即我们所说的第一宇宙速度，
它的周期可以由下式求出：2
22Mm 4πG =m R R T
求得3
R T=2πGM
，代入地球的半径R 与质量，可求出地球近地卫星绕地球的运行周期T
约为84min ，此值远小于地球自转周期，而向心加速度22GM
a =
=9.8m s R
'远大于自转时向心加速度。

【例4】 已知引力常量G ＝6.67×10－
11N·m 2/kg 2,重力加速度g ＝9.8m/s 2,地球半径R ＝6.4×104m ，可求得地球的质量为多少？（结果保留一位有效数字）
解析：在地球表面质量为m 的物体所受的重力等于地球对物体的引力，有
mg R
Mm G ＝2 ,得kg kg G R g M 24
112
62106106.67106.48.9⨯=⨯⨯⨯==－）（ 【例5】一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体，要
确定该行星的密度，只需要测量
A ．飞船的轨道半径
B ．飞船的运行速度
C ．飞船的运行周期
D ．行星的质量 解析：“飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行”，可以认为飞船的轨道半径与行星的半径相等，飞船做圆周运动的向心力由行星对它的万有引力提供，由万有引力定律和牛顿第二定律：R T m R Mm G
2
2
)2(π＝，
由上式可知：
2233
443
4GT R M ⋅=
⋅π
ππ，即行星的密度2
3GT
π
ρ=
； 上式表明：只要测得卫星公转的周期，即可得到行星的密度，选项C 正确。

【例6】已知地球的半径为R=6400km ，地球表面附近的重力加速度2
g=9.8m s ，若发射一颗地球的同步卫星，使它在赤道上空运转，其高度和速度应为多大？
[思路分析]：设同步卫星的质量为m ，离地面的高度的高度为h ，速度为v ，周期为T ，地球的质量为M 。

同步卫星的周期等于地球自转的周期。

2Mm
G =mg R ① ()
()2
2
Mm
2πG
=m R+h T R+h ⎛⎫
⎪⎝⎭
②
由①②两式得
()()2
2
322
33
32
2
76400102436009.8
R T g h=-R m 640010m 4π4 3.143.5610m
⨯⨯⨯⨯=
-⨯⨯=⨯
又因为()
()
2
2
Mm
v G
=m R+h R+h ③
由①③两式得
()
2
32
337
6400109.8R g
v=m s 3.110m s R+h 640010 3.5610
⨯⨯==⨯⨯+⨯ [答案]：3
7
h 3.5610m
v 3.110m s =⨯=⨯
[总结]：此题利用在地面上2Mm G =mg R 和在轨道上()
()2
2
Mm 2πG =m R+h T R+h ⎛⎫
⎪⎝⎭两式联立解题。

【例7】下面关于同步卫星的说法正确的是（ ） A .同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率都被确定
B .同步卫星的角速度虽然已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大；高度降低，速率减小
C .我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是114分钟，比同步卫星的周期短，所以第一颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低
D .同步卫星的速率比我国发射的第一颗人造卫星的速率小 [答案]：ACD
5.双星问题
【例8】两颗靠得很近的恒星，必须各以一定的速率绕它们连线上某一点转动，才不至于由于万有引力的作用而将它们吸引到一起．已知这两颗恒星的质量为m1、m2，相距L ，求这两颗恒星的转动周期．
解析：由万有引力定律和向心力公式来求即可．m1、m2做匀速圆周运动的半径分别为R1、R2，它们的向心力是由它们之间的万有引力提供，所以。