湖北省荆州中学2014届高三数学10月测试试题 理 新人教A版

湖北省荆州中学2014届高三10月测试数学(理科)试题
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
⒈ 已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B = ,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
⒉ 设[]x 为表示不超过x 的最大整数,则函数lg[]y x =的定义域为 ( ) A ．(0,)+∞ B ．[1,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(1,2) ⒊ 已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点1,2P y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）
A ．1
B ．1
2 C ．32-
D ．12
- ⒋ 3.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -的值为 ( ) A ．20 B ．22 C ．24 D ．28 ⒌ Direchlet 函数定义为： 1
()0R t Q D t t Q
∈⎧=⎨
∈⎩，关于函数()D t 的性质叙述不正确．．．
的是（ ） A ．()D t 的值域为{}0,1 B ．()D t 为偶函数 C ．()D t 不是周期函数 D ．()D t 不是单调函数
6、已知函数()x f y =是定义在R 上的增函数，函数()1-=x f y 的图象关于点()1,0对
称. 若对任意的R y x ∈,，不等式(
)(
)
082162
2
<-++-y y f x x f 恒成立，则当
3x >时，22y x +的取值范围是（ ）
A.()3,7
B. ()9,25
C.()13,49
D. ()9,49
⒎ 把函数sin()0,||2y A x πωφωφ⎛⎫=+>< ⎪⎝
⎭
的图象向左平移
3
π
个单位得到 ()y f x =的图象（如图）
，则ϕ=（ ） A ．6
π- B ．
6
π
C. 3
π
-
D.
3
π
⒏ 若2
2
11
S x dx =
⎰
，2
21
1
S dx x
=⎰
，231x S e dx =⎰则123 S S S 、、的大小关系为（ ）．
A ．123S S S <<
B ．213S S S <<
C ．231S S S <<
D ．321S S S <<
⒐ 已知函数()y f x =定义域为(,)ππ-，且函数(1)y f x =+的图象关于直线1x =-对称，当
(0,)x π∈ 时，()sin ln 2f x f x x ππ⎛⎫
'=-- ⎪⎝⎭
，
（其中()f x '是()f x 的导函数），若()0.33a f =，()log 3b f π=，()3log 9c f =-则,,a b c 的大小关系是（ ）
A. a b c >>
B. b a c >>
C. c b a >>
D. c a b >>
⒑ 设函数220
()=ln(1)0x x x f x x x ⎧-+≤⎨+>⎩
，若()f x ax ≥，则实数a 的取值范围是（ ）
A.(]0-∞，
B. (]1-∞，
C.[]2,1-
D. []2,0-
第II 卷（非选择题 共100分）
二、填空题：共5小题，每小题5分，计25分. ⒒ 已知函数4log 0()3
x
x x f x x >⎧=⎨
≤⎩，则1
[(
)]16
f f = . ⒓ 设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*
n ∈N ，有11111122111
n n n n a a a a n n ++++<<+-
+， 则10a = .
⒔ 给定实数集合Q P 、满足
}1}{sin ][sin |{2
2=+=x x x P （其中][x 表示不超过x 的最大整数，][}{x x x -=），}23
)4(sin sin |{22=+
+=π
x x x Q ，设P ，Q 分别为集合Q P 、的元
素个数，则
P
，
Q
的大小关系为 .
14. 函数()(0,0)b
f x a b x a
=
>>-的图象形如汉字“囧”
，故称其为“囧函数”.下列命题正确的是
①“囧函数”的值域为R ；
②“囧函数”在(0,)+∞上单调递增； ③“囧函数”的图象关于y 轴对称； ④“囧函数”有两个零点；
⑤“囧函数”的图象与直线(0)y kx m k =+≠至少有一个交点.
选做题（请考生在以下两小题中任选一题做答，若两小题都做，则按第14题记分）. 15．（几何证明选讲选做题）如图，已知点D 在圆O 直径AB 的延长线上，过D 作圆O 的切线,切点为.
C 若1C
D BD =
=, 则圆O 的面积为 .
(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为
,
(3.
x t t y t =⎧⎨
=+⎩为参数)；以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系O ρθ，则曲线l 的极坐标方程为 .
三、解答题：本大题共6小题，75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
16. （本小题满分12分）
设集合2241
{|},{|()21
x x x A x y B k g x x kx kx -++====-++的定义域为R } (1)若命题:p m A ∈,命题:q m B ∈,且“p 且q ”为假,“p 或q ”为真,试求实数m 的
取值范围.
(2)若f 是A 到B 的函数,使得2
:1
f x y x →=
-,若,{|(),}a B a y y f x x A ∈∉=∈且,试求实数a 的取值范围; ⒘（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3x ＋φ，
x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，
P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．
(1)求f (x )的最小正周期及φ的值； (2)若点R 的坐标为(1，0)，∠PRQ ＝2π
3
，求A 的值．
⒙（本小题满分12分）
已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，其图像均在x 轴的上方，对任意的
[0,)m n ∈+∞、，都有:n m f mn f )]([)(=，且(2)4f =，又当0x ≥时，其导函数'()0f x >恒成立。

（Ⅰ）求)1(),0(-f f 的值；
（Ⅱ）解关于x 的不等式：2
2
224f x ⎡⎤
≥⎢⎥+⎣⎦
，其中(1,1).k ∈-
⒚（本小题满分12分）
如图,某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线1l 排，在路南侧沿直线2l 排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通.已知60AB m =,80BC m =，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90︒的角为α.
（Ⅰ）求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系；
（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角α.
公路
公路 l 1
A E D
B F C
l 2
20、（本小题满分13分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21017,100a S ==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足*
cos()2()n n n b a n n N π=+∈，求数列{}n b 的前n 项和.
21.（本小题满分14分）
已知2
()3ln f x ax x x
=--，其中a 为常数.
（Ⅰ）当函数()f x 的图象在点22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线的斜率为1时，求函数()f x 在3,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的
最小值；
（Ⅱ）若函数()f x 在(0,)+∞上既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，过点()1,4P -作函数[]2()()3ln 3F x x f x x =+-图象的切线，试问
这样的切线有几条？并求这些切线的方程. 数学（理科）答案
一、 选择题：1------5 A B D C C 6------10 C C B B D
二、
填空题 11.1/9 ; 12. 100 ; 13. |P|＜|Q| ; 14. ③⑤ ;15. π或
(sin cos )3ρθθ-=, 或πsin()42
ρθ-=
三、解答题
16、解：(1)A=(2,4]……2分; B=[0,4) ……4分
当P 真Q 假时,4m =;当P 假Q 真时,02m ≤≤, 所以[0,2]{4}m ∈⋃… …7分
(2) A=(2,4]; B=[0,4);2[,2)3y ∈, 2[0,)[2,4)
3a ∈ ……12分
17、解：(1)由题意得T ＝2π
π3
＝6 ………………………….2分
因为P (1，A )在y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ的图象上，所以sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋φ＝1. 又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π
6 …………………………6分
(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )．
由题意可知π3x 0＋π6＝3π
2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．-----------------------8分
连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π
3
，由余弦定理得
cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－（9＋4A 2）2A ·9＋A
2
＝－12，解得A 2
＝3. 又A ＞0，所以A ＝ 3. --------------------------------12分
18.解：(1)由f(m ·n)＝[f(m)]n 得：f(0)＝f(0×0)＝[f(0)]0
∵函数f(x)的图象均在x 轴的上方,∴f(0)＞0,∴f(0)＝1 ……………………………2分
∵f(2)＝f(1×2)＝[f(1)]2
＝4，又f(x)＞0 …………………………………………3分
∴f(1)＝2,f(－1)＝f(1)＝2 ………………………………………………5分
(2)
()()2
222
2222211242444kx f f f f f f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≥⇔≥⇔≥±⇔≥⎢⎥⎪++++⎢⎥⎭⎣
⎦
又当0x ≥时，其导函数()'0f x >恒成立，∴()y f x =在区间[)0,+∞上为单调递增函
数
()2222
2124140
4
kx kx x k x kx x +≥⇔+≥+⇔-+≥+
……8分
讨论： ①当0k =时，{}0x ∈； ……9分
②当10k -<<时，22440011k k x x x k k ⎛⎫-
≤⇔≤≤ ⎪--⎝⎭，∴24,01k x k ⎡⎤
∈⎢⎥-⎣⎦
；……10分
③当01k <<时，22440011k k x x x k k ⎛
⎫-≤⇔≤≤ ⎪--⎝
⎭，∴240,1k x k ⎡
⎤∈⎢⎥-⎣⎦
……11分
综上所述：当0k =时，{}0x ∈；当10k -<<时，24,01k x k ⎡⎤
∈⎢
⎥-⎣⎦
； 当01k <<时，240,1k x k ⎡
⎤∈⎢⎥-⎣⎦。

解关于x
的不等式：2
2f ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦
，其中(1,1).k ∈-
19.（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）如图，过E 作EM BC ⊥，垂足为M ，由题意得40tan 3MEF αα⎛⎫
∠=≤≤ ⎪⎝
⎭
.故有60tan MF α=，
60
cos EF α
=
，8060tan AE FC α+=-。

所以()60
8060tan 12cos W αα
=-⨯+
⨯
60sin 120
80cos cos ααα
=-+
()60sin 280cos αα
-=-
………………………6分
（Ⅱ）设sin 2()cos f ααα-=
（其中002παα≤≤<，04
tan 3
α=）， 则()22
cos cos (sin )sin 212sin ()cos cos f ααααα
ααα
⋅--⋅--'=
=. 令()0f α'=得12sin 0α-=，即1sin 2α=，得6
πα=. 列表：
所以当6
π
α=时有max ()f α=，此时有min 80W =+.
答：排管的最小费用为80+6
πα=.…………………………………12分
公路
公路 l 1
A E
D
B
F C
l 2
M
⒛ 解：（I ）设{}n a 首项为1a ,公差为d,
则11
1710(29)1002
a d a d +=⎧
⎪
⎨+=⎪⎩解得1192a d =⎧⎨=-⎩
19(1)(2)212n a n n ∴=+-⨯-=-
（II ）∵cos()2n n n b a n π=+=(1)2n n
n a -+
当n 为偶数时, 2312123...(2)(2)(2)...(2)n
n n n T b b b a a a a =+++=-++++-++++
=12(12)
(2)22212
n n n n +--⨯+
=--- 当n 为奇数时, 2312123...(2)(2)(2)...(2)n
n n n T b b b a a a a =+++=-++++-+++-+
= 12312(12)
()...()12
n n n a a a a a ---+-+-+-
= 1
1192222
n n +--+⨯+-= 1222n n ++- 1122(222
n n n n n T n n ++⎧--∴=⎨+-⎩当为偶数）（当为奇数）
.21.（本小题满分14分）
【解析】（Ⅰ）2
23
()0f x a x
x '=+
-> 由题可知213f ⎛⎫
'= ⎪⎝⎭，解得1a =………1分
故2()3ln f x x x x
=--，2
(1)(2)
()x x f x x --'=，由()0f x '=得2x = ………2分 ()f x '、()f x 随x 的变化关系如下表：
分
于是可得：min
()(2) 13ln 2f x f ==-……………………………………………………4分
（Ⅱ）222
2332
()(0)ax x f x a x x x x
-+'=+-=>………5分 由题可得方程2320ax x -+=有两个不等的正实根，不妨设这两个根为12x x 、，并令
2
()32h x ax x =-+，则12129803020a x x a x x a ⎧
⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩（也可以9803002(0)0a a a h ∆=->⎧⎪-⎪->⇒>⎨⎪>⎪⎩）
，解得908a <<………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）2
()3ln f x x x x
=--，故32()32(0)F x x x x x =-->，2()362(0)F x x x x '=-->……9分
设切点为00(,)T x y ，由于点P 在函数()F x 的图像上，
（1）当切点T 不与点(1,4)P -重合，即当01x ≠时．
由于切线过点(1,4)P -，则200004
3621
y x x x +=---
所以3220
00000324(1)(362)x x x x x x --+=---， 化简得3
20
003310x x x -+-=，即30(1)0x -=，解得01x =（舍去）……12分 （2）当切点T 与点(1,4)P -重合，即01x =时．
则切线的斜率(1)5k F '==-，于是切线方程为510x y +-=……………13分
综上所述，满足条件的切线只有一条，其方程为510x y +-= ……………14分
（注：若没有分“点T 是否与点P 重合”讨论，只要过程合理结论正确，本小题只扣1分）。