2020届河南省平顶山市第一中学高三下学期开学检测(线上)数学(文)试题(解析版)

2020届河南省平顶山市第一中学高三下学期开学检测（线上）
数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合{}1,2,3,6A =，{}
|24x
B x =>，则A B =I （ ）
A ．{}6
B ．{}3,6
C ．{}1,2
D ．{}2,3,6
【答案】B
【解析】解对数不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】
由2224x >=得{}|2B x x =>，所以{}3,6A B =I . 故选：B 【点睛】
本小题主要考查交集的概念和运算，考查指数不等式的解法.
2．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【解析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】
由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()
10121024121212i z i i i i +=
==+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 3．已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60︒，则双曲线C 的方程不可能为（ ）
A ．2213
x y -=
B ．22
139x y -=
C ．22
1312y x -=
D ．22
1217
y x -=
【答案】C
【解析】根据双曲线C 的两条渐近线的夹角为60︒，可知双曲渐近线与x 轴的夹角为
30o 或60︒，则渐近线方程为3
y x =±
或y =，排除法，即可. 【详解】
依题意，双曲线C 的渐近线方程为y x =或y =，观察可知. 故选：C 【点睛】
本题考查求双曲线的标准方程，注意两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与x 轴的夹角时要分为两种情况.属于中档题.
4．设向量,m n u r r
满足2,3m n ==u r r ,现有如下命题:命题:2p m n -u r r 的值可能为9；命题
:q “(2)m n m -⊥u r r u r
”的充要条件为“1,3
cos m n <>=u r r
，则下列命题中,真命题为( )
A ．p
B ．p q ∧
C ．()p q ∧﹁
D ．()p q ∨﹁
【答案】C
【解析】利用向量的模和数量积的运算公式，判定命题p 为假命题，利用向量垂直的充要条件判定命题q 为真命题，再结合复合命题的真假判定，即可求解. 【详解】
由题意，可得28m n -=≤=u r r ，（当向量
,m n u r r
反向时，取等号）
，所以2m n -的最大值为8，所以命题p 为假命题； 当(2)m n m -⊥u r r u r
时，则224223(2cos ),0m m n m n n m m ⋅=--⋅=-⨯⨯=u r u r u r r u r r r u r ，
解得1
,3
cos m n <>=u r r ，所以命题q 为真命题，
所以命题p q ∧为假命题，命题()p q ∧﹁ 为真命题，命题()p q ∨﹁为假命题. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答总数列应用向量的数量积和向量的模的运算公式，以及向量垂直的充要条件，结合复合命题的真假判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 5．已知()0,απ∈，且3sin α=
，则tan πα⎛
⎫+= ⎪（ ）
A ．17
-
B ．7
C ．1
7
-
或－7 D ．
1
7
或7 【答案】D
【解析】由题意按0,2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
和,2παπ⎛⎫∈
⎪⎝⎭分类讨论得tan α，进而得tan 4πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的
值即可. 【详解】
已知()0,απ∈，且3sin 5α=，当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cosα＝2
315⎛⎫-- ⎪⎝⎭
＝45，
则sin 3tan cos 4ααα=
=，∴3
tan tan
1
44tan 7341tan tan 1144
π
απαπα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--⨯； 当,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cosα＝2
315⎛⎫--- ⎪⎝⎭
＝45-，则sin 3tan cos 4ααα=
=-，∴3
tan tan
1
144tan 3471tan tan 1144
π
απαπα+-+⎛⎫+=
== ⎪⎝
⎭-+⨯； 综上：tan 4πα⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭17
或7 故选：D 【点睛】
本题考查三角函数的诱导公式的合理运用，分类讨论思想，易错点是三角函数的符号容易出错，属于基础题．
6．函数()3
sin 2x
x x f e
x =+在[]2,2ππ-上的图象大致为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】先判断函数()f x 的奇偶性，排除C ；再验证()4
f π
的值，排除B ，D ，即可.
【详解】 依题意，()()()
3
sin 2x
x x f x e
--+--=
()3sin 2x
x x f x e
+=-=-，故函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C ；
3
33
4
273sin 11191919124646440.54 2.8 2.8 2.864179.2182e e f π
π
πππ⎛⎫++++ ⎪⎛⎫⎝⎭=>>===>= ⎪⨯⎝⎭
，排除B ，D. 故选：A 【点睛】
本题考查函数图象问题.此类问题可根据函数的单调性、奇偶性、特值检验，通过排除法解决.属于中档题.
7．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )
A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+
B ．1111
4(1)35719P =-
+-+⋅⋅⋅- C ．1111
4(1)35721
P =-+-+⋅⋅⋅+
D ．1111
4(1)35721
P =-+-+⋅⋅⋅-
【答案】B
【解析】执行给定的程序框图，输入10n =，逐次循环，找到计算的规律，即可求解. 【详解】
由题意，执行给定的程序框图，输入10n =，可得： 第1次循环：1,2S i ==；
第2次循环：1
1,33S i =-=；
第3次循环：11
1,435
S i =-+=；
L L
第10次循环：1111
1,1135719
S i =-+-+-=L ， 此时满足判定条件，输出结果1111
44(1)35719
P S ==-+-+⋅⋅⋅-，
故选：B. 【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且33S =-,1224S =,若0+=i j a a (*,i j N ∈,且1i j ≤<),则i 的取值集合是( )
A ．{1,2,3}
B ．{6,7,8}
C ．{1,2,3,4,5}
D ．678}10{9,
,,, 【答案】A
【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题设条件，求得152
,33
a d =-=
，得出(6)
3
n n n S -=
，进而求得160a a +=，再结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
因为33S =-,1224S =,可得111
11
22a d a d +=-⎧⎪
⎨+=⎪⎩
，解得152,33a d =-=， 所以1(1)5(1)2(6)
()23233
n n n n n n n S na d n ---=+
=⨯-+⨯=
令0n S =，解得6n =或0n =（舍去），即60S =， 又因为1()
2
n n n a a S +=
，所以160a a +=， 由等差数列的性质，可得1625340a a a a a a +=+=+=， 所以i 的取值集合是{1,2,3}. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，以及前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列前n 项和公式，结合等差数列的性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >> B ．c a b >>
C ．a b c >>
D ．c b a >>
【答案】D
【解析】根据指数函数的性质，取得,,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案. 【详解】
由指数函数的性质，可得0.50.50.610.60.50.50>>>>，即10b a >>>， 又由0.512c =>，所以c b a >>. 故选：D.
本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
10．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥底面BCD ，
BC CD ⊥，且AB CD ==2BC =，利用张衡的结论可得球O 的表面积为（ ）
A ．30
B ．
C ．33
D ．【答案】B
【解析】由,,BC CD AB BC AB CD ⊥⊥⊥判断出球心的位置，由此求得求的直径.利用张恒的结论求得π的值，进而根据球的表面积公式计算出球的表面积. 【详解】
因为BC CD ⊥，所以BD =
AB ⊥底面BCD ，
所以球O 的球心为侧棱AD 的中点，
从而球O .
利用张衡的结论可得25
168
π=，则π=
所以球O 的表面积为2
410ππ==⎝⎭
故选：B 【点睛】
本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.
11．一个圆锥的母线长为2+，且母线与底面所成角为4
π
，则该圆锥内切球的表面积为（ ）
A ．2π
B ．8π
C D ．(6π+
【答案】B
【解析】由已知求得圆锥的底面半径与高，再由等面积法求出该圆锥内切球的半径，再由球的表面积公式得答案．
作出圆锥截面图如图所示，∵母线长为222+，圆锥的母线与底面的夹角为4
π
，∴圆锥底面半径与高均为22+．
设内切球的半径为r ，则利用轴截面的等面积可得
()()()(
)
11
2=222222222222+2r +++⎡⎤⨯⨯⨯+⎣
⎦
∴r ＝2，∴该圆锥内切球的表面积为4π×22＝8π． 故选：B ．
【点睛】
本题考查该圆锥内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定内切球的半径是关键，属于中档题．
12．已知()f x '是定义在R 上的函数()f x 的导函数，若()()3
f x f x x =-+，且当
0x ≥时，()2
32
f x x '>
，则不等式()()2212331f x f x x x +-<++的解集为（ ）
A ．1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．1,2⎛
⎫-∞-
⎪⎝⎭
C ．1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
D ．1,
2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】由已知条件，构造函数()()3
2x g x f x =-，求导得()g x 在[)0,+∞上递增，
又()()()()33
022
x x g x g x f x f x --=----=，得()g x 在R 上是偶函数.不等式
()()2212331f x f x x x +-<++化简为()()1g x g x +<，得1x x +<，计算即可.
【详解】
当0x ≥时，满足()232f x x '>，则()2320f x x '->，构造函数()()3
2
x g x f x =-，
则()()()'
3''
'23022x g x f x f x x ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭
，
所以()g x 在[)0,+∞上递增.且()()3
f x f x x =-+在R 上成立，又
()()3
2
x g x f x -=-+，
所以()()()()33
022x x g x g x f x f x --=----=，所以()g x 在R 上是偶函数.
则不等式()()2
212331f x f x x x +-<++化简为()()2331
12
x x f x f x +++-<，
所以
()()()
()()()()3
321331
1110
2
22
x x x x g x g x f x f x f x f x ++++-=+-
-+=+--<，
得()()1g x g x +<，所以1x x +<，计算得2
1
x <-. 故选：B 【点睛】
本题考查了函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.
二、填空题
13．函数()2
9f x x =______.
【答案】9
【解析】结合()f x 的定义域，判断出()f x 的单调性，由此求得()f x 的最小值. 【详解】
∵()f x 的定义域为[
)1,+∞，且()f x 在定义域上单调递增，∴()()min 19f x f ==. 故答案为：9 【点睛】
本小题主要考查利用函数的单调性求最值，属于基础题.
14．已知实数x，y满足
2
3
36
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪-≤
⎩
，则2
z x y
=+的最大值为____________.
【答案】27 4
【解析】画出可行域，平移目标函数，根据图象，确定最大值即可.
【详解】
作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示；观察可知，当直线2
z x y
=+过点C时，z有最大值；联立
360
30
x y
x y
--=
⎧
⎨
+-=
⎩
，解得
15
4
3
4
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，故z的最大值为
27
4
.
故答案为：
27
4
【点睛】
本题考查线性规划问题，属于较易题.
15．“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是
2
3
R,4R,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________.
【答案】
1
2
【解析】画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得,a c的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案.
【详解】
如图所示，设椭圆的长半轴为a，半焦距为c，
因为地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是
2
3
R,4R,
可得
4
2
3
a c R R
a c R R
+=+
⎧
⎪
⎨
-=+
⎪⎩
，解得
105
,
33
a R c R
==，
所以椭圆的离心率为
5
1
3
102
3
R
c
e
a R
===.
故答案为：1
2
.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得,a c的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
16．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”若各项均为正数的等比数列{}n a是一个“2020积数列”，且11
a>，则当其前n项的乘积取最大值时，n的最大值为______.
【答案】1010
【解析】利用新定义，求得数列{a n}的第1009项为1，再利用a1＞1，q＞0，即可求得结论．
【详解】
由题意，a2020＝a1a2…a2020，∴a1a2…a2019＝1，
∴a1a2019＝a2a2018＝a3a2017＝…＝a1009a1011＝a10092＝1，∵a1＞1，q＞0，
∴a1008＞1，a1009=1，a1010<1，∴前n项积最大时n的值为1010．
故答案为：1010
【点睛】
本题考查等比数列前n项的乘积取最大值时n的值的求法，考查等比数列的性质等基础知识、运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．
三、解答题
17．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
52sin cos cos 2c A a B b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
.
（1）求角A ；
（2）若3a b c =+，且ABC ∆外接圆的半径为1，求ABC ∆的面积.
【答案】（1）3
A π
=
；（2）【解析】（1）由诱导公式和正弦定理，对52sin cos cos 2c A a B b A π⎛⎫
+=+
⎪⎝⎭
化简得2sin cos sin C A C =，从而得1
cos 2
A =
，进而得角A ；
（2）由题意得ABC ∆外接圆的半径1R =，由正弦定理和（1）得2sin a R A ==
由余弦定理得2
2
()3a b c bc =+-，，从而得8bc =，再利用三角形面积公式计算即可. 【详解】 （1）∵52sin cos cos 2c A a B b A π⎛⎫
+=+
⎪⎝⎭
，∴2cos cos cos c A a B b A =+， 由正弦定理得，2sin cos sin cos sin cos sin()sin C A A B B A A B C =+=+=， ∴2sin cos sin C A C =，又0C π<<，∴sin 0C ≠，∴1
cos 2
A =，又0A π<<，∴3
A π
=
.
（2）设ABC ∆外接圆的半径为R ，则1R =，由正弦定理和（1）得2sin a R A == 由余弦定理得2
2
2
22cos
()33
a b c bc b c bc π
=+-=+-，且3a b c =+，即
3273bc =-，∴8bc =，
∴ABC ∆的面积11sin 8222
S bc A ==⨯⨯=. 【点睛】
本题考查了正余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，也考查了诱导公式和三角形外接圆半径的转化，属于基础题.
18．某农科所为改良玉米品种,对已选出的一组玉米的茎高进行统计,获得茎叶图(单位:厘米),设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米,否则为矮茎玉米.
抗倒伏 易倒伏 总计 矮茎 高茎 总计
（1）请完成以上22⨯列联表,并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关?
（2）为改良玉米品种,现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出5株,再从这5株玉米中选取2株进行杂交试验,则选取的植株均为矮茎的概率是多少?
参考公式:2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++(其中n a b c d =+++) 参考数据:
()
20P K k … 0.10 0.05 0.010 0.001
0k
2.706
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）答案见解析.（2）
3
10
【解析】（1）根据统计数据填写出22⨯的列联表，利用公式求得2K 的值，对照临界值，即可得到结论；
（2）利用列举法求出基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】
（1）根据统计数据得22⨯列联表如下:
由于2K 的观测值2
2
45(1516410)
7.287 6.63519262520
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,
因此可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关. （2）根据题意得,抽到的高茎玉米有2株,设为A ,B ,抽到的矮茎玉米有3株,设为a ,b ,c , 从这5株玉米中取出2株的取法有AB ,Aa ,Ab ,Ac ,Ba ,Bb ,Bc ,ab ,ac ,bc ,共10种,其中均为矮茎的选取方法有ab ,ac ,bc ,共3种, 因此,选取的植株均为矮茎的概率是310
【点睛】
本题主要考查了独立性检验的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，准确利用公式计算，以及利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 19．已知首项为32
的等比数列{}n a 的前n 项和为()
*
n S n N ∈，且22S -，3S ，44S 成等差数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对于数列{}n A ，若存在一个区间M ，均有()1,2,3i A M i ∈=⋅⋅⋅，则称M 为数列{}n A 的“容值区间”.设1
n n n
b S S =+
，试求数列{}n b 的“容值区间”长度的最小值. 【答案】（1）1
3122n n a -⎛⎫
=⋅- ⎪
⎝⎭
；（2）
1
6
【解析】（1）根据324224S S S =-+，求出公比，即可得解；
（2）对项数分奇偶讨论112n
n S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
的取值范围，即可得到区间长度的最小值.
【详解】
（1）由题意可知：324224S S S =-+，
即()()1231212342a a a a a a a a a ++=-+++++，
∴4312a a =-，即公比12
q =- 又13
2
a =
， ∴1
3122n n a -⎛⎫
=⋅- ⎪
⎝⎭
.
（2）由（1）可知112n
n S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
. 当n 为偶数时112n
n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知n S 随n 增大而增大， ∴3,14n S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，根据勾型函数性质，此时1252,12n
n n b S S ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦. 当n 为奇数时112n
n S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知n S 随n 增大而减小，
∴31,2n S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，根据勾型函数性质，此时1132,6n n n b S S ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦. 又
1325
612
>， ∴132,
6n b ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
. 故数列{}n b 的“容值区间”长度的最小值为1
6
. 【点睛】
此题考查等比数列基本量的求法，求解数列里项的取值范围，结合函数单调性解决问题. 20．已知(2,0)A -，(2,0)B ，直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，且123
4
k k =-. （1）求点P 的轨迹C 的方程；
（2）设1(1,0)F -，2(1,0)F ，连接1PF 并延长，与轨迹C 交于另一点Q ，点R 是2PF 中点，O 是坐标原点，记1
QFO △与1PF R △的面积之和为S ，求S 的最大值. 【答案】(1) 22
1(2)43
x y x +=≠±;(2) 32.
【解析】试题分析：（1）设(),P x y ，利用123
4
k k =-，求得点P 的轨迹C 的方程；（2）由O ，R 分别为1F ，2F ，2PF 的中点，故1//OR PF ，故1PF R ∆与1PF O ∆同底等高，故11PF R PF O S S ∆∆=，11QF O PF E PQO S S S S ∆∆∆=+=，对斜率分类讨论，联立方程巧用维达表示面积即可. 试题解析：
（1）设(),P x y ，∵()2,0A -，()2,0B ，∴12y k x =
+，22
y k x =-， 又1234k k =-，∴22344y x =--，∴()22
1243
x y x +=≠±，
∴轨迹C 的方程为()22
1243
x y x +=≠±（注：2x ≠±或0y ≠，如不注明扣一分）.
（2）由O ，R 分别为1F ，2F ，2PF 的中点，故1//OR PF ，
故1PF R ∆与1PF O ∆同底等高，故11PF R PF O S S ∆∆=，11QF O PF E PQO S S S S ∆∆∆=+=， 当直线PQ 的斜率不存在时，其方程为1x =-，此时1
33312222
PQO S ∆⎡⎤⎛⎫=
⨯⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； 当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为：()1y k x =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ， 显然直线PQ 不与x 轴重合，即0k ≠；
联立()
22114
3y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，解得()2222
3484120k x k x k +++-=，
()2
14410k ∆=+>，故2
1222
12283441234k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，
故12PQ x =-=
(
)22
12134k k +=
+，
点O 到直线PQ
的距离d =
12S PQ d ==()2
343,u k =+∈+∞，
故S =
30,2⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故S 的最大值为
32
. 点睛：点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围. 21．已知函数()()1x
f x alnx x e =--，其中a 为非零常数．
()1讨论()f x 的极值点个数，并说明理由；
()2若a e >，()i 证明：()f x 在区间()1,+∞内有且仅有1个零点；()ii 设0x 为()
f x 的极值点，1x 为()f x 的零点且11x >，求证：0012x lnx x +>． 【答案】（1）见解析；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.
【解析】()1先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，对a 进行分类讨论即可求解函数的单调性，进而可确定极值，
()()2i 转化为证明()'0f x =只有一个零点，结合函数与导数知识可证；
()ii 由题意可得，()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，代入可得，()0
12011010x x a x e alnx x e ⎧-=⎪
⎨--=⎪⎩
，结合函数的性质
可证． 【详解】
解：()1解：由已知，()f x 的定义域为()0,+∞，
()2x x
a a x e f x xe x x
-=-=
'Q ， ①当0a <时，20x a x e -<，从而()'0f x <， 所以()f x 在()0,+∞内单调递减，无极值点； ②当0a >时，令()2x
g x a x e =-，
则由于()g x 在[
)0,+∞上单调递减，()00g a =>
，
(
10g
a a =-=-<，
所以存在唯一的()00,x ∈+∞，使得()00g x =，
所以当()00,x x ∈时，()0g x >，即()'0f x >；当()0,x x ∈+∞时，()0g x <，即
()'0f x <，
所以当0a >时，()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点.
综上所述，当0a <时，函数()f x 无极值点；当0a >时，函数()f x 只有一个极值点；
()2证明：()i 由()1知()2x
a x e f x x
-'=
． 令()2x
g x a x e =-，由a e >得()10g a e =->，
所以()0g x =在()1,+∞内有唯一解，从而()'0f x =在()0,+∞内有唯一解， 不妨设为0x ，则()f x 在()01,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减， 所以0x 是()f x 的唯一极值点．
令()1h x lnx x =-+，则当1x >时，()1
'10h x x
=-<， 故()h x 在()1,+∞内单调递减，
从而当1x >时，()()10h x h <=，所以1lnx x <-． 从而当a e >时，1lna >，且
()()()()()1110lna f lna aln lna lna e a lna lna a =--<---=
又因为()10f =，故()f x 在()1,+∞内有唯一的零点．
()ii 由题意，()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即()0
12011010x x a x e alnx x e ⎧-=⎪
⎨--=⎪⎩
，
从而()0120111x
x x e lnx x e =-，即10
1120
1x x x lnx e x --=
． 因为当11x >时，111lnx x <-，又101x x >>，
故10
1120
11x x x e x x --<-，即102
0x x e x -<，
两边取对数，得10
2
0x x lne
lnx -<，
于是1002x x lnx -<，整理得0012x lnx x +>． 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，还综合考查了函数与导数的综合应用，属于难题．
22．在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程2sin x y ββ
⎧=⎪
⎨
=⎪⎩（β为参数）.直线l 的
参数方程cos 1sin x t y t α
α
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.
（Ⅰ）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为2,
6π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
时，求直线l 的倾斜角. 【答案】（Ⅰ）22
1124
x y +=；
（Ⅱ）56π. 【解析】（Ⅰ）利用2
2
cos sin 1ββ+=可将曲线C 的参数方程化为普通方程； （Ⅱ）解法一：可直线曲线C 截直线l
所得线段的中点坐标为
)
，设弦的端点分别
为()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法可求出直线l 的斜率，即得α的值；
解法二：写出直线l
的参数方程为cos 1sin x t y t α
α
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，将直线l 参数方程与曲线C 的普
通方程联立，由120t t +=可求出角α的值. 【详解】
（Ⅰ）由曲线C
的参数方程2sin x y ββ⎧=⎪⎨=⎪⎩（β为参数）
，得：cos sin 2y
ββ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴曲线C 的参数方程化为普通方程为：22
1124
x y +=； （Ⅱ）解法一：中点极坐标2,
6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
化成直角坐标为)
.
设直线l 与曲线C 相交于()11,A x y ，()22,B x y
两点，则
122
x x +=，1212y y
+=.
则2
2
112
2
22
1124
1124
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，②-①得：222
221210124x x y y --+=， 化简得：(
)211221123323y y x x x x y y -+=-=-=--+⨯
，即tan 3
l k α=-=， 又()0,απ∈Q ，∴直线l 的倾斜角为56
π
； 解法二：中点极坐标2,
6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
化成直角坐标为)
，
将cos 1sin x t y t αα
⎧=⎪⎨=+⎪⎩分别代入221124x y +=
，得
)
()2
2
cos 1sin 112
4
t t αα++
=.
(
)()
222cos 3sin 6sin 60t t αααα∴+++-=，
1222
6sin 0cos 3sin t t αα
αα
+∴+=-
=+
，即6sin 0αα--=
. sin cos αα∴
=
，即tan α=. 又(0,)απ∈Q ，∴直线l 的倾斜角为56
π
. 【点睛】
本题考查参数方程与普通方程的互化，同时也考查了中点弦问题的求解，可利用点差法求解，也可以利用韦达定理法求解，考查计算能力，属于中等题. 23．已知函数()32f x x x =--． （1）求不等式()2f x ≥的解集；
（2）若()f x 的最大值为m ，a 、b 、c 为正数且a b c m ++=，求证：2223a b c ++≥．
【答案】（1）11,3
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
；（2）证明见解析.
【解析】（1）分0x ≤、03x <<、3x ≥去绝对值，分段解不等式()2f x ≥，可得出该不等式的解集；
（2）由（1）可将函数()y f x =表示为分段函数，可求出函数()y f x =的最大值为
第 21 页 共 21 页 3m =，可得出3a b c ++=，然后利用柯西不等式得出
()()()
2222111a b c a b c ++++≥++，由此可证明出2223a b c ++≥.
【详解】 （1）当0x ≤时，()()32323f x x x x x x =--=-+=+，由()2f x ≥，得32x +≥，
解得1x ≥-，此时10x -≤≤；
当03x <<时，()()323233f x x x x x x =--=--=-，由()2f x ≥，得332x -≥， 解得13x ≤，此时103
x <≤； 当3x ≥时，()()323236f x x x x x x =--=--=--≤-，此时不等式()2f x ≥无解.
综上所述，不等式()2f x ≥的解集为11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
； （2）由（1）可知()3,033,033,3x x f x x x x x +≤⎧⎪=-<<⎨⎪--≥⎩
.
当0x ≤时，()33f x x =+≤；当03x <<时，()()336,3f x x =-∈-；当3x ≥时，()36f x x =--≤-.
所以，函数()y f x =的最大值为3m =，则3a b c ++=.
由柯西不等式可得()()()2222111a b c a b c ++++≥++，即()222233a b c ++≥， 即2223a b c ++≥，当且仅当1a b c ===时，等号成立.
因此，2223a b c ++≥.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值函数的最值以及利用柯西不等式证明不等式，在求解绝对值不等式时，一般利用零点分段法去绝对值来求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.。