高三数学寒假作业专题11点线面位置关系测含解析

（寒假总动员） 高三数学寒假作业 专题11 点线面位置关系（测）（含解析）
时间：45分钟 满分：100分
一．选择题（每小题5分，共50分）
1.【2021年普通高档学校招生全国统一考试（广东卷）理】设,m n 是两条分歧的直线,,αβ是两个分歧的平面,下列命题中正确的是( )
A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥
B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n
C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥
D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥
2.【2021年普通高档学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄l ,l β⊄则（ ）
（A ）α∥β且l ∥α
（B ）α⊥β且l ⊥β
（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l
3.【2021年普通高档学校招生全国统一考试（山东卷）理】已知三棱柱
111
ABC A B C -的侧棱与底面垂直，
体积为49
，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面111A B C
的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为
（ ）
A.125π
B.3π
C.4π
D.6π
【答案】
B
4.【2021年普通高档学校招生全国统一考试(江西卷)理】如果，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为,,m n 那么m n +=（ ） A.8
B.9
C.10
D.11
5.【2021年普通高档学校统一考试试题纲目全国理科】已知正四棱柱1111
ABCD A B C D -中，
12AA AB
=，
则CD 与平面
1
BDC 所成角的正弦值等于（ ）
A ．23
B ．33
C ．23
D ．13
【答案】A
【解析】如下图，保持AC 交BD 于点O ，保持
1C O
，过C 作
1CH C O
⊥于点H.
6. (2021年高考浙江卷文科5) 设l 是直线，a ，β是两个分歧的平面（ ） A. 若l ∥a ，l ∥β，则a ∥β B. 若l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥β C. 若a ⊥β，l ⊥a ，则l ⊥β D. 若a ⊥β, l ∥a ，则l ⊥β
7. (2021年高考重庆卷文科9)设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a 且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是（ ） （A ）
(0,2) （B ）(0,3) （C ）(1,2)（D ）(1,3)
【答案】A
【解析】
222
1(
)22BE =-=，BF BE <，22AB BF =<，
【考点定位】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限
思想的应用，是中档题．
8. (2021年高考全国卷文科8)已知正四棱柱1111
ABCD A B C D -中 ，2AB =，
122CC =，E 为1CC 的中
点，则直线
1
AC 与平面BED 的距离为（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）1
9. (2021年高考四川卷文科6)下列命题正确的是（ ）
A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
10. (2021年高考浙江卷理科10)已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2．将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中，（ ）
A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直
B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直
C ．存在某个位置，使得直线A
D 与直线BC 垂直 D ．对任意位置，三直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 【答案】B
【解析】最简单的方式是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C 是正确的．
二.填空题（每小题5分，共20分）
11.【2021年普通高档学校统一考试试题纲目全国理科】已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦
长等于球O 的半径，3
2OK =
，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为060，则球O 的概况积等于
【答案】16π
【解析】如右图，设MN 为两圆的公共弦，
E 为MN 的中点，则
,,OE MN KE MN ⊥⊥
结合题意可知0
60OEK ∠=.又MN=R ，∴OMN ∆为正三角形. ∴
3OE R =
.
又OK EK ⊥，∴0333sin 602
22OE R =•=•
.∴R=2. ∴2416S R ππ==. 【学科网考点定位】二面角和球的概况积.
12.【2021年普通高档学校招生全国统一考试（北京卷）理】如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D1E 上，点P 到直线CC1的距离的最小值为 .
[答案] 25
[解析]过E 作
1
EE ⊥
11
B C 于
1
E ，连接
11
D E ，过P 作PQ ⊥
11
D E 于Q ，在同一个平面EE1D1内，
1
EE ⊥
E1D1，PQ ⊥
11
D E ，则
1
//PQ EE ，又
11//EE CC ，故
1
//PQ CC ，点P 到直线CC1的距离就等于点Q
到直线CC1的距离，当
11C Q C C
⊥，距离最小，此时，
111
111125
55
C D C E C Q E D ⨯=
==
.
[学科网考点定位]本小题考查了点到直线的距离求法，考查了转化与化归思想的应用和空间想象能力. 13.【2021年普通高档学校统一考试江苏数学试题】如图，在三棱柱
111A B C ABC
-中，D ，E ，F 分别为
AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V ，三棱柱111A
B C ABC -的体积为2V ，则
12:V V =
.
14. (2021年高考全国卷文科16)已知正方体1111
ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11
BB CC 、的中点，那么
异面直线AE 与
1D F
所成角的余弦值为____________.
【答案】53
【解析】如图连接F D DF 1,，则AE DF //,所以DF 与F D 1所成的角即为异面直线所成的角，设边长为2，则
51==F D DF ，在三
角形F DD 1中
535
52455cos 1=
⨯⨯-+=
FD D .
三.解答题（每小题15分，共30分）
15.【2021年普通高档学校统一考试试题纲目全国理科】
如图，四棱锥P-ABCD 中，0
90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形.
（Ⅰ）证明：PB CD ⊥；
（Ⅱ）求二面角A PD C --的大小.
又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE.
设平面PAD的法向量为2(,,)
n m p q
=
，则
2(,,)(2,02)=0
n AP m p q
•=•，
，
2(,,)(2,-2
n AD m p q
•=•，
，
可得
0,0 m p m p
+=-=.
取m=1，得
1,1
p q
==-，故
2
(1,1,1)
n=-
.
于是
12 12
12
6
cos,=-
3
||||
n n
n n
n n
•
<>=
.
由于12
,n n
<>
等于二面角A PD C
--的平面角，
所以二面角A PD C
--的大小为
6
arccos
3
π-
. ……12分
16.【2021年普通高档学校统一考试江苏数学试题】
如图，在直三棱柱111
A B C ABC
-
中，AB AC
⊥，2
AB AC
==，14
AA=
，点D是BC的中点. （1）求异面直线1
A B
与1
C D
所成角的余弦值；
（2）求平面1
ADC
与平面1
ABA
所成二面角的正弦值.
[答案]（1）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz
-，
则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(1,1,0)D ，1(0,0,4)
A ，
1(0,2,4)
C ，
∴
1(2,0,4)A B =-，1(1,1,4)C D =-，
∵
11112
2222
11310
cos ,||||20182(4)1(1)(4)A B C D A B C D A B C D <>=
===
⋅⋅+-⋅+-+-，
∴异面直线1A B 与1C D
所成角的余弦值为310
10.。