2017-2018届海淀区初三第一学期期末数学试卷和答案

考
生 海淀初三第一学期期末学业水平调研
数
学
2018． 1
学校 姓名
准考证号
1．本试卷共 8 页，共三道大题， 28 道小题，满分 100 分。

考试时间 120 分钟。

2．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、班级和准考证号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

须
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作
答。

知
5．考试结束，将本试卷、答题卡和稿本纸一并交回。

一、选择题 （本题共 16 分，每题
2 分）
第 1-8 题均有四个选项，吻合题意的选项只有一个 ．．．
1．抛物线 y
2
2 的对称轴是
x 1
A ． x
1
B ． x 1
C ． x 2
D ． x 2
2．在△ ABC 中，∠ C
90°．若 AB 3， BC 1，则 sin A 的值为
A ．
1
B ．2 2
C ．
2 2
D ． 3
3
3
B
3．如图，线段 BD ， CE 订交于点 A ， DE ∥ BC ．若 AB
4， AD 2， DE 1.5，
E
则 BC 的长为
A
A ．1
B ．2
C
D
C ．3
D ．4
4．如图，将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转
100 °，获取△ ADE ．若点 D 在线段
A
BC 的延长线上，则 B 的大小为
E
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
BC
D
5．如图，△ OAB ∽△ OCD ，OA:OC 3:2，∠ A α，∠ C β，△ OAB 与△ OCD 的面积分别是 S 1和 S 2，△OAB 与
△ OCD 的周长分别是 C 1 和 C 2 ，则以低等式必然建立的是
OB 3 3
A ．
2 B ．
CD
2
C D
O
A
B S 1 3
C 1 3
C ．
D ．
S 2
2 C 2 2
y
6．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 从（ 3，4）出发，绕点 O 顺时针
5 A M
4 旋转一周，则点 A 不经过
3
．
2
A ．点 M
1
Q
B ．点 N
O
1 2 3 4 5 6 x
–6–5–4–3–2–1
C ．点 P
–1
–2
P
D ．点 Q
–3
N
–4
–5 7．如图，反比率函数
y
k
的图象经过点
A （ ， ），当 y 1 时， x 的取值
x
4 1
范围是
A ． x 0 或 x 4
B ． 0 x
4
C ． x
4
D ． x 4
y
A
1
O
4
x
8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点 A 出发沿线段 AB 运动到点 B ，小兰
从点 C 出发，以相同的速度沿⊙ O 逆时针运动一周回到点 C ，两人的运动路线如图 1 所示，其中 AC DB ．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，此间他们与点 C 的距离 y 与时间 x （单位：秒）的对应关系如图 2 所示．则以下说法正确的选项是
y
A C
O
D
O 1.09
7.49 9.68
B
图 1
图 2
A ．小红的运动行程比小兰的长
B ．两人分别在 1.09 秒和 7.49 秒的时辰相遇
C ．当小红运动到点
D 的时候，小兰已经经过了点 D D ．在 4.84 秒时，两人的距离正好等于⊙ O 的半径
A C
O D
B
17.12 x
二、填空题 （本题共 16 分，每题 2 分）
9．方程 x 2
2x 0 的根为
．
10．已知∠ A 为锐角，且 tan A
3 ，那么∠ A 的大小是
°．
y
x=1
11．若一个反比率函数图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小，则此反比率函数表
达式可以是
．（写出一个即可）
12．如图，抛物线 y ax 2
bx c 的对称轴为 x
1 ，点 P ，点 Q 是抛物线与 x
P
x
O
轴的两个交点，若点 P 的坐标为（ 4， 0），则点 Q 的坐标为
．
13．若一个扇形的圆心角为 60°，面积为 6π，则这个扇形的半径为
．
14．如图， AB 是⊙ O 的直径， PA ，PC 分别与⊙ O 相切于点
A ，点 C ，若∠ P
60°，
PA
3，则 AB 的长为
．
B
C
O
A P
15．在同车道行驶的灵巧车，后车应当与前车保持足以采用紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆
长为 10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯 20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车随从大巴车行驶．设
小张距大巴车尾 x m ，若大巴车车顶高于小张的水平视线 0.8m ，红灯下沿高于小张的水平视线
3.2m ，若小
张能看到整个红灯，则
x 的最小值为
．
红
黄 3.2m 绿
0.8m
20m
10m
x m
交通 停止线
信号灯
16． 下面是“作一个 30 °角”的尺规作图过程．
已知：平面内一点
A ．
求作： ∠ A ，使得 ∠ A 30°．
D
作法：如图，
（1）作射线 AB ；
A
O C B
（2）在射线 AB 上取一点 O ，以 O 为圆心， OA 为半径作圆， 与射线
AB 订交于点 C ；
（ 3）以 C 为圆心， OC 为半径作弧，与 ⊙ O 交于点 D ，作射线 AD ．
∠ DAB 即为所求的角 ．
请回答： 该尺规作图的依照是
．
三、解答题 （本题共 68 分，第 17~22 题，每题
5 分；第 23~2
6 小题，每题
6 分；第 27~28 小题，每题
7
分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
．
17．计算： 2sin 30 ° 2cos 45 ° 8 ．
18．已知 x
1 是关于 x 的方程 x
2 mx 2m 2
0 的一个根，求 m(2 m 1) 的值．
19．如图，在△ ABC 中，∠ B 为锐角，
AB 3
2 ，AC
3
，求 BC 的长．
5， sin C
5
A
B
C
20．码头工人每天往一艘轮船上装载
30 吨货物，装载达成恰好用了
8 节气间．轮船到达目的地后开始卸货，记
平均卸货速度为
v （单位：吨
/天），卸货天数为
t ．
（ 1）直接写出
v 关于 t 的函数表达式：
v=
；（不需写自变量的取值范围）
（ 2）若是船上的货物
5 天卸载达成，那么平均每天要卸载多少吨？
21．如图，在△ ABC 中， ∠B 90°， AB
4， BC 2，以
AC
为边作△ ACE ，∠ACE
90°， AC=CE ，延长
BC
至点
D ，使 CD
5，连接 DE ．求证：△ ABC ∽△ CED ．
A
E
B
C
D
22．古代阿拉伯数学家泰比特
为直角，图 3 中
BAC ·伊本 ·奎拉对勾股定理进行了实行研究：
为钝角）．
如图（图 1 中
BAC 为锐角，图
2 中
BAC
A
A
A
B
C' B' C
B
B'(C') C
B B' C'C
图 1
图 2
图 3
在△ ABC 的边 BC 上取 B ， C 两点，使
AB B
AC C
BAC ，则 △ABC ∽ △B BA ∽ △C AC ，
AB AC ，进而可得 2
2
；（用 BB ， CC ， BC 表示）
BBAB
，
AB
AC
C C
AC
若 AB=4， AC=3， BC=6，则 B C
．
23．如图，函数 y
k
（ x
0 ）与 y ax
b 的图象交于点 A （ -1， n ）和点 B （ -2， 1）．
x
（ 1）求 k， a， b 的值；
（ 2）直线x m 与y k
（x 0）的图象交于点P，与y x 1的图象交于点Q，当PAQ 90 时，x
直接写出 m 的取值范围．y
A
B
O x
24．如图， A， B， C 三点在⊙ O 上，直径BD 均分∠ ABC，过点 D 作 DE ∥ AB 交弦 BC 于点 E，在 BC 的延长线上取一点 F ，使得 EF DE．
（1）求证： DF 是⊙ O 的切线；
（2）连接 AF 交 DE 于点 M ，若 AD 4， DE 5，求 DM 的长．
A
D
O
B E
C F
25．如图，在△ ABC 中，ABC 90 ， C 40 °，点 D 是线段 BC 上的动点，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转50°至AD，连接BD．已知 AB 2cm，设 BD 为 x cm， B D为 y cm．
A
D'
B D C
小明依照学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了研究，下面是小明的研究过程，
请补充完满．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）
（ 1）经过取点、画图、测量，获取了x 与y的几组值，以下表：
x / cm00.50.7 1.0 1.5 2.0 2.3
y / cm 1.7 1.3 1.10.70.9 1.1（ 2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
y
2
1
O12 3 x
（ 3）结合画出的函数图象，解决问题：
线段 BD 的长度的最小值约为__________ cm ；
若 BD BD ，则 BD 的长度x的取值范围是_____________．
26．已知二次函数y ax24ax3a ．
（ 1）该二次函数图象的对称轴是x；
（ 2）若该二次函数的图象张口向下，当1x 4 时，y的最大值是2，求当 1x 4 时，y的最小值；
（ 3）若关于该抛物线上的两点P( x1，y1 )， Q( x2， y2 ) ，当 t x1t +1， x25时，均满足 y1 y2，请结合图象，直接写出t 的最大值．
27．关于⊙ C 与⊙ C 上的一点A，若平面内的点P 满足：射线AP 与⊙ C 交于点 Q（点 Q 可以与点P 重合），且
．．
PA 1
2 ，则点 P 称为点 A 关于⊙ C 的“生长点” ．
QA
已知点 O 为坐标原点，⊙ O 的半径为 1，点 A （ -1， 0）．
（ 1）若点 P 是点 A 关于⊙ O 的“生长点”，且点 P 在 x 轴上，请写出一个吻合条件的点 P 的坐标 ________；
（ 2）若点 B 是点 A 关于⊙ O 的“生长点” ，且满足 tan BAO
1
，求点 B 的纵坐标 t 的取值范围；
2
（ 3）直线 y
3x b 与 x 轴交于点 M ，与 y 轴交于点 N ，若线段 MN 上存在点 A 关于⊙ O 的“生长点” ，
直接写出 b 的取值范围是 _____________________________ ．
y
y
5 5 4 4 3 3 2
2
1
1
A
x
A
x
O
O
–3–2–1
12345
–3–2–1 12345
–1 –1 –2 –2 –3 –3 –4 –4 –5 –5 –6
–6
28．在△ ABC 中，∠ A90°， AB AC．
（ 1）如图 1，△ ABC 的角均分线 BD ，CE 交于点 Q，请判断“QB2QA ”可否正确：________（填“是”
或“否”）；
（ 2）点 P 是△ ABC 所在平面内的一点，连接PA， PB，且 PB2PA．
①如图 2，点 P 在△ ABC 内，∠ ABP30°，求∠ PAB 的大小；
②如图 3，点 P 在△ ABC 外，连接 PC，设∠ APCα，∠ BPC β，用等式表示α，β之间的数量关
系，
并证明你的结论．
A A A
E Q D P
P
B C B C B C
图 1图 2图 3
初三第一学期期末学业水平调研
数学参照答案及评分标准2018． 1
一、选择题（本题共16 分，每题 2 分）
12345678
B A
C B
D C A D
二、填空题（本题共16 分，每题 2 分）9．0或210． 6011．y 1
（答案不唯一）12．（2， 0）
13．614． 215．10
x
16．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；
或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；
或：直径所对的圆周角为直角，sin A 1 ， A 为锐角， A 30.
2
三、解答题（本题共68 分，第 17~22 题，每题 5 分；第 23~26 小题，每题 6 分；第 27~28 小题，每题 7
分）
17．解：原式 =2122 2 2
22
=1222
=12
18．解：∵x 1 是关于x的方程x2mx 2m20 的一个根，∴ 1 m 2m2 0.
∴2m2 m 1.
∴m(2 m 1) 2m2m 1 .
19．解：作 AD⊥BC 于点 D，
∴ ∠ ADB =∠ ADC=90°.
∵ AC=5，sin C 3 ，
5
∴ AD AC sin C 3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
∴在 Rt△ACD 中，CD AC2AD 2 4 .
∵ AB 3 2，
∴在 Rt△ABD 中，BD AB 2AD 23.
∴ BC BD CD7 .
20．解：
（1）240
.
t
240
（ 2）由意，当t 5 ，v48 .
t
答：平均每天要卸48 吨.
21．明：∵∠ B=90°，AB=4，BC=2，
∴AC AB2BC2 2 5.
∵CE=AC，
∴CE 25.
∵CD=5，
∴AB AC.
CE CD
∵ ∠ B=90°，∠ ACE=90°，
∴ ∠ BAC+ ∠BCA=90°，∠ BCA+∠ DCE=90°.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
A
B C D
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
A
E
B C D ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
∴ ∠ BAC=∠DCE.
∴ △ ABC∽△ CED . 22．BC，BC，BC BB CC
11
6
23．解：
（ 1）∵ 函数y k
（ x0）的象点B（- 2，1），
k
x
1，得k 2 .
∴
2k
（ x
∵函数 y0）的象点A（ - 1， n），
x
∴ n22，点A的坐（- 1，2）.
1
∵函数 y ax b 的象点A和点B，
a b2,a1,
∴解得
b 3.
2a b 1.
（ 2）2 m0 且 m1.
24．（ 1）明：∵BD 均分∠ ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD .
∵DE∥ AB，
∴ ∠ABD=∠BDE .
∴ ∠CBD=∠BDE .
∵ED=EF，
∴ ∠EDF=∠EFD .
∵∠ EDF +∠ EFD+∠ EDB+∠ EBD=180 °，
∴ ∠BDF=∠BDE +∠EDF =90°.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
∴ OD⊥DF.⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
∵ OD 是半径，
∴ DF 是⊙ O 的切 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（2）解：接DC，
∵BD 是⊙ O 的直径，
∴ ∠BAD=∠BCD =90°.
∵∠ABD=∠CBD ，BD=BD，∴ △ABD≌△ CBD.
∴CD=AD=4， AB=BC.
∵DE=5，
A
D
M
O
B
E C F
∴CE DE
2
DC
2
3
，EF =DE=5.
∵ ∠CBD =∠BDE ，
∴BE=DE=5.
∴BF BE EF 10， BC BE EC 8.
∴ AB=8.⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分∵DE ∥AB，
∴ △ABF∽△ MEF .
∴AB BF.
ME EF
∴ME=4.
∴DM DE EM 1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
25．（ 1） 0.9.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分（ 2）如右所示 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
（ 3） 0.7，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
0 x 0.9 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
y
2
1
O12 3 x
26．解：
（1）2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（ 2）∵ 二次函数的象张口向下，且称直x 2 ，
∴当 x 2 ，y取到在 1 x 4 上的最大 2.
∴4a 8a 3a 2 .
∴ a 2 ，y2x28x 6 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
∵当 1 x 2 ，y随x的增大而增大，
∴当 x 1 ，y取到在 1 x 2上的最小 0 .
∵当 2 x 4 ，y随x的增大而减小，
∴ 当 x
4 ， y 取到在 2 x 4 上的最小
6 .
∴ 当 1 x 4 ， y 的最小 6 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
（3）4.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
27．解：
（ 1）（ 2， 0） (答案不唯一 ). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
（ 2）如 ，在 x 上方作射
AM ，与⊙ O 交于 M ，且使得 tan
OAM
1
，并在
AM 上取点 N ，使
2
AM=MN ，并由 称性，将 MN 关于 x 称，得 M N ， 由 意， 段 MN 和 M N 上的点是 足条件的点 B.
y
作 MH ⊥ x 于 H ， 接 MC ，
∴ ∠ MHA =90°，即∠ OAM+∠ AMH =90°.
∵ AC 是⊙ O 的直径，
∴ ∠ AMC =90°，即∠ AMH +∠ HMC =90°.
∴ ∠OAM=∠HMC . ∴ tan HMC tan OAM
1 .
2
N
M
A
O
H C
x
M'
N'
∴
MH HC 1.
HA
MH 2 1
y ， MH
y ， AH 2 y ， CH
2
∴ AC
AH
CH
5
y 2 ，解得 y
4
，即点 M 的 坐 4
.
2
5
8 ， 5
又由 AN 2AM ， A （ -1，0），可得点 N 的 坐
故在 段 MN 上，点 B 的 坐 t 足：
4
8 .
5
t
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
5
5
8
4
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
由 称性，在 段 M N 上，点 B 的 坐 t 足：
t
8
4 或 4 5
8 . 5
∴ 点 B 的 坐 t 的取 范 是
t t
5 5 5
5
（3）43
b
1或 1 b 4
3 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
28．解：
（1）否 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
（2）① 作 PD ⊥AB 于 D ， ∠ PDB=∠PDA=90°，
∵ ∠ ABP=30°，
A
∴ PD
1
BP .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
D
2
P
∵ PB 2PA ，
B
C
∴ PD
2
PA .
2
∴ sin
PD 2
PAB
.
PA
2
由∠ PAB 是 角，得∠ PAB=45° .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
另：作点P
关于直AB 的称点P' ，接 BP ',P'A,PP ' ，
P'BAPBA, P'ABPAB,BP' BP, AP '
AP .
∵∠ ABP=30°，
∴ P'BP 60 .
∴△ P ' BP 是等 三角形 .
∴ P'P BP .
∵ PB 2PA ，
∴ P'P
2PA .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分
∴ P'P 2 PA 2 P'A 2 .
∴ PAP' 90 .
∴
PAB 45 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
②
45 ， 明以下：
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
作 AD ⊥AP ，并取 AD=AP ， 接 DC ，DP.
∴ ∠ DAP=90°.
∵ ∠ BAC=90°，
∴ ∠BAC+∠CAP=∠DAP +∠CAP, 即 ∠BAP=∠CAD.
∵ AB=AC ， AD=AP ， ∴ △ BAP ≌△ CAD . D
1 3
A
P'
A
2
P
E
B
C
P
B C
∴
∠
1=
∠ 2
，
PB=CD.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
∵ ∠ DAP=90°， AD=AP，
∴PD2PA，∠ADP=∠APD=45°.
∵PB2PA ，
∴PD=PB=CD.
∴∠DCP=∠DPC .
∵ ∠ APCα，∠ BPCβ，
∴DPC45，12.
∴ 3 1802DPC90 2 .
∴ADP1 3 9045 .
∴45.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分。