2019-2020学年湖南省长沙市开福区周南实验中学九年级(下)第一次月考数学试卷(有答案解析)

2019-2020学年湖南省长沙市开福区周南实验中学九年级
（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.的倒数是
A. 2020
B.
C.
D.
2.2011年3月11日，里氏级的日本大地震导致当天地球的自转时间少了
秒，将用科学记数法表示为
A. B. C. D.
3.下列图形分别是四个城市电视台的台徽，其中为轴对称图形的是
A. B.
C. D.
4.由6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则从它的正面看到的
图形是
A. B. C. D.
5.下列计算正确的是
A. B.
C. D.
6.直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数
为
A.
B.
C.
D.
7.如图，小明在以为顶角的等腰三角形ABC中用圆规和直
尺作图，作出过点A的射线交BC于点D，然后又作出一条
直线与AB交于点E，连接DE，若的面积为4，则
的面积为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周
上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得，
，则该圆玻璃镜的直径是
A.
B. 5cm
C. 6cm
D. 10cm
9.一次函数，其中，则此函数的图象不经过
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
10.某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备
打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打
A. 六折
B. 七折
C. 八折
D. 九折
11.将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所
得的线段长为4，则
A. 1
B.
C.
D.
12.二次函数的部分图象如图所示，图象
过点，对称轴为直线，下列结论：
；；若点、点
、点在该函数图象上，则：
若方程的两根为和，且
，则；其中
正确的结论有
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13.分解因式______．
14.
人数3421
分数80859095那么名学生所得分数的中位数是．
15.若a，b是一元二次方程的两根，则______．
16.如图，在平面直角坐标系中，第二象限内的点P是反
比例函数图象上的一点，过点P作
轴于点A，点B为AO的中点若的面
积为3，则k的值为______．
17.已知圆锥的底面积为，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是______．
18.如图，在中，，，延长BC至点D，使CD：：
3，则______．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）
19.计算：．
20.先化简，然后请你选择一个合适的数作为x的值代入求值．
21.我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为
A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
参加知识竞赛的学生共有______人，并把条形统计图补充完整；
扇形统计图中，______，______，C等级对应的圆心角为______度；
小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．
22.如图，在中，，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A
作交BE的延长线于点F．
求证：四边形ADCF是菱形；
若，，求菱形ADCF的面积．
23.2019年“我要走全国徒步日江夏站”暨第六届“环江夏”徒步大会5月
19日在美丽的花山脚下隆重举行．组委会活动主办方为了奖励活动中取得了好成绩的参赛选手，计划购买共100件的甲、乙两纪念品发放，其中甲种纪念品每件售价120元，乙种纪念品每件售价80元，
如果购买甲、乙两种纪念品一共花费了9600元，求购买甲、乙两种纪念品各是多少件？
设购买甲种纪念品m件，如果购买乙种纪念品的件数不超过甲种纪念品的数量的2倍，并且总费用不超过9400元．问组委会购买甲、乙两种纪念品共有几种方案？哪一种方案所需总费用最少？最少总费用是多少元？
24.如图，为的外接圆，D为OC与AB的交点，
E为线段OC延长线上一点，且．
求证：直线AE是的切线．
若D为AB的中点，，
求的半径；
求的内心到点O的距离．
25.定义：一如果两个函数，，存在x取同一个值，使得，那么称，
为“合作函数”，称对应x的值为，的“合作点”；
二如果两个函数为，为“合作函数”，那么的最大值称为，的“共赢值”．
判断函数与是否为“合作函数”，如果是，请求出时
它们的合作点；如果不是，请说明理由；
判断函数与是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；
已知函数与是“合作函数”，且有唯一合作点．
求出m的取值范围；
若它们的“共赢值”为24，试求出m的值．
26.如图1，已知抛物线，与y轴交于点，与x轴交于点
．
求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
设点P是抛物线上的动点，若在此抛物线上有且只有三个P点使得的面积是定值S，求这三个点的坐标及定值S．
若点F是抛物线对称轴上的一点，点P是中位于直线AB上方的点，在抛物线上是否存在一点Q，使得P、Q、B、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：，
的倒数是，
故选：B．
乘积是1的两数互为倒数．依据倒数的定义回答即可．
此题主要考查了倒数，解题的关键是掌握倒数定义．
2.【答案】B
【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确；
故选：D．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，结合选项即可作出判断．
此题考查了轴对称的知识，解答本题的关键是寻找对称轴，这是判断一个图形是不是轴对称的关键，难度一般．
4.【答案】C
【解析】解：从正面看的图形为，C选项中图形，
故选：C．
从正面看所得到的图形，进行判断即可．
考查简单几何体的三视图，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体的正投影所得到的图形．
5.【答案】C
【解析】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，正确；
D、，故此选项错误；
故选：C．
直接利用积的乘方运算法则以及整式的混合运算法则、完全平方公式分别分析得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：如图，过E作，
则，
，，
，
，
，
，
故选：D．
过E作，则，根据平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：是等腰三角形，
根据作图可知：
AD是顶角A的平分线，
点D是BC的中点，
点E是AB的中点，
．
故选：A．
根据等腰三角形的性质即可求解．
本题考查了作图复杂作图、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图．8.【答案】D
【解析】解：把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，
线段MN的就是该圆的直径，
，，，
，
故选：D．
根据圆周角所对的弦是直径，然后根据勾股定理即可求得MN的长，本题得以解决．本题考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】C
【解析】解：一次函数，其中，图象过一、二、四象限，故不经过第三象限，
故选：C．
根据一次函数中的k、b的符号判断图象经过哪几个象限，进而得出答案．
考查一次函数的图象和性质，k、b符号决定图象经过的象限，
10.【答案】B
【解析】解：设打x折，
根据题意得，
解得．
所以最低可打七折．
故选：B．
设打x折，利用销售价减进价等于利润得到，然后解不等式求出
x的范围，从而得到x的最小值即可．
本题考查了一元一次不等式的应用：由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．注意打x折时，标价要乘为销售价．11.【答案】D
【解析】解：二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位之后
的函数解析式为，
当时，，
设方程的两个根为，，
则，，
平移后的函数截x轴所得的线段长为4，
，
，
，
，
解得，，
故选：D．
根据题意可以写出平移后的函数解析式，然后根据截x轴所得的线段长为4，可以求得a的值，本题得以解决．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象与变化、根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12.【答案】B
【解析】解：由题意可知：对称轴，
，
，故正确；
当时，，
，故错误；
关于直线的对称点为，
由图可知：时，y随着x的增大而减小，
由于，
，故正确；
设，，
由于图象可知：直线与抛物线有两个交点，
方程的两根为和，
，故错误；
当时，，此时为最大值，
当时，，
，
即，故错误；
故选：B．
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
13.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14.【答案】85
【解析】将这组数据从小到大的顺序排列80，80，80，85，85，85，85，90，90，95，处于中间位置的那个数是85，85，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是
，
故答案为85．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数
为中位数．
本题考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最
中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概
念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
15.【答案】
【解析】解：a，b是一元二次方程的两根，
，，
．
故答案为：．
根据根与系数的关系得出，，再根据，然后代值计算
即可得出答案．
本题考查了根与系数的关系：如果，是一元二次方程的两根，那么，．
16.【答案】
【解析】解：连接OP．
点B为AO的中点，的面积为，
又，
，
，
，
，
故答案为．
根据反比例函数系数k的几何意义得出的面积的面积，再
根据双曲线所在的象限即可求出k的值
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上的点向x轴或y轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积等．
17.【答案】
【解析】【分析】
利用圆面积公式求出半径，再利用扇形的面积公式即可解决问题．本题考查圆锥的计算，圆的面积公式，扇形的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【解答】
解：设底面圆的半径为rcm．
由题意：，
负根已经舍弃，
圆锥的侧面积，
故答案为．
18.【答案】
【解析】解：过点D作，与AC的延长线交于点E，
，
，
，
，
，
，
不妨设，则，
，
：：3，
，
，
，
故答案为
过点D作，与AC的延长线交于点E，由，，得DE：
：5，设，再x表示CE、CD、AC，再解便可求得结果．本题主要考查了解直角三角形的应用，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，关键是正确构造直角三角形．
19.【答案】解：
．
【解析】首先计算乘方、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
20.【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【解析】直接将括号里面通分运算进而利用分式的乘除运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算是解题关键．
21.【答案】40 10 40 144
【解析】解：人，
人，
故答案为：40，补全条形统计图如图所示：
，，
．
故答案为：10，40，144；
设除小明以外的三个人记作A、B、C，从中任
意选取2人，所有可能出现的情况如下：
共有12中可能出现的情况，其中小明被选中的有6种，
所以小明被选中参加区知识竞赛的概率为．
从两个统计图可得，“D级”的有12人，占调查人数的，可求出调查人数；进而求出“B级”的人数，即可补全条形统计图；
计算出“A级”所占的百分比，“C级”所占的百分比，进而求出“C级”所对应的圆心角的度数；
用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．
考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
22.【答案】证明：是AD的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形ADCF是平行四边形，
，D是BC的中点，
，
四边形ADCF是菱形；
解：设AF到CD的距离为h，
，，，
．
【解析】先证明≌，得，根据一组对边平行且相等可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得：，根据菱形的判定即可证明四边形ADCF是菱形；
先根据菱形和三角形的面积可得：菱形ADCF的面积直角三角形ABC的面积，即可解答．
本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线、三角形和菱形的面积，解决本题的关键是掌握以上基础知识．
23.【答案】解：设甲种纪念品购买了x件，乙种纪念品购买了件，
根据题意得，
解得，
则，
答：设甲种纪念品购买了40件，乙种纪念品购买了60件；
设购买甲种纪念品m件，乙种奖品购买了件，
根据题意，得，
解得，
为整数，
或，
当时，；当时，；
购买所需总费用为，
m越小，购买所需总费用越少，因此当购买甲种纪念品34件，乙种纪念品66件，所需总费用最少，最少为元．
答：组委会有2种不同的购买方案：购买甲种纪念品34件，乙种纪念品66件或购买甲种纪念品35件，乙种纪念品65件．
当购买甲种纪念品34件，乙种纪念品66件时，所需总费用最少，最少为9360元．
【解析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用：对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解；一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题．
设甲种纪念品购买了x件，乙种纪念品购买了件，利用购买甲、乙两种纪念品一共花费了9600元列方程，然后解方程求出x，再计算即可；
设购买甲种纪念品m件，乙种奖品购买了件，利用购买乙种纪念品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过9400元列不等式组
，然后解不等式组后确定x的整数值即可得到组委会的
购买方案，购买所需总费用为，可知当购买甲种纪念品34件，乙种纪念品66件时，所需总费用最少，求出最少费用即可．
24.【答案】解：证明：连接AO，并延长AO交于点F，连接CF
是直径
，
，
，且AO是半径
直线AE是的切线．
如图，连接AO，
为AB的中点，OD过圆心，
，，
，
，
，
的半径为；
如图，作的平分线交CD于点H，连接BH，过点H作，，
，
，且
平分，且AH平分
点H是的内心，且，，
在中，，
，
，
，
，
．
【解析】连接AO，并延长AO交于点F，连接CF，由圆周角定理可得，可得，由，可得，即可得结论；
由垂径定理可得，，由勾股定理可求的半径；
作的平分线交CD于点H，连接BH，过点H作，，
由角平分线的性质可得，由三角形的面积公式可求HD的值，即可
求的内心到点O的距离．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，切线的判定，角平分线性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质定理进行推理是本题的关键．
25.【答案】解：是经过第一、第三象限的直线，是经过第一、
第三象限的双曲线，
两函数有公共点，
存在x取同一个值，使得，
函数与是“合作函数”；
当时，，
，解得或，
“合作点”为或；
假设函数与是“合作函数”，
，
，
，
，
，
当时，函数与是“合作函数”；当或时，函数与不是“合作函数”；
函数与是“合作函数”，
，
，
或，
时有唯一合作点，
当时，，
当时，，
或时，满足题意；
在的最大值为，
的对称轴为，
当时，则，
当时有最大值，最大值为，
，
解得或，
；
当时，则，
当时有最大值，最大值为，
，
解得或，
；
综上所述：或．
【解析】由于与都经过第一、第三象限，所以两个函数有公共点，可以判断两个函数是“合作函数”，再联立，解得或，即可求“合作点”；
假设是“合作函数”，可求“合作点”为，再由，可得当时，是“合作函数”；当或时，不是“合作函数”；
由已知可得：，解得或，再由已知可得当时，，当时，
，因为只有一个“合作点”则或；在
的最大值为，当时，函数的对称轴，此时当时有最大值；当时，对称轴，当
时有最大值；再由“共赢值”即可求m值．
本题考查二次函数的图象及性质；理解题意，熟练掌握一次函数、二次函数的图象及性质是解题的关键．
26.【答案】解：抛物线，与y轴交于点，与x轴交于点．
抛物线解析式为：，
，
顶点坐标为
点，点，
直线AB解析式，
当时，，
点
如图1，设AB上方的抛物线上有点P，过点P作AB的平行线交对称轴于点C，且与抛物线只有一个交点为P，
设直线PC解析式为，
，且只有一个交点，
，
直线PC解析式为，
当，
点C坐标，
，
，
点
在此抛物线上有且只有三个P点使得的面积是定值S，
另两个点所在直线与AB，PC都平行，且与AB的距离等于PC与AB的距离，，
点，
设的解析式为，
，
的解析式为，
，
，
点，，
．
设点
若PB是对角线，
、Q、B、F为顶点的四边形是平行四边形
与FQ互相平分，
点；
若PB为边，
、Q、B、F为顶点的四边形是平行四边形，
，，或，，
，或，
，或，
点或；
综上所述，点或或
【解析】将交点坐标代入解析式可求解；
设AB上方的抛物线上有点P，过点P作AB的平行线交对称轴于点C，且与抛物线只有一个交点为P，设区PC解析式与抛物线解析式组成方程组，由，可求PC 解析式，可求点P坐标，由等底等高的三角形面积相等，可得另两个点所在直线与AB，PC都平行，且与AB的距离等于PC与AB的距离，可求的解析式，即可求解；
分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平行线的性质，平行四边形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．。