椭圆的基本概念专题

椭圆
题型一、椭圆的定义
1、设P 是椭圆116
252
2=+y x 上的一点，21,F F 是椭圆的两个焦点，则=+21PF PF ( ) A 、10 B 、8 C 、5 D 、4
2、椭圆22
x y 110036
+=上一点P 到左焦点的距离是6.5，则到右焦点的距离是
3、椭圆x 225＋y 29
＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( ) A ．2 B ．4 C ．8 D.32
4、已知两个定点12,F F ，且128F F =，动点M 满足条件128
MF MF +=，则动点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆
B ．圆
C ．直线
D ．线段
5、方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是
6、已知12F F 、为椭圆2
21259
y x +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若1222=+B F A F ，则AB =______________。

7、如图，把椭圆2
212516
y x +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则
1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=
题型二、椭圆的标准方程
例2、根据下列方程，分别求出椭圆中 a,b,c 的值。

（1）椭圆22
22146
x y +=， 则a= ,b= ,c= 。

（2）椭圆152
2
=+y x 则a= ,b= ,c= 。

（3）椭圆 822
2=+y x 则a= ,b= ,c= 。

1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a ＝4，b ＝3，焦点在x 轴上； (2)a ＝5，c ＝2，焦点在y 轴上．
2、求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两焦点坐标分别为(－4,0)和(4,0)且过点(5,0)；
(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点．
3、求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1) 两焦点的坐标分别是()()4,0,4,0-,椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于10;
(2) 两个焦点分别是()()122,0,2,0F F -,且椭圆经过点53,22P ⎛⎫-
⎪⎝⎭
4、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点分别为(0,2)-，(0,2)，且经过点；
（2）经过点，；
（3）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；
（4）经过点(3,0)，且离心率e = （5）经过点(3,2)M -，且与椭圆22194
x y +=有相同的焦点； （6）经过点(1,2)N ，且与椭圆221126
x y +=有相同的离心率．
5、求与椭圆22
4936x y +=共焦点，且过点(3,2)-的椭圆方程。

6、中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．
题型三、椭圆的判断
例3、对于方程22
1610x y m m
+=+-， （1）若该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为________________； （2）若该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为________________； （3）若该方程表示椭圆，则实数m 的取值范围为________________．
1、方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的条件是（ ）
（A ）A , B 同号且A ≠B （B ）A , B 同号且C 与异号（C ）A , B , C 同号且A ≠B （D ）不可能表示椭圆
2、若方程22
153
x y k k +=--， （1）表示圆，则实数k 的取值是 .
（2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 .
（3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 .
（4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 .
题型四、焦点三角形
例4、已知F 1，F 2是椭圆22
143
x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上．
（1）若点P 到焦点F 1的距离等于1，则点P 到焦点F 2的距离为________________； （2）过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，则2ABF △的周长为________________；
（3）若12120PF F =︒∠，则点P 到焦点F 1的距离为________________．
1、椭圆x 216＋y 225
＝1的两焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 1的周长为________．
2、若椭圆的两焦点为()()124,0,4,0F F -,椭圆的弦AB 过21F ABF ∆，的周长20,求该椭圆的方程。

3、已知焦点在x 轴上的椭圆),0(,1422
2>=+b b
y x F 1,F 2是它的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得→
→=⋅021PF PF ，则b 的取值范围是 。

4、椭圆14
92
2=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是________
5、已知P 是椭圆14
52
2=+y x 上一点，F 1和F 2是焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△PF 1F 2的面积为_____ 6、椭圆22
1925
x y +=的焦点为1F 、2F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF ∆的周长是 。

7、设点P 是椭圆22
12516
x y +=上的一点，12,F F 是焦点，若12F PF ∠是直角，则12F PF ∆的面积为 。

8、已知椭圆14416922=+y x ，焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点． 若︒=∠6021PF F ， 求21F PF ∆的面积．
9、设1F ，2F 为椭圆400251622=+y x 的焦点，P 为椭圆上的任一点，则21F PF ∆的周长是多少？21F PF ∆的面积的最大值是多少？
题型五、求轨迹方程（定义法、相关点法）
例5、已知B 、C 是两个定点, |BC | ＝6, 且△ ABC 的周长等于16, 求顶点A 的轨迹方程。

110=指出它所表示的曲线
2、已知B 、C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长为18，求这个三角形顶点A 的轨迹方程．
3、已知定圆221:40C x y x ++=,圆222:4600C x y x +--=,动圆M 和定圆1C 外切和圆2C 内切,求动圆的圆心M 的轨迹方程
4、已知圆22:(1)1M x y ++=,圆22
:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆
心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程。

5、已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，求点M 的轨迹方程.
6、若点M 在DP 的延长线上，且
32
DM DP =，则点M 的轨迹又是什么？
7、设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49
-，求点M 的轨迹方程 ．
8、设A 、B 是椭圆x 225＋y 216
＝1与x 轴的左、右两个交点，P 是椭圆上一个动点，试求AP 中点M 的轨迹方程．
9、在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？
10、已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，垂足为P ′，点M 在PP ′上，
并且PM →＝2MP →
，求点M 的轨迹．
11、求到定点()2,0A 与到定直线8x =的动点的轨迹方程．。