传递过程原理讲课提纲03粘性流体运动的微分方程及其应用1

第三章 粘性流体运动的微分方程及其应用
主要包括三个方程:
即：微分质量衡算方程---连续性方程；
微分动量衡算方程---奈维-斯托克斯（Navier-Stokes ）方程； 微分能量衡算方程---特定条件下的傅立叶第二导热定律。

§1 连续性方程
§1—1 连续性方程的推导
取如图10微元体，作质量衡算，有：
(输入微元体的流体质量流量) =
(输出微元体的流体质量流量)
+ (微元体中累积的流体质量流量)
① 分三个方向讨论:
ρ=ρ(x, y , z,θ) u = u (x, y, z,θ)
在x 方向输入的流体质量：
abcd 面为： ρu x ·dydz
a 1
b 1
c 1
d 1 面为： [ρu x +
()x
u x ∂∂ρdx]dy dz x 方向净输出为：[()x u x ∂∂ρdx]dy dz
同理， y 方向净输出为：[()y
u y ∂∂ρdy]dx dz
z 方向净输出为：[
()
z
u z
∂∂ρdz]dy dx
②微元体中累积的流体质量流量为：
dxdydz
d dxdydz
dxdydz d ⋅∂∂=
-⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅∂∂+θ
ρθ
ρθθρρ
于是 ：
()
()
()
=∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂θ
ρρρρz
u y
u x
u z
y
x
(1)
x
z
图 11
或（表示法①）
()0=∇+∂∂u
ρθ
ρ
▽－微分算符(哈密特算符),亦称散度
§1－2 连续性方程的分析与简化
由于流体流动时： ρ=ρ(x, y , z,θ)
故 d ρ=
dz z dy y dx x d ∂∂+
∂∂+
∂∂+
⋅∂∂ρρρθθ
ρ
即 d ρ/d θ=
θρθρθρθρd dz z d dy y d dx x ∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
=
θ
ρρρθ
ρ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z
y x u y
u x
u (2)
式中d ρ/d θ称为随体导数,记作
θ
ρD D
定义:
)(z
u y
u x
u D D z
y x
∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=
θ
θ
(3)
随体导数＝局部导数＋对流导数
故上述连续性方程亦可写作（表示法②）：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=z u y u x u D D z
y x ρθρ
即
θ
ρD D = -ρ▽()u
(4)
讨论 : ①对稳态流动( 运动参数不随时间但可随位置而变化 ),
0=∂∂θ
ρ
故： ()0=∇u
ρ
② 对不可压缩流体，不论流动是否稳定，因为ρ = 常数
故 0=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u z y x 常用此方程来判别流体的可压缩性
③ 由于ρ
·υ
= 1
故: 0
=+θ
ρυ
θ
υρ
D D D D 或
11=+
θ
ρ
ρθ
υ
υD D D D
式中:θ
υ
υD D 1反映了微元流体流动时的体积随时间的变化率, 形变速率
θ
ρ
ρD D 1反映了微元流体流动时的密度随时间的变化率
比较式(4)可知（表示法③）：
u z
u y
u x
u D D z y x
∇=∂∂+∂∂+∂∂=θ
υ
υ1
增例: 某流体运动时其运动速度服从如下空间分布，试判别其压缩性。

1. ()()k x j z x i x z y x u z 2,,2
-++=
2. ()()()j y x i x y x u
2242,,2
+-+=θ
θ
3. ()()k y z x j y z x i z y x z y x u
)3(56)23(,,,2
2+-++-++-=θθθθ
解: (1) 2
x u x =，
x x
u x 2=∂∂； z x u y +=，
0=∂∂y
u y ；xz u z 2-=，
x z
u z 2-=∂∂。

022=-=∂∂+
∂∂+∂∂x x z
u y
u x
u z y x 故流体不可压缩
(2) 2
42θ+=x u x ，
2=∂∂x
u x ；)22(y x u y +-=，
2-=∂∂y
u y ；0=z u ，
0=∂∂z
u z 。

+
∂∂x
u x +∂∂z
u z 0202=-+=∂∂y
u y 不可压缩
(3) z y x u x +-=232
，
x x
u x 6=∂∂；y z x u y θ+-=56，
θ=∂∂y
u y ；
y z x u z 32
+⋅-=θθ
，
θ-=∂∂z
u z 。

+
∂∂y
u y +
∂∂z
u z x x x
u x 66=+-=∂∂θθ
故该流体只在=0位置时为不可压缩,其余位置时为可压缩
§1－3 连续性方程在柱坐标和球坐标系中的表达式
1. 连续性方程在柱坐标的表达式
a 直角坐标系与柱坐标系的关系
x= rcos α r ：+∞～-∞ y= rsin α α： 0～2π z=z z ：+∞～-∞ α为方位角 b 于是()()()0=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z
u y
u x
u z y x ρρρθ
ρ
变为： ()()
()011=∂∂+
∂∂+∂∂+
∂∂z
u u r
r
ru r
z r ρα
ρρθ
ρα
2 连续性方程在球坐标的表达式
a 直角坐标系与球坐标系的关系
x= (rsin α)·cos υ y= (rsin α)·sin υ 0≤α及υ≤2π z= rcos α -∞≤r≤+∞ υ--方位角 α--余纬度 b 表达式
(
)()
()
sin 1sin 112
=∂∂+
∂∂+
∂⋅∂+
∂∂Φ
ϕ
ρα
α
ρα
ρθ
ρα
u r u r r
r u r
r
附: 推导方法:① 取空间微元体(微柱\微球)；υ
② 对微元体作质量流量衡量计算； ③ 质量衡算，整理即得。

§2 流体运动的基本方程
§2－1 流体流动时牛顿第二定律
()
θ
d u M D F =
采用拉格朗日观点(即跟踪质点考察方法)，则 θ
d u
D M F ⋅=
例如在x 方向的惯性力(同理可写出y 、z 方向的惯性力方程)
z
y
x
图 12
y
x
图 15
)(z
u u y u u x u u u M D Du M F z z y y x x x x X ∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂==θθ
对运动流体受力分析表明，存在二大类力作用于流体：
1、质量力(即作用力大小与流体本身有关的力，亦称为体积力)
通常有二种：重力mg ，离心力m ω2
r 其大小为 dF XB = X ρdxdydz
式中X －单位质量流体在x 方向所受质量力，N/kg
2、表面力F S
主要是静压力和惯性力两类，通称为机械力。

单位流体表面所受的机械力又称为机械应力或表面应力。

以作用于流体微元面积上的表面力作分析，可见有三个表面力: ① 作用于微元面上的法向应力(拉伸或挤压)τxx ； ② 来自于y 方向的剪切应力τ
xy ；
③ 来自于z 方向的剪切应力τxz 。

上式τxy 中 x －表示τ所作用的面(与x 轴垂直) y －表示τ的作用方向(与y 轴平行)
可以想象对一个微元体表面力有9个： 即 3个法向应力： τxx ，τyy ，τzz
6个剪应力： τxy ，τxz 垂直x 轴的作用面
τyx ，τyz 垂直y 轴的作用面 τzx ，τzy 垂直z 轴的作用面 可以证明，上述6个剪应力将使微元流体产生旋转， 且根据力矩方程
有： τ
xy =τyx 和：
τ
xz =τzx ，τyz =τzy
对微元体作用于x 方向的表面力dF xs 为(x 方向)
dz
dx dz z dz z dz
dx dy y dy y
dz
dy dx x dx x dF zx zx zx zx yx
yx
yx
yx
xx xx xx xx xs ⋅⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂--∂∂++⋅⋅⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂∂-
-∂∂+
+⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂--+⋅∂∂=)2()2()2()2
()2()2(τττττ
τ
τ
τττττ
即 dF xs =dxdydz z
y
x
zx yx
xx )(
∂∂+
∂∂+
∂∂ττ
τ
故 x 方向总合外力为 :dF x
= dF xB +dF xs
x
xx
即: dF x =dxdydz z
y
x
Xdxdydz zx yx
xx )(
∂∂+
∂∂+
∂∂+ττ
τρ
代入牛顿第二定律 θ
D Du M F x
x = 即有: (dxdydz dM ρ=)
θ
ρ
ττ
τρD Du
z
y
x
X x
zx yx
xx =∂∂+
∂∂+
∂∂+
(A)
同理在y 方向和z 方向有： y 方向： θρ
τ
ττρD Du
y x z y y
yy
xy zy =∂∂+∂∂+∂∂+
(B)
z 方向：θ
ρ
τ
ττρD Du
y
x
z
Z z
yz
xz zz =∂∂+
∂∂+∂∂+ (C)
上述3式即为粘性流体运动的微分方程。

§2－2 应力与切变率(角变形,形变速率)之间的关系
1、剪应力与角变形的关系
由于粘性,使流体在x 方向的运动速度随y 而改变， 此即为流体在y 方向的速度梯度du x /dy 。

不难理 解，静止的流体经d θ时间的运动后，造成了速度 梯度du x /dy ，因而使之发生形变，故形变率即可用 角变形大小来表示， 即：
θ
ϕd d dy
du x
-
=
故牛顿粘性定律可表示为：
θ
ϕμ
μ
τd d dy
du x -==
对于二维流动,此时总角变形率：
)(
21x
u y
u d d d d d d y x ∂∂+∂∂-=+=θ
ϕθ
ϕθ
ϕ
故对牛顿型流体有:
)(
x
u y
u y x yx xy ∂∂+
∂∂==μττ (A ’)
d x
x
图 16
x
d 图 17
同理 )(
z u x u x z zx xz ∂∂+
∂∂==μττ (B’)
)(
y
u z
u z y zy yz ∂∂+∂∂==μττ (C’)
2 法向应力
① 法向应力主要由两类应力提供：
其一是静压力使流体微元受压缩而发生体积形变； 其二是由于流动时粘性应力作用，使流体微元在法向上受到拉伸或压缩发生线性形变。

② 对于静止或理想流体流动－即无粘性影响时 有 τxx =τyy =τzz = - p(“-”表示方向) 及 p = -1/3 (τxx +τyy +τzz ) ③ 对于粘性运动流体(不可压缩流体)
一般地 τxx ≠τyy ≠τzz ≠ - p
但 p = -1/3 (τxx +τyy +τzz ) 仍成立。

此时设其法向粘应力为σ，则：
τxx = - p+σx ⇒σx = 2/3τ
xx -1/3(τyy +τzz ) 同理: σy = 2/3τ
yy -1/3(τxx +τzz )
σz = 2/3τzz -1/3(τxx +τyy )
④ 根据理论推导,可以解得流体微元在x 方向的法向应力τ
xx 为：
τxx = - p+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂z u y u x
u x u z y x
x
32)(
2μμ (A”) 或 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-⎪
⎭⎫ ⎝⎛∂∂=z u y u x u x u z y x
x x
322μμσ
= ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂-
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂z u y
u x u z y
x 3234μμ 及τyy = - p+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂z u y u x u y u z y x
y
32)(
2μμ (B”) τzz = - p+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂z u y u x
u z u z y x
z
32)(
2μμ (C”) 或 σy =
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂z u x u y
u z x y
3234μμ
σz =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂-
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂x u y u z u x y
z 3234μμ
§2—3 粘性流体运动的奈维—斯托克斯(Navier －Stokes)方程
将式A ’、B’、C’和式A”、B”、C”分别代入粘性流体运动的微分方程A 、B 、C,
即得:⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=z u y u x u x z u y u x
u x p
X D Du
z
y x x
x x x
322
2222μμρθρ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=z u y u x u y z u y u x u y p
Y D Du
z y x y
y y y
322
2222μμρθρ ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=z u y u x u z z u y u x
u z p
Z D Du
z
y x z
z z z
322
2222μμρθρ 式中： ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u z y x 即微元流体在x,y,z 方向上的总线形变率。

上式亦可记为： ()u u p F D u D ∇∇+∇+∇-=32μμρθρ 对不可压缩流体 0=∇u
故 u p F D u D
21∇+∇-=ρ
μρθ
关于N —S 方程的讨论：
① N —S 方程目前尚未从实验中得到充分肯定的证明。

因其有许多假设，如压力对形变率的影响在三维方向均分的假定。

② 理论上N —S 方程可以求解，但由于其数学上的困难，目前尚无普遍解，从个别特殊解
来看，与实际结果比较接近，故认为理论假定正确。

③ 由于湍流过程质点运动的随机性，故N —S 方程仍只能运用于流体的层流运动。