关于GA凸函数的一些性质

定义 3 设（f x）是定义在区间 上的正值函数，若对任意的 有
， 则称（f x）为区间 I 上的对数凸（凹）函数．










（3）

( ) （ii）若 ，那么
( ) ( ( ) )











( ) ( )
定理 5 设 为区间 上的正值函数，那么 （i）若 上的 GA—凸函数，则 上的 GA—凸函数； （ii）若 上的 GA—凹函数，则 上的 GA—凹函数． 下面对文[4]主要结果上界给出另一个证明．
定理 6（Hadamard 不等式）〔4〕 设 为区间 上的 GA—凸函数，则
定理 1 设（f x）为区间 上的函数，那么 （i）若（f x）为区间 I 上递减（增）的 GA—凸（凹）函数，则（f x）为 I 上凸（凹）函数； （ii）若（f x）为 I 上递增（减）的凸（凹）函数，则（f x）为区间 I 上的 GA—凸（凹）函数．
定理 2 设（f x）为区间 的正值函数，那么 （i）若（f x）为区间 I 上的 GA—凸函数，则 e（f x）为区间 I 上的几何凸函数； （ii）若（f x）为区间 I 上的 GA—凹函数，则（f x）为区间 I 上的几何凹函数； （iii）若（f x）为区间 I 上的几何凸函数，则（f x）为区间 I 上的 GA—凸函数； （iv）若（f x）为区间 I 上的几何凹函数，则 ln（f x）为区间 I 上的 GA—凹函数．
140
内蒙古民族大学学报
2010 年
引理 2〔1〕 设（f x）为区间 上的 GA-凸（凹）函数的充要条件是对 I 上任意的三点 ，有
.
( ) ( )

பைடு நூலகம்






（8）
从而由不等式（5），（8）得不等式（3）．证毕．
Vol.25 No.2 Mar.2010
关于 GA—凸函数的一些性质
白瑞芳，付丽丽
（内蒙古民族大学 数学学院，内蒙古 通辽 028043）
〔摘 要〕凸函数理论在数学理论和应用中起着非常重要的作用，有关文献研究了各种凸函数及其性质.本文 在 GA-凸函数定义的基础上，继续研究有关 GA-凸函数，得到了几个性质. 〔关键词〕凸函数；几何凸函数；对数凸函数；GA—凸函数；Hadamard 不等式 〔中图分类号〕O174.13 〔文献标识码〕A 〔文章编号〕1671-0185（2010）02-0139-03
凸函数在数学基础理论和应用中起着非常重要的作用．文[1]中有介绍并讨论了各种凸函数及其性质．而文[2]介绍
了凸函数中的 GA—凸函数，给出了 GA—凸函数的定义及其一些性质，本文继续研究 GA—凸函数，得到了几个性质．
定义 1 设（f x）为区间 上的函数，若对任意的 ,有
由式（1），（2），可得
（1） （2）
故 上的凸函数.证毕．








（4）
若 为区间 上单调递增的 GA—凹函数，上述不等式（3），（4）反向不等式成立．
证 只证明 为区间 上单调递减的 GA—凸函数情况．此时，由定理 1 知 为 上的凸函 数．由引理 1 有
，有 而 y=（f u）在 J 上的递减函数，于是，有
，
又 y=（f u）为 J 上的 GA—凸函数，所以对任意的 ，有
( ) ( )








从而由不等式（5），（7）得不等式（3）．
（7）

( ) （ii）当 时，有 ，从而由式（10）得
定理 4 设（f u）为区间 上的函数， 为区间 上的正值函数，且 ，那么 （i）若 y=（f u）为 J 上递增（递减）的 GA—凸函数， 为区间 上的对数凸（凹）函数，则 为 I 上的凸 函数． （ii）若 y=（f u）为 J 上递增（递减）的 GA—凹函数， 为区间 I 上的对数凹（凸）函数，则 为 I 上的凹函数． 证 只证（i）中 为 I 上的对数凹函数的情况，其它类似可证.因 为 I 上的对数凹函数，从而对任意的
关于ga凸函数的一些性质白瑞芳付丽丽内蒙古民族大学数学学院内蒙古通辽028043要凸函数理论在数学理论和应用中起着非常重要的作用有关文献研究了各种凸函数及其性质
第 25 卷 第 2 期 2010 年 3 月
内蒙古民族大学学报（自然科学版） Journal of Inner Mongolia University for Nationalities
从而，有

















定义 4 设（f x）为区间 上的函数，若对任意的 有
， 则称（f x）为区间 I 上的 GA—凸（凹）函数．
引理 1〔1〕 设（f x）为区间 的凸函数，则
On Some Properties of GA-Convex Function
BAI Rui-fang，FU Li-li （College of Mathematics，Inner Mongolia University for Nationalities，Tongliao 028043，China）
且由文〔4〕定理下界，有
( )









( ) ( ( ) )










（5）
又
[ ( ) ( ) ]


( )








收稿日期：2009-06-16 基金项目：内蒙古自然科学基金资助项目（200508010110）；内蒙古民族大学科学研究资助项（MDX2008029） 作者简介：白瑞芳（1982-），女，内蒙古高都县人，在读硕士研究生，主要从事分析不等式的研究.
下面对 Hadamard 不等式进一步讨论，得到
定理 7 设 为区间 上单调递减的 GA—凸函数，则

( ) （i）若 ，那么
( ) ( ( ) )











( ) ( )








( )
（6）

( ) （i）当 时，有 ,从而由式（6）得
( ( ) ) ( ) ( )














若 为区间 上的 GA—凹函数，上述不等式反向不等式成立．
证 由引理 2 知，当 为区间 的 GA—凸函数时，对任意的 ,有
定理 3 设（f x），g（x）均为区间 上的同（反）单调类的非负GA—凸（凹）函数，则（f x）g（x）为I上的GA—凸（凹）函数．

推论 设 是定义在区间 上的同（反）单调类的非负 GA—凸（凹）函数，则 为区
间 I 上的 GA—凸（凹）函数．
则称（f x）为 I 上的凸（凹）函数．

定义 2 设（f x）为区间 上的正值函数，若对于任意的 有
, 则称（f x）为区间 I 上的几何凸（凹）函数．
两边积分得
( )




第2期
白瑞芳等：关于 GA—凸函数的一些性质
141
从而得
( ) ( )











故结论成立．证毕．
Abstract：Theory of convex function is playing a very importan part in mathematic theory and application,related literatures have studied various convex function and its properties.This paper continues to discuss GA-convex function and obtain its several properties on the basis of GA-convex function definition. Key words：Convex function; Geometric convex function; Logarithm convex function; GA— convex function; Hadamard inequality