陕西省2019年中考数学真题试题(含解析)

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2019年陕西中考数学
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.计算：()=0
3-A.1 B.0 C.3 D.3
1
-2.如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为
3.如图，OC 是∠AOB 的角平分线，l //OB,若∠1=52°，则∠2的度数为
A.52°
B.54°
C.64°
D.69°
4.若正比例函数x y 2-=的图象经过点O（a -1,4）,则a 的值为
A.-1
B.0
C.1
D.25.下列计算正确的是
A.222632a
a a =⋅ B.()242263
b a b a =-C.()222b a b a -=- D.2222a
a a =+-
6.如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D，DE⊥AB，垂足为E。

若DE=1，则BC 的长为
A.2+2
B.32+
C.2+3
D.3
7.在平面直角坐标系中，将函数x y 3=的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x 轴的交点坐标为
A.(2,0)
B.(-2,0)
C.(6,0)
D.(-6,0)
8.如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=6，若点E，F 分别在AB,CD 上，且BE=2AE，DF=2FC，G，H 分别是AC 的三等分点，则四边形EHFG 的面积为
A.1
B.23
C.2
D.4
9.如图，AB 是⊙O 的直径，EF，EB 是⊙O 的弦，且EF=EB，EF 与AB 交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F 的度数是
A.20°
B.35°
C.40°
D.55°10.在同一平面直角坐标系中，若抛物线()42122-+-+=m x m x y 与()n x n m x y ++-=32关
于y 轴对称，则符合条件的m，n 的值为
A.m=75,n=718-
B.m=5，n=-6
C.m=-1，n=6
D.m=1，n=-2
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
11.已知实数2
1-，0.16，3，π，25，34，其中为无理数的是12.若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为
13.如图，D 是矩形AOBC 的对称中心，A(0,4)，B（6，0），若一个反比例函数的图象经过点D，交AC 于点M，则点M 的坐标为
14.如图，在正方形ABCD 中，AB=8，AC 与BD 交于点O，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM=6.P 为对角线BD 上一点，则PM—PN 的最大值为
三、解答题（共78分）
15.（5分）计算：2
321-3-127-2--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯16.（5分）化简：a
a a a a a a 22482222-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-17.（5分）如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是BC 边上的高。

请用尺规作图法，求作△ABC 的外接圆。

（保留作图痕迹，不写做法）
18.（5分）如图，点A，E，F 在直线l 上，AE=BF，AC//BF，且AC=BD，求证：CF=DE
19.（7分）本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动。

校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如下图所示：
所抽取该校七年级学生四月份“读书量”的统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全上面两幅统计图，填出本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为
（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数。

20.（7分）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度。

一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示。

于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米。

已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB。

（小平面镜的大小忽略不计）
21.（7分）根据记录，从地面向上11km以内，每升高1km，气温降低6℃；又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变。

若地面气温为m（℃），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（℃）
（1）写出距地面的高度在11km以内的y与x之间的函数表达式；
（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安图中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为－26℃时，飞机距离地面的高度为7km,求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面12km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12km时，飞机外的气温。

22.（7分）现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球。

其中，A 袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球。

（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜。

请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平。

23.（8分）如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。

作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD。

（1）求证：AB=BE
（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长。

24.（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：()c x a c ax y +-+=2
经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L 关于原点O 堆成的抛物线为L '
（1）求抛物线L 的表达式
（2）点P 在抛物线L '上，且位于第一象限，过点P 作PD⊥y 轴，垂足为D。

若△POD 与△AOB 相似，求复合条件的点P 的坐标
25.（12分）
问题提出：
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座草根塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区BCDE。

根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由。

（塔A的占地面积忽略不计）
2019年陕西中考数学
四、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
26.计算：()=0
3-A.1 B.0 C.3 D.3
1
-【解析】本题考查0指数幂，)0(10
≠=a a ，此题答案为1，故选A
27.如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为
【解析】本题考查三视图，俯视图为从上往下看，所以小正方形应在大正方形的右上角，故选D
28.如图，OC 是∠AOB 的角平分线，l //OB,若∠1=52°，则∠2的度数为
A.52°
B.54°
C.64°
D.69°
【解析】∵l //OB，∴∠1+∠AOB=180°，∴∠AOB=128°，∵OC 平分∠AOB，∴∠BOC=64°，又l //OB，且∠2与∠BOC 为同位角，∴∠2=64°，故选C
29.若正比例函数x y 2-=的图象经过点O（a -1,4）,则a 的值为
B.-1 B.0
C.1
D.2
【解析】函数x y 2-=过O（a -1,4），∴4)1(2=--a ，∴1-=a ，故选A 30.下列计算正确的是B.2
2
2
632a
a a =⋅ B.(
)
2
42
2
63b a b
a =-C.()2
2
2
b
a b a -=- D.2
2
2
2a
a a =+-【解析】A 选项正确结果应为42
2632a a
=⨯+，B 选项正确结果应为249b a ，C 选项为完全
平方差公式，正确结果应为2
2
2b ab a +-，故选D
31.如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D，DE⊥AB，垂足为E。

若DE=1，则BC 的长为
A.2+2
B.32+
C.2+3
D.3
【解析】
过点D 作DF⊥AC 于F 如图所示，∵AD 为∠BAC 的平分线，且DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于F，∴DE=DF=1，在Rt△BED 中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，在Rt△CDF 中，∠C=45°，∴△CDF 为等腰直角三角形，∴CD=2DF=2，∴BC=BD+CD=22+，故选A
32.在平面直角坐标系中，将函数x y 3=的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象
与x 轴的交点坐标为B.(2,0)
B.(-2,0)
C.(6,0)
D.(-6,0)
【解析】根据函数图象平移规律，可知x y 3=向上平移6个单位后得函数解析式应为63+=x y ，此时与x 轴相交，则0=y ，∴063=+x ，即2-=x ，∴点坐标为（-2,0），故选B
33.如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=6，若点E，F 分别在AB,CD 上，且BE=2AE，DF=2FC，G，H 分别是AC 的三等分点，则四边形EHFG 的面积为A.1
B.
2
3
C.2
D.4
【解析】BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，G 、H 分别是AC 的三等分点∴E 是AB 的三等分点，F 是CD 的三等分点∴EG ∥BC 且EG ＝－1
3BC ＝2
同理可得HF ∥AD 且HF ＝－1
3
AD＝2
∴四边形EHFG 为平行四边形EG 和HF 间距离为1
S 四边形EHFG ＝2×1=2，故选C
34.如图，AB 是⊙O 的直径，EF，EB 是⊙O 的弦，且EF=EB，EF 与AB 交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F 的度数是
A.20°
B.35°
C.40°
D.55°
【解析】连接FB ，得到FOB ＝140°；∴∠FEB ＝70°∵EF ＝EB ∴∠EFB ＝∠EBF ∵FO ＝BO ，∴∠OFB ＝∠OBF ，
∴∠EFO ＝∠EBO ，∠F＝35°，故选B
35.在同一平面直角坐标系中，若抛物线()42122
-+-+=m x m x y 与()n x n m x y ++-=32
关
于y 轴对称，则符合条件的m，n 的值为B.m=
75,n=7
18- B.m=5，n=-6 C.m=-1，n=6 D.m=1，n=-2
【解析】关于y 轴对称，a ，c 不变，b 变为相反数，∴⎩⎨⎧-=+=-42312m n n m m 解之得⎩
⎨⎧-==21
n m ，
故选D
五、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）36.已知实数2
1
-
，0.16，3，π，25，34，其中为无理数的是【解析】无理数为无限不循环的小数，常见的有开方开不尽的数，本题为3
43，，含有π
或者关于π的代数式，本题为π，故本题答案为3
4
,3，π37.若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为
【解析】如图所示为正六边形最长的三条对角线，由正六边形性质可知，△AOB，△COD 为两个边长相等的等边三角形，∴AD=2AB=6，故答案为6
38.如图，D 是矩形AOBC 的对称中心，A(0,4)，B（6，0），若一个反比例函数的图象经过点D，交AC 于点M，则点M 的坐标为
【解析】如图所示，连接AB，作DE⊥OB 于E，∴DE∥y 轴，∵D 是矩形AOBC 的中心，∴D 是AB 的中点，∴DE 是△AOB 的中位线，∵OA=4，OB=6，∴DE=
21OA=2，OE=2
1
OB=3，∴D（3,2），设反比例函数的解析式为x
k
y =
，∴623=⨯=k ，反比例函数的解析式为x y 6
=
，∵AM∥x 轴，∴M 的纵坐标和A 的纵坐标相等为4，代入反比例函数得A 的横坐标为23，故M 的坐标为)4,23(39.如图，在正方形ABCD 中，AB=8，AC 与BD 交于点O，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM=6.P 为对角线BD 上一点，则PM—PN 的最大值为
【解析】
如图所示，作以BD 为对称轴作N 的对称点N '，连接N P '，根据对称性质可知，N P PN '=，∴PM-PN N M N P '≤'-PM ，当N M P ',,三点共线时，取“=”，∵正方形边长为8，
∴AC=2AB=28，∵O 为AC 中点，∴AO=OC=24，∵N 为OA 中点，∴ON=22，
∴22N C N O ='='，∴26='N A ，∵BM=6，∴CM=AB-BM=8-6=2，∴
3
1
=
''=N A N C BM CM ∴PM∥AB∥CD，∠='N CM 90°，∵∠CM N '=45°，∴△CM N '为等腰直角三角形，∴CM=M N '=2，故答案为2六、解答题（共78分）
40.（5分）计算：2
321-3-127-2--⎪
⎭
⎫
⎝⎛+⨯【解析】原式＝－2×(－3)＋3－1－4＝1＋3
41.（5分）化简：a
a a a a a a 2248222
2-+÷⎪⎭⎫
⎝⎛-++-【解析】原式＝(a ＋2)2
(a －2)(a ＋2)×a (a －2)
a ＋2
＝a
42.（5分）如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是BC 边上的高。

请用尺规作图法，求作△ABC 的外接圆。

（保留作图痕迹，不写做法）
【解析】如图所示
43.（5分）如图，点A，E，F 在直线l 上，AE=BF，AC//BF，且AC=BD，求证：CF=DE
【解析】证明：∵AE＝BF，
∴AF＝BE
∵AC∥BD，
∴∠CAF＝∠DBE
又AC＝BD，
∴△ACF≌△BDE
∴CF＝DE
44.（7分）本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动。

校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如下图所示：
所抽取该校七年级学生四月份“读书量”的统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（4）补全上面两幅统计图，填出本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为（5）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
（6）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数。

【解析】
（1）如图所示，众数为3（本）
（2）平均数=
3
6
12211835
541232121813=++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（3）四月份“读书量”为5本的学生人数=12060
6
1200=⨯
（人）45.（7分）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度。

一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示。

于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D 处安装了测量器DC，测得古树的顶端A 的仰角为45°；再在BD 的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G 处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG 方向移动，当移动带点F 时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A 的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米。

已知点F、G、D、B 在同一水平直线上，且EF、CD、AB 均垂直于FB，求这棵古树的高度AB。

（小平面镜的大小忽略不计）
【解析】：如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则CH ＝BD ，BH ＝CD ＝0.5在Rt△ACH 中，∠ACH ＝45°，∴AH ＝CH ＝BD
∴AB ＝AH ＋BH ＝BD ＋0.5
∵EF ⊥FB ，AB ⊥FB ，∴∠EFG ＝∠ABG ＝90°.由题意，易知∠EGF ＝∠AGB ，∴△EFG ∽△ABC
∴EF AB ＝FG BG 即 1.6BD ＋0.5＝
25＋BD
解之，得BD ＝17.5∴AB =17.5＋0.5＝18(m)．∴这棵古树的高AB 为18m．
46.（7分）根据记录，从地面向上11km 以内，每升高1km，气温降低6℃；又知在距离地面11km 以上高空，气温几乎不变。

若地面气温为m（℃），设距地面的高度为x （km）处的
气温为y （℃）
（3）写出距地面的高度在11km 以内的y 与x 之间的函数表达式；
（4）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安图中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为－26℃时，飞机距离地面的高度为7km,求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面12km 的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12km 时，飞机外的气温。

【解析】(1)y ＝m －6x
(2)将x ＝7，y ＝－26代入y ＝m －6x ，得－26＝m －42，∴m ＝16∴当时地面气温为16℃∵x ＝12＞11，
∴y ＝16－6×11＝－50(℃)
假如当时飞机距地面12km 时，飞机外的气温为－50℃
47.（7分）现有A、B 两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球。

其中，A 袋装有2个白球，1个红球；B 袋装有2个红球，1个白球。

（3）将A 袋摇匀，然后从A 袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（4）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B 两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜。

请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平。

【解析】：(1)共有3种等可能结果，而摸出白球的结果有2种∴P (摸出白球)＝
23(2)根据题意，列表如下：
A B
红1红2白白1(白1，红1)(白1，红2)(白1，白)白2
(白2，红1)
(白2，红2)
(白2，白)
红(红，红1)(红，红2)(白1，白)
由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色相同的结果有4种，颜色不同的结果有5种
∴P (颜色相同)＝49，P (颜色不同)＝59
∵49＜59
∴这个游戏规则对双方不公平
48.（8分）如图，AC 是⊙O 的一条弦，AP 是⊙O 的切线。

作BM=AB 并与AP 交于点M，延长MB 交AC 于点E，交⊙O 于点D，连接AD。

（3）求证：AB=BE
（4）若⊙O 的半径R=5，AB=6，求AD 的长。

【解析】(1)证明：∵AP 是⊙O 的切线，
∴∠EAM ＝90°，
∴∠BAE ＋∠MAB ＝90°，∠AEB ＋∠AMB ＝90°.
又∵AB ＝BM ，
∴∠MAB ＝∠AMB ，
∴∠BAE ＝∠AEB ，
∴AB ＝BE
(2)解：连接BC
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ABC ＝90°
在Rt△ABC 中，AC ＝10，AB ＝6，
∴BC ＝8
由(1)知，∠BAE ＝∠AEB ，
∴△ABC ∽△EAM
∴∠C ＝∠AME ，AC EM ＝BC AM
即1012＝8AM
∴AM ＝485
又∵∠D ＝∠C ，
∴∠D ＝∠AMD
∴AD ＝AM ＝485
49.（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：()c x a c ax y +-+=2
经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L 关于原点O 堆成的抛物线为L '
（3）求抛物线L 的表达式
（4）点P 在抛物线L '上，且位于第一象限，过点P 作PD⊥y 轴，垂足为D。

若△POD 与△AOB 相似，求复合条件的点P 的坐标
【解析】(1)由题意，得{9a －3(c －a )＋c ＝0c ＝－6，解之，得{a ＝－1c ＝－6，
∴L ：y =－x 2－5x －6
(2)∵点A、B 在L ′上的对应点分别为A ′(－3，0)、B ′(0，－6)
∴设抛物线L ′的表达式y ＝x 2＋bx ＋6
将A ′(－3，0)代入y ＝x 2＋bx ＋6，得b ＝－5.
∴抛物线L ′的表达式为y ＝x 2－5x ＋6
A (－3，0)，
B (0，－6)，
∴AO ＝3，OB ＝6.
设P (m ，m 2－5m ＋6)(m＞0).
∵PD ⊥y 轴，
∴点D 的坐标为(0，m 2－5m ＋6)
∵PD ＝m ，OD ＝m 2－5m ＋6
Rt△POD 与Rt△AOB 相似，
∴PD AO ＝OD BO 或PD
BO ＝OD
AO
①当PD AO ＝OD BO 时，即m 3＝m 2
－5m ＋6
6，解之，得m 1＝1，m 2＝6
∴P 1(1，2)，P 2(6，12)
②当PD
BO ＝OD
AO 时，即m
6＝m 2－5m ＋63，解之，得m 3＝3
2，m 4＝4
∴P 3(32，3
4)，P 4(4，2)
∵P 1、P 2、P 3、P 4均在第一象限
∴符合条件的点P 的坐标为(1，2)或(6，12)或(3
2，3
4)或(4，2)
50.（12分）
问题提出：
（4）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（5）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（6）如图3，有一座草根塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区BCDE。

根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由。

（塔A的占地面积忽略不计）
【解析】（1）如图记为点D所在的位置
（2）如图，∵AB=4，BC=10，∴取BC的中点O，则OB＞AB.
∴以点O 为圆心，OB 长为半径作⊙O，⊙O 一定于AD 相交于21,P P 两点，连接C P O P B P 111,,，∵∠BPC=90°，点P 不能再矩形外；
∴△BPC 的顶点P 在1P 或2P 位置时，△BPC 的面积最大
作E P 1⊥BC，垂足为E，则OE=3，∴2351=-=-==OE OB BE AP 由对称性得8
2=AP
（3）可以，如图所示，连接BD，
∵A 为□BCDE 的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，∴BD=100，∠BED=60°作△BDE 的外接圆⊙O，则点E 在优弧 BD 上，取 BED 的中点E '，连接D E B E '',则D E B E '='，且∠D E B '=60°，∴△D E B '为正三角形.
连接O E '并延长，经过点A 至C '，使C A A E '='，连接D C C B '',∵A E '⊥BD，∴四边形D C B E ''为菱形，且∠120=''E B C °
作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则A E OA O E OA EO EF '=+'=+≤∴D
E B BDE S A E BD E
F BD S '∆∆='⋅≤⋅=21
21∴22=2100sin 603(m )
BCDE BDE BC DE S S S '∆''≤=⋅︒= 菱形所以符合要求的□BCDE 的最大面积为2
m 35000。