《三角函数的诱导公式》教学设计

1.3 三角函数的诱导公式 〔名师：杨峻峰〕
一、教学目的 〔一〕核心素养 .
〔二〕学习目的
1. 结实掌握五组诱导公式.
2. 理解和掌握公式的内涵及构造特征，纯熟运用公式进展三角函数的求值、化简及恒等证明.
3. 通过诱导公式的推导，培养学生的观察才能、分析归纳才能.
4.浸透把未知转化为以及分类讨论的数学思想. 〔三〕学习重点
纯熟、准确地运用公式进展三角函数求值、化简及证明. 〔四〕学习难点
相关角终边的几何对称关系及诱导公式构造特征的认识，诱导公式的推导、记忆及符号判断. 二、教学设计 〔一〕课前设计
1. 阅读教材第23页至第27页，填空：
〔1〕如图，πα+的终边与角α的终边关于 原点 对称； 〔2〕如图，α-的终边与角α的终边关于 x 轴 对称； 〔3〕如图，πα-的终边与角α的终边关于 y 轴 对称； 〔4〕如图，
2
π
α-的终边与角α的终边关于 直线y ＝x 对称；
〔5〕诱导公式：
公式二：()sin πα+=sin α-，()cos πα+=cos α-，()tan πα+=tan α； 公式三：()sin α-=sin α-，()cos α-=cos α，()tan α-=tan α-； 公式四：()sin πα-=sin α，()cos πα-=cos α-，()tan πα-=tan α-；
公式五：sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos α，cos 2πα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭sin α；
公式六：sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos α，cos 2πα⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
sin α-．
2．预习自测
1.以下选项错误的选项是〔 〕
A.利用诱导公式二可以把第三象限的三角函数化为第一象限的三角函数.
B.利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数.
C. sin cos 2παα⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭.
D.假设α为第四象限角，那么sin cos 2παα⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭.
答案：C. 〔二〕课堂设计 1．知识回忆
〔1〕任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？ 在角α的终边上任取一点(),P x y ，那么22
sin x y α=
+，22
cos x y α=
+，tan y x
α=
. 当P 为角α的终边和单位圆的交点时，有sin α=y ，cos α=x ，tan y x
α=. 〔2〕诱导公式一：
()()()sin 2sin ;cos 2cos ;tan 2tan ,k k k k Z
+⋅=+⋅=+⋅=∈απααπααπα
〔3〕终边一样的角的同名三角函数值相等，即公式一.利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值. 对于任何一个[)0,2π内的角β，以下四种情况有且只有一种成立：
0,2,23,232,22παβππαβπβππαβπππαβπ⎧⎡⎫
∈⎪
⎪⎢⎣⎭⎪
⎪⎡⎫-∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪+∈⎪⎢⎪⎣⎭
⎪
⎡⎫
⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩
，当，当，当，当
〔其中α为锐角〕
所以，我们研究πα-，πα+，2πα-与α的同名三角函数即可. 2．问题探究
探究一 角πα+与角α之间的关系
●活动① 结合图象，探究角πα+与角α终边之间的关系
结合图象考虑：
①锐角α的终边与πα+角的终边位置关系如何？ ②它们与单位圆的交点的位置关系如何？
③任意角α与πα+呢？
引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论：
①无论α为锐角还是任意角，πα+的终边都是α的终边的反向延长线； ②角的终边与单位圆的交点关于原点对称.
●活动② 结合定义，辨析角πα+与角α三角函数之间的关系
设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为()1,P x y ，由对称可知，角πα+的终边与单位圆的交点坐标为()2,P x y --.由三角函数的定义得： sin y α=，
cos x α=， tan y
x
α=
；
()sin y πα+=-，
()cos x πα+=-，
()tan y x
πα+=
. 从而，我们得到诱导公式二：
()sin sin παα+=-， ()cos cos παα+=-，
()tan tan παα+=.
探究二 角α-、πα-与角α之间的关系
●活动① 结合图象，探究角α-、πα-与角α终边之间的关系
结合图象考虑：
①任意角α-、πα-的终边与角α的终边位置关系如何？ ②它们与单位圆的交点的位置关系如何？ 引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论：
①任意角α-的终边与任意角α的终边关于x 轴对称，与单位圆的交点也关于x 轴对称；
②任意角πα-角的终边与角α的终边关于y 轴对称，与单位圆的交点也关于y 轴对
称.
●活动② 类比探究一，辨析角α-、πα-与角α三角函数之间的关系 引导学生类比探究一的方法，得到： 公式三：
()sin sin αα-=-， ()cos cos αα-=，
()tan tan αα-=-.
公式四：
()sin sin παα-=， ()cos cos παα-=-，
()tan tan παα-=-.
探究三 理解公式的内涵及构造特征 ●活动① 互动交流、初步理论
引导学生观察分析公式三的特点，得出公式四的用处：可将求角πα-的三角函数值转化为求角α的三角函数值.
~四：()2k k Z απ+⋅∈，α-、πα±的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
进一步简记为：“函数名不变，符号看象限〞 . 点拨、引导学生注意公式中的α是任意角. ●活动② 稳固根底，理解升华 例1 利用公式求以下三角函数值. 〔1〕cos 225︒；
〔2〕11sin
3
π
； 〔3〕16sin 3π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
；
〔4〕()cos 2040-︒.
【知识点】公式一~四． 【数学思想】化归思想 【解题过程】
解：〔1〕()2
cos 225cos 180+45cos 45︒=︒︒=-︒=-； 〔2〕113sin
sin 4sin 333ππππ⎛
⎫=-=-=- ⎪⎝⎭
． 〔3〕16163sin sin sin 5sin 3333πππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-
=-=-+=--= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭； 〔4〕()()1
cos 2040cos2040cos120cos 18060cos602
-︒=︒=︒=︒-︒=-︒=-． 【思路点拨】利用公式一~四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数． 【答案】〔1〕2-
；〔2〕3-；〔3〕3；〔4〕1
2
-． 通过例1运用讲解，引导学生归纳，任意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般步骤：
变式训练 1+2sin 290cos 430︒︒
【知识点】公式一~四． 【数学思想】 【解题过程】 1+2sin 290cos 430︒︒
()()1+2sin 36070cos 36070︒-︒︒+︒
12sin 70cos70-︒︒
= cos 70sin 70cos 70sin 70︒-︒=
︒-︒
1=-．
【思路点拨】利用公式一~四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
【答案】1-
探究四 角
2
π
α±与角α之间的关系 ●活动① 探究角2
π
α-与角α之间的关系
设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为()1,P x y ．由于角2
π
α-的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称，角
2
π
α-的终边与单位圆的交点2P 与点1P 关于直线y ＝x 对称，因此点()2,P y x ，从而有： cos x α=，
sin y α=；
cos 2y πα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭，
sin 2x πα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
． 所以得到公式五：
sin cos 2παα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
． ●活动② 探究角
2
π
α+与角α之间的关系 我们可以类比探究2πα-与角α三角函数之间的关系，进展角2
π
α+与角α之间
关系的探究．另一方面，由于2
2
ππαπα⎛⎫
+=-- ⎪⎝⎭
，是否可以结合公式四及公式五推
导出角
2
π
α+与角α三角函数之间关系呢？请学生进展推导． 可以得到公式六：
sin cos 2παα⎛⎫
+= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
．
我们可以用下面一段话来概括公式五、六：正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． 进一步可以简记为：函数名改变，符号看象限．
●活动③ 探究角
32π
α-与角α之间的关系 例2 证明：〔1〕3sin cos 2παα⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭； 〔2〕3cos sin 2παα⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
【知识点】诱导公式四、五． 【数学思想】 【解题过程】 证明：〔1〕3sin sin sin cos 222πππαπααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=+-=--=-
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦； 〔2〕3cos cos cos sin 222πππαπααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=+-=--=-
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦． 【思路点拨】将
32πα-变形为2ππα⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
利用公式四、五进展转化． 【答案】〔1〕cos α- ；(2) sin α-．
学了六组诱导公式及上例的结果后,能否进一步归纳概括诱导公式．
诱导公式一~四，函数名称不改变，这些公式左边的角分别是()2k k Z πα+∈，πα±，α-〔可看作0α-〕
．其中2k π，π，0是横坐标轴上的角，因此，上述公式可归结为横坐标轴上的角α±，函数名称不改变．而公式五、六及上面的例2，这些公式左边的角分别是
2π
α±，
32πα-，其中2π，
32
π
是纵坐标轴上的角，因此这些公式可归结为纵坐标上的角α±，函数名称要改变．两类诱导公式的符号的考察是一致的，故而所有的诱导公式可用十个字来概括：纵变横不变，符号看象限． ●活动④ 灵敏应用，融会贯穿 例3 化简
()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2a a πππαπααπππαπαα⎛⎫⎛⎫
-++- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎛⎫
----+ ⎪
⎝⎭
．
【知识点】诱导公式一~六．
【数学思想】 【解题过程】
解：()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2a a πππαπααπππαπαα⎛⎫⎛⎫
-++- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=
⎛⎫
----+ ⎪
⎝⎭ ()()()()()()sin cos sin cos 52cos sin sin sin 42π
αααπαπαπαπαπα⎡⎤⎛⎫---+-
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=
⎡⎤
⎛⎫---+++⎡⎤ ⎪⎢⎥
⎣⎦⎝⎭⎣
⎦ ()()2sin cos cos 2cos sin sin sin 2παααπαααα⎡⎤
⎛⎫--- ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦=⎛⎫
---+⎡⎤ ⎪
⎣⎦⎝⎭
sin tan cos α
αα
=-
=-． 【思路点拨】合理利用诱导公式，抓住“负化正，大化小，化到锐角终了〞的原那么．
【答案】tan α- 变式训练
()cos 16m m πα⎛⎫-=≤ ⎪⎝⎭，求2sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭
的值． 【知识点】诱导公式六． 【数学思想】 【解题过程】 解：∵2362πππαα⎛⎫---= ⎪⎝⎭，∴2326πππαα⎛⎫
-=+- ⎪⎝⎭
∴2sin 3πα⎛⎫-
⎪⎝⎭=sin 26
ππα⎡⎤
⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=cos 6m πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 【思路点拨】当两个角的和或差是2
π
的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公式联络起来． 【答案】m 3. 课堂总结
①有关角的终边对称性
1)πα+的终边与角α的终边关于原点对称；
2)πα-的终边与角α的终边关于y 轴对称； 3)α-的终边与角α的终边关于x 轴对称； 4)
2
π
α-的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称．
②利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角终了〞 ． ③纵变横不变，符号看象限． 〔三〕课后作业 根底型 自主打破 1．= 210sin 〔 〕 A ．
2
3
B ．2
1
C ．2
3-
D ．2
1-
【知识点】诱导公式． 【数学思想】化归思想．
【解题过程】2
1
30sin )30180sin(210sin -=-=+= ．
【思路点拨】根据诱导公式求值． 【答案】D ．
2．=-)240cos( 〔 〕 A ．
2
3
B ．2
1
C ．2
3-
D ．2
1-
【知识点】诱导公式． 【数学思想】化归思想．
【解题过程】2
1
60cos )60180cos(240cos )240cos(-=-=+==- ．
【思路点拨】根据诱导公式求值． 【答案】D ． 3． =67cos π
〔 〕 A ．
2
3
B ．2
1
C ．2
3-
D ．2
1-
【知识点】诱导公式．
【数学思想】化归思想． 【解题过程】2
36cos )6cos(67cos -=-=+=ππππ． 【思路点拨】根据诱导公式求值．
【答案】C ．
4．=-
)411tan(π〔 〕 A ．22 B ．1 C ．22- D ．1-
【知识点】诱导公式．
【数学思想】化归思想． 【解题过程】14
tan )4tan(45tan )4114tan()411tan(==+==-=-πππππππ． 【思路点拨】根据诱导公式求值．
【答案】B ．
5．假设53)2sin(=+απ
,那么_________)2
sin(=-απ． 【知识点】诱导公式．
【数学思想】化归思想． 【解题过程】因为3sin()cos 25παα+==．所以3sin()cos 25
παα-==． 【思路点拨】根据诱导公式求值． 【答案】35
．
6．角θ终边上的一点)2,1(-P ，那么_______)450sin(=+θ ．
【知识点】任意角的三角函数定义、诱导公式．
【数学思想】化归思想．
【解题过程】sin(450)sin(90)cos
θθθ+=+==
= 【思路点拨】根据诱导公式求值．
【答案】
才能型 师生共研
7．13
5)2cos(-=+απ
，那么_____________)sin(=+απ． 【知识点】同角三角函数关系、诱导公式．
【数学思想】化归思想．
【解题过程】
方法一：由135sin )2cos(-
=-=+ααπ，得13
5sin =α，所以135sin )sin(-=-=+ααπ； 方法二：135)2cos()22sin()sin(-=+=++=+απαππαπ； 【思路点拨】根据诱导公式求值． 【答案】13
5-
． 8．32)3cos(=+απ，那么_____________)6sin(=-απ． 【知识点】同角三角函数关系、诱导公式．
【数学思想】化归思想． 【解题过程】32)3cos()3(2sin )6sin(=+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=-απαππαπ； 【思路点拨】观察
απ+3与απ-6关系，根据诱导公式求值． 【答案】32．
探究型 多维打破
9．现有以下三角函数：
①()N n n ∈+)34sin(ππ；②()N n n ∈+)32sin(ππ；③()N n n ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+6)12(sin ππ； ④()N n n ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+3)12(sin ππ.其中函数值与3sin π的值一样的序号是_______． 【知识点】诱导公式．
【数学思想】化归思想．
【解题过程】
①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+为奇数，为偶数n n n 2
3,23)34sin(ππ；②233sin )32sin(==+πππn ； ③2165sin 6)12(sin ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+πππn ；④2332sin 3)12(sin ==⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+πππn ． 【思路点拨】奇变偶不变，符号看象限．
【答案】②④．
10．角α是第三象限角，且)sin()tan()tan()2cos()sin()(αππαπααπαπ----+--=
a f . (1)化简)(αf ；
(2)假设51)sin(=
-πα，求)(αf 的值; (3)假设πα6
17-=，求)(αf 的值; 【知识点】同角三角函数关系、诱导公式．
【数学思想】化归思想．
【解题过程】
〔1〕sin cos tan ()cos tan sin f ααααααα
==--； 〔2〕因为51sin )sin(=-=-απα，所以5
1sin -=α，因为角α是第三象限角， 所以5
62sin 1cos )(2-=--=-=αααf ； 〔3〕2
365cos )617cos(cos )(=-=--=-=ππααf ． 【思路点拨】先化简，再求值． 【答案】〔1〕()cos f a α=-；〔2
〕；〔3
自助餐
1．1)cos()2cos()(sin 2+-+-+ααπαπ的值为〔 〕 A ．1 B ．α2sin 2 C ．0 D ．2
【知识点】诱导公式、同角三角函数关系．
【数学思想】化归思想．
【解题过程】αααααπαπ2222sin 21cos sin 1)cos()2cos()(sin =+-=+-+-+．
【思路点拨】化简．
【答案】B ．
2．2)tan(-=-απ，那么=+α2cos 11
〔 〕
A ．3-
B ．21
C ．2
D ．
65
【知识点】诱导公式、同角三角函数关系．
【数学思想】化归思想．
【解题过程】因为2tan )tan(-=-=-ααπ，
所以2tan =α，65
2tan 1
tan cos 2sin cos sin cos 11
2222222=++=++=+αααα
αa a
【思路点拨】1与αα22cos sin +转化．
【答案】D ．
3．_____89sin 88sin 45sin 2sin 1sin 22222=++++ ．
【知识点】同角三角函数关系、诱导公式．
【数学思想】化归思想
【解题过程】 89sin 88sin 45sin 2sin 1sin 22222++++
1cos 2cos 45sin 2sin 1sin 22222++++=25
21
2=+=．
【思路点拨】观察 1与 89关系． 【答案】25
．
4．化简：)3cos()3sin(21+-+ππ ．
【知识点】诱导公式、同角三角函数关系、三角函数符号判断．
【数学思想】化归思想
【解题过程】
3cos 3sin 3cos 3sin 23cos 3sin 3cos 3sin 21)3cos()3sin(2122-=-+=-=+-+ππ 因为03cos ,03sin <>，所以原式=3cos 3sin -
【思路点拨】诱导公式化简、1的转化、符号的判断．
【答案】3cos 3sin -．
5．x x f 3cos )(sin =，求)10(cos f ．
【知识点】诱导公式．
【数学思想】化归思想
【解题过程】
[]
2160cos )60180cos(240cos )80(sin )8090cos()10(cos -=-=+===-= f f f ． 【思路点拨】关键在于利用诱导公式 10cos 转化 80sin ． 【答案】21-
．。