专题06 一元二次方程及其解法(二)-配方法(解析版)

九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练
专题06 一元二次方程-配方法
典例解读
【典例1】解方程：x2+4x﹣1=0．
【点拨】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．
【解析】
解：∵x2+4x﹣1=0
∴x2+4x=1
∴x2+4x+4=1+4
∴（x+2）2=5
∴x=﹣2±
∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
【总结】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
【典例2】用配方法解方程：2x2﹣12x﹣2=0．
【点拨】首先将二次项系数化为1，再将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解析】解：2x2﹣12x﹣2=0，
系数化为1得：x2﹣6x﹣1=0，
移项得：x2﹣6x=1，
配方得：x2﹣6x+9=10，即（x﹣3）2=10，
开方得：x﹣3=±10，
则x 1=3+10，x 2=3﹣10．
【总结】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．
【典例3】若代数式22
1078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）
Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数
【答案】B ；
【解析】（作差法）2
2
2
2
1078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++
2222107851a b a a b a =+-+----
29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．
【总结】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而
比较出大小.
【典例4】用配方法证明2
1074x x -+-的值小于0． 【点拨】
本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致． 【解析】
2
2
271074(107)410
410x x x x x x ⎛⎫
-+-=-+-=--- ⎪⎝
⎭
2
7494910410400400x x ⎛
⎫=--
+-- ⎪⎝
⎭
2
74910420400x ⎡⎤
⎛⎫=---
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
22
74971111041020402040x x ⎛⎫⎛
⎫=--+-=---
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭． ∵ 2710020x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴ 2
71111002040x ⎛
⎫---
< ⎪⎝⎭
， 即2
10740x x -+-<．故2
1074x x -+-的值恒小于0．
【总结】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明．
【典例5】用配方法证明：二次三项式﹣8x 2
+12x ﹣5的值一定小于0．
【解析】
解：﹣8x 2
+12x ﹣5=﹣8（x 2
﹣x ）﹣5
=﹣8[x 2
﹣x+（）2
]﹣5+8×（）2
=﹣8（x ﹣）2
﹣， ∵（x ﹣）2
≥0， ∴﹣8（x ﹣）2≤0， ∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0， 即﹣8x 2
+12﹣5的值一定小于0．
【总结】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．
【典例6】若把代数式x 2
+2bx+4化为（x ﹣m ）2
+k 的形式，其中m ，k 为常数，则k ﹣m 的最大值是 ． 【答案】
4
17； 【解析】解：x 2+2bx+4
=x 2
+2bx+b 2
﹣b 2
+4 =（x+b ）2
﹣b 2
+4； ∴m=﹣b ，k=﹣b 2
+4， 则k ﹣m=﹣（b ﹣21）2+4
17． ∵﹣（b ﹣2
1）2
≤0， ∴当b=
21时，k ﹣m 的最大值是417． 故答案为：4
17
．
【总结】此题考查利用完全平方公式配方，注意代数式的恒等变形． 【典例7】已知2
2
3730216
b a a b -+-+=，求4a b - 【点拨】
解此题关键是把3716
拆成91416+ ，可配成两个完全平方式．
【解析】
将原式进行配方，得
2
291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
即22
31024a b ⎛
⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
∴ 302a -=且1
04b -=， ∴ 32a =，1
4
b =．
∴ 3131
4422422
a b -=
-=-=-． 【总结】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a ．b 的值．
【教材知识必背】
一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程
的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为
的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
教材知识链接
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 诠释：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 二、配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 诠释：
“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．
【变式1】用配方法解方程.
(1)x 2-4x-2=0； (2)x 2+6x+8=0. 【答案】(1)方程变形为x 2-4x=2． 两边都加4，得x 2-4x+4=2+4．
精准变式题
利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2
=6． 解这个方程，得x-2=
或x-2=-． 于是，原方程的根为x=2+
或x=2-．
(2)将常数项移到方程右边x 2+6x=-8． 两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x 2+6x+32=-8+32，
∴ (x+3)2
=1．
用直接开平方法，得x+3=±1， ∴ x=-2或x=-4． 【变式2】用配方法解方程 （1）
（2）20x px q ++=
【答案】（1）2
235x x +=
2253x x -=-
2
53
22x x -
=- 2
225535()()2424x x -+=-+
251
()416x -=
51
44x -=±
123
,12
x x ==.
（2）2
0x px q ++=
222()()22
p p
x px q ++=-+
224()24
p p q
x -+=
①当2
40p q -≥时，此方程有实数解，
221244p p q p p q
x x -+----==
②当240p q -＜时，此方程无实数解.
【变式3】求代数式 x 2
+8x+17的最小值 【答案】x 2
+8x+17= x 2
+8x+42
-42
+17=（x+4）2
+1 ∵（x+4）2
≥0，
∴当（x+4）2
=0时，代数式 x 2
+8x+17的最小值是1.
【变式4】试用配方法证明：代数式2
23x x -+的值不小于238
． 【答案】 22123232x x x x ⎛⎫-+=-
+ ⎪⎝⎭
22
211123244x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
2
1123416x ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
2
112348x ⎛
⎫=--+ ⎪⎝⎭
2
123248x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．
∵ 21204x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴ 2
123232488x ⎛
⎫-+≥ ⎪⎝
⎭．
即代数式2
23x x -+的值不小于
23
8
． 【变式5】（1）
的最小值是 ；（2）
的最大值是 .
【答案】（1）2
2
2
2
22
3
33
15
2632(3)323()()32()2222x x x x x x x ⎡
⎤
+-=+-=++--=+-⎢⎥⎣⎦；
所以
的最小值是15
2
-
（2）22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x -++=--+=--+-+=--+
所以的最大值是9.
1. 用配方法解一元二次方程x 2
+4x ﹣3=0时，原方程可变形为（ ） A ．（x+2）2
=1 B ．（x+2）2
=7 C ．（x+2）2
=13 D ．（x+2）2
=19 【答案】B ．
【解析】x 2
+4x=3，x 2
+4x+4=7，（x+2）2
=7． 2．下列各式是完全平方式的是（ ）
A ．277x x ++
B ．2
44m m -- C ．2
11
216
n n +
+ D ．222y x -+ 【答案】C ；
【解析】2
11216n n ++2
14n ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
．
3．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A ．22990x x --=化为2
(1)100x -= B ．22740t t --=化为2
781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
C ．2
890x x ++=化为2(4)25x += D ．2
3420x x --=化为2
21039x ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭
【答案】C ；
【解析】选项C ：2
890x x ++=配方后应为2
(4)7x +=．
4．把一元二次方程x 2﹣6x+4=0化成（x+n ）2
=m 的形式时，m+n 的值为（ ） A ．8 B ．6 C ．3 D ．2 【答案】D ；
【解析】 x 2
﹣6x=﹣4，∴ x 2
﹣6x+9=﹣4+9，即得（x ﹣3）2
=5，∴ n=﹣3，m=5， ∴ m+n=5﹣3=2．故选D ．
5．不论x 、y 为何实数，代数式2
2
247x y x y ++-+的值 ( )
A ．总小于2
B ．总不小于7
C ．为任何实数
D ．不能为负数 【答案】D ；
【解析】2
2
2
2
247(1)(2)22x y x y x y ++-+=++-+≥．
综合提升变式练
6．若x 2+6x+m 2
是一个完全平方式，则m 的值是（ ）
A ．3
B ．-3
C ．3±
D ．以上都不对 【答案】C ；
【解析】 若x 2
+6x+m 2
是一个完全平方式，则m 2
=9,解得m=3±； 7．用配方法将二次三项式a 2
-4a+5变形，结果是（ ）
A ．（a-2）2
+1 B ．（a+2）2
-1 C ．（a+2）2
+1 D ．（a-2）2
-1 【答案】A ；
【解析】a 2
-4a+5= a 2
-4a+22
-22
+5=（a-2）2
+1 ； 8．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ）
A ．（x-2）2
=7 B ．（x+2）2
=21 C ．（x-2）2
=1 D ．（x+2）2
=2 【答案】C ；
【解析】方程x 2
+3=4x 化为x 2
-4x=-3，x 2
-4x+22
=-3+22
，（x-2）2
=1. 9．用配方法解方程x 2
+4x=10的根为（ ）
A ．2．-2．．【答案】
B ；
【解析】方程x 2
+4x=10两边都加上22
得x 2
+4x+22
=10+22
，x=-2
10．（1）x 2+4x+ =（x+ ）2；（2）x 2-6x+ =（x- ）2；（3）x 2+8x+ =（x+ ）2
. 【答案】（1）4；2； （2）9；3； （3）16；4. 【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.
11．用配方法将方程x 2-6x+7=0化为（x+m ）2
=n 的形式为 ． 【答案】（x ﹣3）2
=2．
【解析】移项，得x 2﹣6x=﹣7，在方程两边加上一次项系数一半的平方得，x 2
﹣6x+9=﹣7+9， （x ﹣3）2
=2．
12．若22
6x x m ++是一个完全平方式，则m 的值是________． 【答案】±3；
【解析】22
39m ==．∴ 3m =±.
13．求代数式2x 2
-7x+2的最小值为 .
【答案】-
33
8；
【解析】∵2x 2
-7x+2=2（x 2
-
72x ）+2=2（x-74）2-338≥-338，∴最小值为-338
，
14．当x= 时，代数式﹣x 2
﹣2x 有最大值，其最大值为 ． 【答案】-1,1
【解析】∵﹣x 2﹣2x=﹣（x 2+2x ）=﹣（x 2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2
+1，
∴x=﹣1时，代数式﹣x 2
﹣2x 有最大值，其最大值为1； 故答案为：﹣1，1．
【解析】 -3x 2
+5x+1=-3（x-56）2+3712≤3712
，• ∴最大值为
3712
． 15. 用配方法解方程 （1） （2）
221
233
x x += 【解析】 （1）
x 2
-4x-1=0 x 2
-4x+22
=1+22
(x-2)2
=5 x-2=5± x 1=2+5
x 2=2-5(2)
221
233
x x += 226x x +=
2
1
3
2
x x += 2
22111()3()
244
x x ++=+ 2149
()416
x +=
17
44 x+=±
13 2
x=
22
x=-
16. 用配方法解方程.
（1）解方程：x2﹣2x=4．（2）解方程：x2﹣6x﹣4=0．
【解析】
解：（1）配方x2﹣2x+1=4+1
∴（x﹣1）2=5
∴x=1±
∴x1=1+，x2=1﹣．
解方程：x2﹣6x﹣4=0．
（2）解：移项得x2﹣6x=4，
配方得x2﹣6x+9=4+9，
即（x﹣3）2=13，
开方得x﹣3=±，
∴x1=3+，x2=3﹣．
17．当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．【解析】
解：x2+4x+4y2﹣4y+1
=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4
=（x+2）2+（2y﹣1）2﹣4，
又∵（x+2）2+（2y﹣1）2的最小值是0，
∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4．
∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．
18. 已知a2+b2﹣4a+6b+13=0，求a+b的值．
【解析】
解：∵a2+b2﹣4a+6b+13=0，
∴a2﹣4a+4+b2+6b+9=0，
∴（a ﹣2）2+（b+3）2=0，
∴a ﹣2=0，b+3=0，
∴a=2，b=﹣3，
∴a+b=2﹣3=﹣1．
19．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且2226810500a b c a b c ++---+=．
(1)求a ，b ，c 的值；
(2)判断三角形的形状．
【解析】
（1）由2226810500a b c a b c ++---+=，得222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=
又2(3)0a -≥，2(4)0b -≥，2(5)0c -≥，
∴ 30a -=，40b -=，50c -=，
∴ 3a =，4b =，5c =．
（2）∵ 222345+= 即222a b c +=，
∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形．。