高中数学 3.2 第3课时概率的一般加法公式课件 新人教B版必修3
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第十六页，共35页。
课堂典例讲练
第十七页，共35页。
概率的加法(jiāfǎ)公式
甲、乙等四人参加 4×100 米接力，求甲跑第一 棒或乙跑第四棒的概率．
[解析] 设事件 A 为“甲跑第一棒”，事件 B 为“乙跑第 四棒”，则 P(A)＝14，P(B)＝14.计算 P(A∩B)，记 x 为甲跑的棒 数，y 为乙跑的棒数，记为(x，y)，
概率是P3，则这个(zhège)问题解决的概率是( )
A．P1＋P2－P3
B．P1＋P2－P1P2－P3
C．P1＋P2＋P3－P1P2 D．P1P2＋P1＋P2－P3
[答案] A
[解析] 由概率的一般加法公式得这个(zhège)问题解决的概
率为P1＋P2－P3，故选A.
第二十六页，共35页。
易错疑难辨析
(4)有电脑或钢琴的概率为：P＝0.86＋0.72－0.6＝0.98. 或用对立事件求解：由于这二者都没有的只有一户，故所 求事件的概率 P＝1－510＝1－0.02＝0.98.
第二十五页，共35页。
两人独立地解决同一个问题，甲解决这个(zhè ge)问题的概
率是P1，乙解决这个(zhè ge)问题的概率是P2，两人同时解决的
第二十一页，共35页。
(3)设事件 A 为“甲住 A”，事件 B 为“乙住 A”，则 P(A)＝14， P(B)＝14.事件 A∩B 为“甲、乙均住 A”，其概率 P(A∩B)＝116.所以 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝14＋14－116＝176.
[点评] 两个事件至少(zhìshǎo)有一个发生时用概率的加法 公式求解.
1
2
3
4
5
6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
第二十七页，共35页。
一人抛掷两枚骰子，问向上一面数字至少出现一 个 5 或 6 的概率．
[错解] 错解一：含数字 5 的有 6 个，含数字 6 的有 6 个， ∴所求概率 P＝6＋ 366＝13.
错解二：设事件 A＝“含数字 5 的”，B＝“含数字 6 的”， ∴P(A)＝3116，P(B)＝3116，
第十页，共35页。
1．随机投掷两枚硬币，事件 A＝“至少一次正面朝上”，
事件 B＝“至少一次反面朝上”，则 P(A∪B)＝( )
A．32
B．12
C．1
D．0
[答案(dáàn)] C
第十一页，共35页。
[解析] P(A)＝34，P(B)＝34，P(A∩B)＝12， ∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝1； 或∵A∪B＝Ω，∴P(A∪B)＝1，选 C.
第十三页，共35页。
3．某公司所属三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4 000人，女职工1 600人；第二分厂有男职工3 000人，女职工1 400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人，如果从该公司 职工中随机抽选(chōu xuǎn)一人，求该职工为女职工或第三分厂 职工的概率．
第十四页，共35页。
第十九页，共35页。
(1)甲、乙两人各射击一次，命中率各为0.8和0.5，两人同时 命中的概率为0.4，求甲、乙两人至少有一人命中的概率；
(2)加工(jiā gōng)某一零件共需经过两道工序，各道工序互不 影响，次品率为2%和3%，已知同为次品的情况为0.06%，求加 工(jiā gōng)出来的零件的次品率；
第二十二页，共35页。
概率的一般加法公式在实际(shíjì)中的应用
一栋楼上住有 50 户人家，其中有电脑的有 43 户，有钢琴的有 36 户，这两样都没有的只有 1 户人家，试求下 列事件的概率．
(1)有电脑的； (2)有钢琴的； (3)既有电脑又有钢琴的； (4)有电脑或钢琴的．
第二十三页，共35页。
[解析] “有电脑或钢琴的”可看作事件“有电脑”和 “有钢琴”的并事件，或者看作两样都没有的对立事件．
(1)由于楼上共 50 户，有电脑的 43 户，故所求事件的概率 为4530＝0.86.
(2)有钢琴的 36 户，故所求事件的概率为3560＝0.72.
第二十四页，共35页。
(3)既有钢琴又有电脑的共 43＋36＋1－50＝30 户，故所求 事件的概率为3500＝0.6.
(2) 若 加 工 出 来 的 零 件 为 次 品 ， 则 至 少 有 一 道 工 序 产 生 次 品，如设事件A为“第一道工序出现次品”，事件B为“第二道 工序出现次品”，则“加工出来的零件是次品”为事件A∪B.所 以，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝2%＋3%－0.06%＝4.94%.
解法三：记事件 A＝“向上一面含数字 5 的”， B＝“向上一面含数字 6 的”，∴P(A)＝3116，P(B)＝3116，P(A·B) ＝326， ∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A·B)＝3116＋3116－326＝59.
第三十一页，共35页。
思想方法技巧
第三十二页，共35页。
分类讨论思想 同时抛掷红、黄两颗骰子，事件 A＝“红骰子点
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
共有 36 个结果，至少含一个数字 5 或 6 的结果有 20 个， ∴所求概率 P＝2306＝59.
第三十页，共35页。
解法二：利用对立事件求解，至少含有一个数字 5 或 6 的 对立事件是没有数字 5 和 6，没有数字 5 和 6 的结果从表中可 数出共 16 个，∴所求概率 P＝1－1366＝59.
第九页，共35页。
∴P(A∪B)＝A∪ΩB中中基包本含事基件本总事数件数 ＝m1＋mn 2－m＝mn1＋mn2－mn ＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． (1)当 A、B 为互斥事件时，∵P(A∩B)＝0， ∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (2)应用公式时，一定要把握好 A 与 B 的公共基本事件数．即 A∩B 的基本事件数．
[解析] 设 A 表示抽中女职工的事件，则 P(A)＝4 000＋1 61006＋003＋01004＋001＋405000＋800＋500＝13153； B 表示抽中第三分厂职工的事件， 则 P(B)＝80101＋305000＝11133；
第十五页，共35页。
C 表示抽中第三分厂女职工的事件，则有 C＝A∩B， 其概率为 P(C)＝P(A∩B)＝11503000＝1153. 抽中女职工或第三分厂职工的概率，即为 P(A∪B)，有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝35＋11133－5≈0.381.
数大于 3”，事件 B＝“蓝骰子点数大于 3”，求事件 A∪B＝ “至少有一颗骰子点数大于 3”的概率．
第三十三页，共35页。
[ 解 析 ] 基 本 事 件 空 间 Ω ＝ {(x ， y)|x ∈ N ， y ∈ N, 1≤x≤6,1≤y≤6}中共包含等可能发生的基本事件总数为 36 个 (可用平面直角坐标系中的点表示)A 中元素有 3×6＝18 个，B 中元素个数有 3×6＝18 个，A∩B＝{(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)， (5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}中共 9 个基本事件，
第十八页，共35页。
则共有可能结果 12 种：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)， (3,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，而甲跑第一棒， 乙跑第四棒只有一种可能(1,4)，故 P(A∩B)＝112.所以，甲跑第 一棒或乙跑第四棒的概率为：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B) ＝14＋14－112＝152.
4 思想方法技巧
3 易错疑难辨析
5 课后强化作业
第四页，共35页。
课前自主预习
第五页，共35页。
高二·一班有60%的同学参加数学竞赛，有50%的同学参加物 理竞争(jìngzhēng)，有20%的同学既参加数学竞赛，又参加物理 竞赛，求参加数学或物理竞赛的人所占的比例．
第六页，共35页。
1．事件的交(或积) 若某事件发生当且仅当____事__件_(_s_h_ìj_ià_n_)A__发_生__且__事__件_(_s_hì_ji_à_n，)B发则生 称此事件为事件A与事件B的交事件(或称积事件)，记作A∩B(或 AB)． (1)用集合(jíhé)形式表示，如图．
第七页，共35页。
(2)事件A与事件B的交事件等于(děngyú)事件B与事件A的交 事件，即A∩B＝B∩A.
例如：在投掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数大于 3}，B＝{出现的点数小于5}，则A∩B＝{出现的点数为4}．
第八页，共35页。
2．概率的一般加法公式 设 事 件 A 、 B 是 Ω 中 两 个 事 件 ， 则 P(A∪B) ＝ __P_(_A_)＋__P_(_B_)_－__P_(_A_∩_B_)_．_____ 如图所示，设事件Ω的基本(jīběn)事件总数为n，事件A、B 包含的基本(jīběn)事件的个数分别为m1、m2，事件A∩B包含的 基本(jīběn)事件数为m，易知A∪B中包含的基本(jīběn)事件数为 m1＋m2－m，
第十二页，共35页。
2．已知事件A、B，则下列(xiàliè)式子正确的是( ) A．P(A∪B)＝P(A)＋P(B) B．P(A∩B)＝P(A)－P(B) C．P(A∩B)<P(A∪B) D．P(A)＋P(B)≥P(A∪B) [答案] D [解析] ∵P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)≤P(A)＋P(B)，仅 当A∩B＝∅时取等号，A、B均错，当A＝B时，C错．
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1118.
第二十八页，共35页。
[辨析] 错解一中“含数字5的有6个，含数字6的有6个”纯 属凭空想像，没有(méi yǒu)什么依据；错解二中，事件A与B不 是互斥事件，不能应用互斥事件概率加法公式，应该用一般加法 公式．
第二十九页，共35页。
[正解] 解法一：同时抛掷两枚骰子可能结果可列表 (liè biǎo)表示如下：
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝1386＋1386－396＝34.
第三十四页，共35页。
[点评] 在写出基本事件空间中的基本事件时，若涉及的元 素较多且明显具有不同的特征时，要注意分类讨论思想的应用， 以避免基本事件发生(fāshēng)重复或遗漏．
第三十五页，共35页。
(3)甲、乙两人随机地入住A、B、C、D四个房间，求甲、乙 至少一人入住第一个房间A的概率．
第二十页，共35页。
[解析] (1)至少有一人命中，可看成(kàn chénɡ)是甲命中和 乙命中这两个事件的并事件．
设事件A为“甲命中”，事件B为“乙命中”，则“甲、乙 两人至少有一人命中”为事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B) －P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9.
成才之路 ·数学 (shùxué)
人教B版 ·必修 (bìxiū)3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一页，共35页。
概率(gàilǜ)
第三章
第二页，共35页。
3.2 古典(gǔdiǎn)概型
第3课时 概率的一般加法公式(gōngshì)( 选学)
第三章
第三页，共35页。
1 课前自主Biblioteka 习2 课堂典例讲练
课堂典例讲练
第十七页，共35页。
概率的加法(jiāfǎ)公式
甲、乙等四人参加 4×100 米接力，求甲跑第一 棒或乙跑第四棒的概率．
[解析] 设事件 A 为“甲跑第一棒”，事件 B 为“乙跑第 四棒”，则 P(A)＝14，P(B)＝14.计算 P(A∩B)，记 x 为甲跑的棒 数，y 为乙跑的棒数，记为(x，y)，
概率是P3，则这个(zhège)问题解决的概率是( )
A．P1＋P2－P3
B．P1＋P2－P1P2－P3
C．P1＋P2＋P3－P1P2 D．P1P2＋P1＋P2－P3
[答案] A
[解析] 由概率的一般加法公式得这个(zhège)问题解决的概
率为P1＋P2－P3，故选A.
第二十六页，共35页。
易错疑难辨析
(4)有电脑或钢琴的概率为：P＝0.86＋0.72－0.6＝0.98. 或用对立事件求解：由于这二者都没有的只有一户，故所 求事件的概率 P＝1－510＝1－0.02＝0.98.
第二十五页，共35页。
两人独立地解决同一个问题，甲解决这个(zhè ge)问题的概
率是P1，乙解决这个(zhè ge)问题的概率是P2，两人同时解决的
第二十一页，共35页。
(3)设事件 A 为“甲住 A”，事件 B 为“乙住 A”，则 P(A)＝14， P(B)＝14.事件 A∩B 为“甲、乙均住 A”，其概率 P(A∩B)＝116.所以 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝14＋14－116＝176.
[点评] 两个事件至少(zhìshǎo)有一个发生时用概率的加法 公式求解.
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1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
第二十七页，共35页。
一人抛掷两枚骰子，问向上一面数字至少出现一 个 5 或 6 的概率．
[错解] 错解一：含数字 5 的有 6 个，含数字 6 的有 6 个， ∴所求概率 P＝6＋ 366＝13.
错解二：设事件 A＝“含数字 5 的”，B＝“含数字 6 的”， ∴P(A)＝3116，P(B)＝3116，
第十页，共35页。
1．随机投掷两枚硬币，事件 A＝“至少一次正面朝上”，
事件 B＝“至少一次反面朝上”，则 P(A∪B)＝( )
A．32
B．12
C．1
D．0
[答案(dáàn)] C
第十一页，共35页。
[解析] P(A)＝34，P(B)＝34，P(A∩B)＝12， ∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝1； 或∵A∪B＝Ω，∴P(A∪B)＝1，选 C.
第十三页，共35页。
3．某公司所属三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4 000人，女职工1 600人；第二分厂有男职工3 000人，女职工1 400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人，如果从该公司 职工中随机抽选(chōu xuǎn)一人，求该职工为女职工或第三分厂 职工的概率．
第十四页，共35页。
第十九页，共35页。
(1)甲、乙两人各射击一次，命中率各为0.8和0.5，两人同时 命中的概率为0.4，求甲、乙两人至少有一人命中的概率；
(2)加工(jiā gōng)某一零件共需经过两道工序，各道工序互不 影响，次品率为2%和3%，已知同为次品的情况为0.06%，求加 工(jiā gōng)出来的零件的次品率；
第二十二页，共35页。
概率的一般加法公式在实际(shíjì)中的应用
一栋楼上住有 50 户人家，其中有电脑的有 43 户，有钢琴的有 36 户，这两样都没有的只有 1 户人家，试求下 列事件的概率．
(1)有电脑的； (2)有钢琴的； (3)既有电脑又有钢琴的； (4)有电脑或钢琴的．
第二十三页，共35页。
[解析] “有电脑或钢琴的”可看作事件“有电脑”和 “有钢琴”的并事件，或者看作两样都没有的对立事件．
(1)由于楼上共 50 户，有电脑的 43 户，故所求事件的概率 为4530＝0.86.
(2)有钢琴的 36 户，故所求事件的概率为3560＝0.72.
第二十四页，共35页。
(3)既有钢琴又有电脑的共 43＋36＋1－50＝30 户，故所求 事件的概率为3500＝0.6.
(2) 若 加 工 出 来 的 零 件 为 次 品 ， 则 至 少 有 一 道 工 序 产 生 次 品，如设事件A为“第一道工序出现次品”，事件B为“第二道 工序出现次品”，则“加工出来的零件是次品”为事件A∪B.所 以，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝2%＋3%－0.06%＝4.94%.
解法三：记事件 A＝“向上一面含数字 5 的”， B＝“向上一面含数字 6 的”，∴P(A)＝3116，P(B)＝3116，P(A·B) ＝326， ∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A·B)＝3116＋3116－326＝59.
第三十一页，共35页。
思想方法技巧
第三十二页，共35页。
分类讨论思想 同时抛掷红、黄两颗骰子，事件 A＝“红骰子点
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
共有 36 个结果，至少含一个数字 5 或 6 的结果有 20 个， ∴所求概率 P＝2306＝59.
第三十页，共35页。
解法二：利用对立事件求解，至少含有一个数字 5 或 6 的 对立事件是没有数字 5 和 6，没有数字 5 和 6 的结果从表中可 数出共 16 个，∴所求概率 P＝1－1366＝59.
第九页，共35页。
∴P(A∪B)＝A∪ΩB中中基包本含事基件本总事数件数 ＝m1＋mn 2－m＝mn1＋mn2－mn ＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． (1)当 A、B 为互斥事件时，∵P(A∩B)＝0， ∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (2)应用公式时，一定要把握好 A 与 B 的公共基本事件数．即 A∩B 的基本事件数．
[解析] 设 A 表示抽中女职工的事件，则 P(A)＝4 000＋1 61006＋003＋01004＋001＋405000＋800＋500＝13153； B 表示抽中第三分厂职工的事件， 则 P(B)＝80101＋305000＝11133；
第十五页，共35页。
C 表示抽中第三分厂女职工的事件，则有 C＝A∩B， 其概率为 P(C)＝P(A∩B)＝11503000＝1153. 抽中女职工或第三分厂职工的概率，即为 P(A∪B)，有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝35＋11133－5≈0.381.
数大于 3”，事件 B＝“蓝骰子点数大于 3”，求事件 A∪B＝ “至少有一颗骰子点数大于 3”的概率．
第三十三页，共35页。
[ 解 析 ] 基 本 事 件 空 间 Ω ＝ {(x ， y)|x ∈ N ， y ∈ N, 1≤x≤6,1≤y≤6}中共包含等可能发生的基本事件总数为 36 个 (可用平面直角坐标系中的点表示)A 中元素有 3×6＝18 个，B 中元素个数有 3×6＝18 个，A∩B＝{(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)， (5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}中共 9 个基本事件，
第十八页，共35页。
则共有可能结果 12 种：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)， (3,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，而甲跑第一棒， 乙跑第四棒只有一种可能(1,4)，故 P(A∩B)＝112.所以，甲跑第 一棒或乙跑第四棒的概率为：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B) ＝14＋14－112＝152.
4 思想方法技巧
3 易错疑难辨析
5 课后强化作业
第四页，共35页。
课前自主预习
第五页，共35页。
高二·一班有60%的同学参加数学竞赛，有50%的同学参加物 理竞争(jìngzhēng)，有20%的同学既参加数学竞赛，又参加物理 竞赛，求参加数学或物理竞赛的人所占的比例．
第六页，共35页。
1．事件的交(或积) 若某事件发生当且仅当____事__件_(_s_h_ìj_ià_n_)A__发_生__且__事__件_(_s_hì_ji_à_n，)B发则生 称此事件为事件A与事件B的交事件(或称积事件)，记作A∩B(或 AB)． (1)用集合(jíhé)形式表示，如图．
第七页，共35页。
(2)事件A与事件B的交事件等于(děngyú)事件B与事件A的交 事件，即A∩B＝B∩A.
例如：在投掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数大于 3}，B＝{出现的点数小于5}，则A∩B＝{出现的点数为4}．
第八页，共35页。
2．概率的一般加法公式 设 事 件 A 、 B 是 Ω 中 两 个 事 件 ， 则 P(A∪B) ＝ __P_(_A_)＋__P_(_B_)_－__P_(_A_∩_B_)_．_____ 如图所示，设事件Ω的基本(jīběn)事件总数为n，事件A、B 包含的基本(jīběn)事件的个数分别为m1、m2，事件A∩B包含的 基本(jīběn)事件数为m，易知A∪B中包含的基本(jīběn)事件数为 m1＋m2－m，
第十二页，共35页。
2．已知事件A、B，则下列(xiàliè)式子正确的是( ) A．P(A∪B)＝P(A)＋P(B) B．P(A∩B)＝P(A)－P(B) C．P(A∩B)<P(A∪B) D．P(A)＋P(B)≥P(A∪B) [答案] D [解析] ∵P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)≤P(A)＋P(B)，仅 当A∩B＝∅时取等号，A、B均错，当A＝B时，C错．
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1118.
第二十八页，共35页。
[辨析] 错解一中“含数字5的有6个，含数字6的有6个”纯 属凭空想像，没有(méi yǒu)什么依据；错解二中，事件A与B不 是互斥事件，不能应用互斥事件概率加法公式，应该用一般加法 公式．
第二十九页，共35页。
[正解] 解法一：同时抛掷两枚骰子可能结果可列表 (liè biǎo)表示如下：
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝1386＋1386－396＝34.
第三十四页，共35页。
[点评] 在写出基本事件空间中的基本事件时，若涉及的元 素较多且明显具有不同的特征时，要注意分类讨论思想的应用， 以避免基本事件发生(fāshēng)重复或遗漏．
第三十五页，共35页。
(3)甲、乙两人随机地入住A、B、C、D四个房间，求甲、乙 至少一人入住第一个房间A的概率．
第二十页，共35页。
[解析] (1)至少有一人命中，可看成(kàn chénɡ)是甲命中和 乙命中这两个事件的并事件．
设事件A为“甲命中”，事件B为“乙命中”，则“甲、乙 两人至少有一人命中”为事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B) －P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9.
成才之路 ·数学 (shùxué)
人教B版 ·必修 (bìxiū)3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一页，共35页。
概率(gàilǜ)
第三章
第二页，共35页。
3.2 古典(gǔdiǎn)概型
第3课时 概率的一般加法公式(gōngshì)( 选学)
第三章
第三页，共35页。
1 课前自主Biblioteka 习2 课堂典例讲练