初中数学学习方法专题训练——赋值法综合练习及试题解析

专题06 赋值法
【规律总结】
在解数学题时，人们运用逻辑推理方法，一步一步地寻求必要条件，最后求得结论，是一种常用的方法。

对于有些问题，若能根据其具体情况，合理地、巧妙地对某些元素赋值，特别是赋予确定的特殊值（如），往往能使问题获得简捷有效的解决。

但是这仅仅只能得到该赋予的值的情况，所以做题时可以继续根据已得到的情况推断并证明。

这就是赋值法。

【典例分析】
例1、若0<a <1，则√a ，a 2，1
a 之间的大小关系为 ( )
A. 1
a >a 2>√a
B. √a >1
a >a 2
C. a 2>√a >1
a
D. 1
a >√a >a 2
【答案】D 【解析】 【分析】
本题考查了实数的大小比较，利用特殊值比较式子的大小是本题解题的关键.可根据条件，运用取特殊值的方法比较大小． 【解答】
解：∵0<a <1， ∴设a =14，
则a 2=(1
4)2=1
16，1
a =4． √a =√1
4=12， ∴1
a >√a >a 2． 故选D ．
例2、我们规定：相等的实数看作同一个实数．有下列六种说法：
①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数；
③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；
④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；
⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；
⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数．
其中说法错误的有__________(注：填写出所有错误说法的编号)
【答案】⑤
【解析】
【分析】
根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，可得答案．
此题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键．
【解答】
解：①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的；
②带根号的数不一定是无理数是正确的，如√4=2；
③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示是正确的；
④数轴上每一个点都表示唯一一个实数是正确的；
⑤没有最大的负实数，也没有最小的正实数，故⑤说法错误；
⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数为1，故⑥说法正确．
故答案为：⑤．
1.例3、若(2x2−x−1)3=a0x6+a1x5+a2x4+a3x3+a4x2+a5x+a6，求：
(1)a6的值；
(2)a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6的值．
【答案】解：
(1)令x=0，则(−1)3=a6，
∴a6=−1．
(2)令x=1，
则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=(2−1−1)3=0．
【好题演练】
一、选择题
1. 甲、乙两个油桶中装有体积相等的油.先把甲桶的油倒一半到乙桶(乙桶没有溢出)，再把乙桶的油倒出1
3给甲桶(甲桶没有溢出)，这时两个油桶中的油的是( )
A. 甲桶的油多
B. 乙桶的油多
C. 甲桶与乙桶一样多
D. 无法判断，与原有的油的体积大小有关，
【答案】C 【解析】 【分析】
本题考查了有理数运算的应用，赋值法 ，采用设数法，表示出两桶中油的体积，从而可以比较大小．采用设数法，将甲、乙两个油桶中体积相等时的油的体积设为“1”，分别算出倒两次之后甲乙两桶中油的体积，即可得解． 【解答】
解：∵甲、乙两个油桶中装有体积相等的油， ∴将此时甲、乙两个油桶中油的体积设为“1”，
则把甲桶的油倒一半到乙桶后，甲桶中油的体积为“1
2”，乙桶中油的体积为：1
2+1=3
2， 再把乙桶的油倒出1
3给甲桶，乙桶油倒出的体积为：3
2×1
3=1
2， 则乙桶油剩余的体积为：3
2−1
2=1，甲桶中油的体积为：1
2+1
2=1， ∴甲桶与乙桶一样多． 故选：C ．
2. 若a <0<b ，则( )
A. 1−a <1−b
B. a +1<b −1
C. a 2<b 2
D. a 3<a 2b
【解析】 【分析】
本题考查不等式的性质等知识，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型． 根据不等式的性质即可求出答案． 【解答】
解：A ∵a <0<b ， ∴−a >−b ，
∴1−a >1−b ，故A 错误． B 当a =−1，b =1时， ∴a +1=0，b −1=0， 即a +1=b −1，故B 错误． C 当a =−3时，b =1时， ∴a 2=9，b 2=1， 即a 2>b 2，故C 错误． D ∵a <0<b ， ∴a 2>0，a −b <0
∴a 3−a 2b =a 2(a −b)<0，故D 正确． 故选D ．
3. 若0<x <1，则x 2、x 、√x 、√x 3这四个数中( )．
A. √x 3最大，x 2最小
B. x 最大，√x 3最小
C. x 2最大，√x 最小
D. x 最大，x 2最小
【答案】A 【解析】 【分析】
本题主要考查实数的大小比较.利用特殊值比较一些式子的大小是有效的方法．可根据条件，在范围内运用取特殊值的方法比较大小． 【解答】
解：∵0<x <1，
∴取x =1
8，
则x 2=116，√x =√1
8
，√x 3
=1
2，
∵13<√18<1
2 ∴1
2最大，1
16
最小， 则最大的是√x 3，最小的是x 2， 故选A ．
4. 设[x]表示不超过x 的最大整数，若M =√[x ],N =[√√x]，其中x ⩾1，则一定有( )
A. M >N
B. M =N
C. M <N
D. 以上答案都不对
【答案】D 【解析】 【分析】
本题考查取整函数的知识，难度较大，对于此类题目不应定非要按部就班的解答，特殊值法是解答一些竞赛题时常用的方法，同学们要注意掌握．本题可用特殊值法进行解答，分别令x =1及x =16即可作出判断． 【解答】
解：根据题意可令x =1及x =16， 当x =1时，M =1，N =1，此时M =N ； 当x =16时，M =4，N =2，此时M >N ；
综上可判断M 和N 的关系并不是单纯的M =N 或M >N ，而是根据情况而定的． 故选D ．
5. 设a 是大于1的有理数，若a ，
a+23
,
2a+13
在数轴上对应点分别记作A ，B ，C ，则A ，B ，
C 三点在数轴上自左至右的顺序是( )
A. C ，B ，A
B. B ，C ，A
C. A ，B ，C
D. C ，A ，B
【答案】B 【解析】
【分析】
本题考查了数轴及有理数的比较大小，理解数轴上右边的数大于左边的数是解题关键.首先应比较它们的大小，可用取特殊值法，然后根据在数轴上右边的点表示的数总比左边的大．【解答】
解：∵a是大于1的有理数，不妨设a=2，
则a+2
3=4
3
，2a+1
3
=4+1
3
=5
3
，
又∵4
3<5
3
<2；
∴A，B，C三点在数轴上自左至右的顺序是B，C，A．
故选B．
6.已知(x−2)3=ax3+bx2+cx+d，则a+b+c+d的值为()
A. 1
B. −1
C. 0
D. 不能确定【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了代数式求值.利用特殊值法求解.把x=1代入即可求出．
【解答】
解：当x=1时，(1−2)3=a+b+c+d，
∴a+b+c+d=−1．
故选B．
二、填空题
7.已知(x−1)2021=a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋯+a2021x2021，则a1+a2+⋯+
a2021=________．
【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了赋值法的应用，属于基础题．
当x =0时，a 0=−1，当x =1时，(1−1)2021=a 0+a 1+a 2+a 3+⋯+a 2021=0，进而得出结果． 【解答】
解：当x =0时，a 0=−1，
当x =1时，(1−1)2021=a 0+a 1+a 2+a 3+⋯+a 2021=0， 则−1+a 1+a 2+a 3+⋯+a 2021=0， 则a 1+a 2+⋯+a 2021=1， 故答案为1．
8. 对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为(x).即当n 为非负整数时，若n −1
2≤x <n +
12
，则(x)=n.如(0.46)=0，(3.67)=4.给出下列关于(x)的结论：
①(1.493)=1;②(2x)=2(x);③若(1
2x −1)=4，则实数x 的取值范围是9≤x <11;④当x ≥0，m 为非负整数时，有(m +2016x)=m +(2016x);⑤(x +y)=(x)+(y).其中正确的是__________(填序号). 【答案】①③④ 【解析】 【分析】
本题考查新定义问题，一元一次不等式组的应用，特殊取值法，根据题干的信息及不等式组n −1
2≤x <n +1
2可知1−1
2≤1.493<1+1
2成立，故可对①进行判定；采用特殊值法令x =0.3，然后分别计算出(2x)和2(x)的值，对②进行判定；由于(1
2x −1)=4，则4−1
2≤1
2x −1<4+1
2即{4−1
2≤1
2x −14+12>1
2x −1
，解不等式组得到解集进而对③进行判定；由于m 为非负整数，则不会对四舍五入造成影响，则可以直接将m 提取出来，故可对④进行判定；使用特殊值法令x =1.3，y =1.4分别计算(x +y)和(x)+(y)的值，可对⑤进行判定． 【解答】
解：①∵1−1
2≤1.493<1+1
2(即0.5≤1.493<1.5) ∴(1.493)=1 故①正确；
②令x =0.3，
则(2x)=(0.6)=1，2(x)=2(0.3)=0， 此时(2x)≠2(x)， ∴②错误； ③∵(1
2x −1)=4，
∴4−12≤12x −1<4+1
2， 即{4−1
2≤1
2
x −1 (1)
4+12
>1
2x −1 (2)
, 解(1)可得：x ≥9， 解(2)可得：x <11，
∴方程组的解集为：9≤x <11； 故③正确；
④∵x ≥0，m 为非负整数， ∴(m +2016x)=m +(2016x)， 故④正确；
⑤令x =1.3，y =1.4， 则(x +y)=(2.7)=3，
(x)+(y)=(1.3)+(1.4)=1+1=2， 此时(x +y)≠(x)+(y)， 故⑤错误；
∴正确的结论有①③④． 故答案为①③④．
9. 用举反例的方法说明命题“若a <b ，则ab <b 2”是假命题，这个反例可以是a =______，
b =______．
【答案】−1，0(答案不唯一) 【解析】 【分析】
本题考查了运用举反例的方法判断一个命题是假命题．解题关键是理解什么是“反例”：满
足命题的题设但得不出命题的结论的例子．
【解答】
解：a=−1，b=0，则满足a<b，
∴ab=0，b2=0，
则ab=b2，
所以反例为a=−1，b=0．
故答案为−1，0．
10.已知(x−1)2021=a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋯+a2021x2021，则a1+a2+⋯+
a2021=________．
【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了代数式求值，有理数的乘方，解题关键是运用赋值法求值.根据题意运用赋值法，当x=1时，a0+a1+a2+⋯+a2021=0；当x=0时，a0=−1，据此可得答案．
【解答】
解：∵(x−1)2021=a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋯+a2021x2021，
∴当x=1时，(1−1)2021=a0+a1·11+a2·12+a3·13+⋯+a2021·12021，
∴a0+a1+a2+⋯+a2021=0，
∵(x−1)2021=a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋯+a2021x2021，
∴当x=0时，a0=(−1)2021=−1，
∴a1+a2+⋯+a2021=1.
故答案为1．
11.当n为正整数时，(−1)2n+1+(−1)2n的值是________
【答案】0
【解析】
【分析】
本题主要考查求代数式的值，解答本题的关键是知道求代数式的值的方法．
【解答】
解：当n为正整数时，(−1)2n+1+(−1)2n=−1+1=0．
故答案为0．
12.如图，四个二次函数的图像对应的函数表达式分别为
 ①y=ax2; ②y=bx2; ③y=cx2; ④y=dx2.则a、
b、c、d的大小关系为(用“>”连接)．
【答案】a>b>d>c
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征.采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．令x=1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，利用数形结合思想，比较各对应点纵坐标的大小．
【解答】
解：令x=1，则四条抛物线的点从上到下坐标依次为(1,a)，(1,b)，(1,d)，(1,c)，
由图象可得：a>b>d>c．
故答案为a>b>d>c．
三、解答题
13.已知关于x、y的二元一次方程组：{2x+9y=a
ax−y=a+1，求出所有整数a，使得方程组有整数解(即x、y都是整数)，并求出所有的整数解．
【答案】解：{2x+9y=a ①
ax−y=a+1 ②
，
 ②×9+ ①得2x+9ax=a+9a+9，
解得x=10a+9
9a+2
，
 ①×a− ②×2得9ay+2y=a2−2a−2，
解得y=a2−2a−2
9a+2
，
原方程组得{x =
10a+9
9a+2
y =a 2−2a−2
9a+2
, 假设x =1时，可求得a =−7，y =−1； 同样设x 为其他整数，a 、y 的值都不能为整数， ∴原方程组的整数解为{x =1
y =−1
． 【解析】本题考查的是二元一次方程的解法．先用a 表示的x 、y 的值，是解题的关键．先解方程组，求出用a 表示的x 、y 的值，再尝试求得整数a ，使x 、y 都是整数．
14. 已知a ，b ，c ，d 都不等于零，并且a
b =c
d .根据分式的基本性质、等式的基本性质及运算
法则，探究下列各组中的两个分式之间有什么关系？然后选择其中一组进行具体说明．
(1)a
c 和b
d ； (2)
a+b b
和
c+d d
；
(3)a+b a−b 和c+d
c−d (a ≠b,c ≠d)．
【答案】解：取a =1，b =2，c =3，d =6，有1
2=3
6， 则(1)1
3=2
6; (2)
1+22=
3+66
=3
2;
(3)1+21−2=3+6
3−6=−3．
观察发现各组中的两个分式相等．
故推想，当a ，b ，c ，d 都不等于0，且a
b =c
d 时，a
c =b
d ，a+b b
=
c+d d
，a+b
a−b =c+d
c−d ．
【解析】
【分析】此题考查了分式的基本性质、等式的基本性质及运算法则．
(1)利用特殊取值法求解；
(2)根据等式性质求解；
(3)利用特殊取值法和分式的基本性质求解．
15.回答下列问题：
(1)比较2x与x2+1的大小，用等号或不等号
填空：
当x=2时，2x__________x2+1；
当x=1时，2x________x2+1；
当x=−1时，2x____________x2+1．
(2)任选取几个x的值，计算并比较2x与x2+1的大小．
(3)无论x取什么值，2x与x2+1总有这样的大小关系吗?试说明理由．
【答案】解：(1)<;=;<；
(2)当x=3时，2x<x2+1，当x=−2时，2x<x2+1；
(3)无论x取何值，2x与x2+1总有这样的大小关系．
理由如下：
∵x²+1−2x=(x−1)2≥0，
∴2x≤x²+1．
【解析】
【分析】
本题考查不等式的性质和完全平方公式的应用．
(1)根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
(2)根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
(3)根据完全平方公式，可得答案．
【解答】
解：(1)当x=2时，2x<x2+1；当x=1时，2x=x2+1；
当x=−1时，2x<x2+1；．
故答案为<;=;<．
(2)见答案．
16.已知a+1
a =5，求a2
a4+a2+1
的值．
【答案】解：∵a+1
a =5，∴(a+1
a
)
2
=25，∴a2+1
a2
=23，∴a
2
a4+a2+1
=1
a2+1
a2
+1
=1
24
【解析】若先求出a的值再代入求值，显然现在解不出．如果将a2
a4+a2+1
的分子、分母同时除以a2，再进一步求原式的值就简单很多．
17.已知x
3=y
4
=z
7
≠0，求3x+y+z
y
的值．
【答案】解：设x
3=y
4
=z
7
=k (k≠0)，
则x=3k，y=4k，z=7k，
则3x+y+z
y
=9k+4k+7k
4k
=5．
【解析】略
18.用等号或不等号填空：
(1)比较2x与x2+1的大小：
当x=2时，2x______x2+1；
当x=1时，2x______x2+1；
当x=−1时，2x______x2+1；
(2)任选取几个x的值，计算并比较2x与x2+1的大小；
(3)无论x取什么值，2x与x2+1总有这样的大小关系吗？试说明理由．
【答案】解：(1)<;=;<；
(2)当x=3时，2x<x2+1，当x=−2时，2x<x2+1；
(3)无论x取何值，2x与x2+1总有这样的大小关系．
理由如下：∵x²+1−2x=(x−1)2≥0，
∴2x≤x²+1．
【解析】
【分析】
本题考查不等式的性质和完全平方公式的应用．
(1)根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
(2)根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
(3)根据完全平方公式，可得答案．
【解答】
解：(1)当x=2时，2x<x2+1；
当x=1时，2x=x2+1；
当x=−1时，2x<x2+1；．
故答案为<;=;<．
(2)见答案．。