成都石室天府中学九年级数学上册第四单元《圆》测试卷(包含答案解析)

一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A ．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，则它们所对的圆心角也相等
B ．三点确定一个圆
C ．平分弦的直径垂直于这条弦
D ．90°的圆心角所对的弦是直径
2．为落实好扶贫工作，某村驻村干部帮助村民修建了一个粮仓，该粮仓的屋顶是一个圆锥，为了合理购买、不浪费原材料，需要进行计算1个屋顶的侧面积大小，该圆锥母线长为5m ，底面圆周长为8m π，则1个屋顶的侧面积等于（ ）2m ．（结果保留π）
A ．40π
B ．20π
C ．16π
D ．80π
3．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AC 经过点O ，与⊙O 分别相交于点D 、C ．若∠ACB=30°，AB= 3，则阴影部分的面积（ ）
A ．3
B ．3
C ．3π6-
D ．3π6- 4．如图，在O 中，AB ，AC 为互相垂直且相等的两条弦，⊥OD AB ，O
E AC ⊥，
垂足分别为D ，E ，若4AB =，则
O 的半径是（ ）
A ．2
B ．2
C ．3
D ．425．在下列命题中，正确的是( )
A ．弦是直径
B ．半圆是弧
C ．经过三点确定一个圆
D ．三角形的外心一定在三角形的外部 6．点A ，B 的坐标分别为A (4，0)，B (0，4)，点C 为坐标平面内一点，BC ﹦2，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ）
A ．22＋1
B ．22＋2
C ．42＋1
D ．42-2 7．如图，⊙O 的半径为1，点 O 到直线 a 的距离为2，点 P 是直线a 上的一个动点，PA 切⊙O 于点 A ，则 PA 的最小值是（ ）
A ．1
B ．3
C ．2
D ．5
8．如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，点B 为劣弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．2
D ．22 9．已知AB 是经过圆心O 的直线，P 为O 上的任意一点，则点P 关于直线AB 的对称
点P '与O 的位置关系是（ ） A ．点P '在⊙○内 B ．点P '在O 外 C ．点P '在O 上 D ．无法确定
10．如图，ABC 的顶点A 是O 上的一个动点，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，边AC ，AB 分别交O 于点E ，D ，分别过点E ，D 作O 的切线交于点F ，且点F 恰好在边BC 上，连接OC ，若O 的半径为6，则OC 的最大值为（ ）
A ．393+
B ．2103+
C ．353+
D ．53
11．如图，半径为1cm 的P 在边长为9πcm ，12πcm ，15πcm 的三角形外沿三遍滚动（没有滑动）一周，则圆P 所扫过的面积为（ ）cm 2
A ．73π
B ．75π
C ．76π
D ．77π 12．一个圆锥的底面直径为4 cm ，其侧面展开后是圆心角为90°的扇形，则这个圆锥的侧面积等于（ ）
A ．4πcm 2
B ．8πcm 2
C ．12πcm 2
D ．16πcm 2
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
参考答案
二、填空题
13．已知正方形MNKO 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK 边与AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B 顺时针旋转，使KN 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使NM 边与CD 边重合，完成第二次旋转；…在这样连续的旋转过程中，第一次点M 在图中直角坐标系中的坐标是_______，第6次点M 的坐标是_______．
14．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒正方形CDEF 的顶点C 是弧AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为2时，阴影部分的面积为_______．
15．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，若∠A ＝70°，则∠BOC ＝________°．
16．如图，点A ，B ，C 在O 上，顺次连接A ，B ，C ，O ．若四边形ABCO 为平行四边形，则AOC ∠=________︒．
17．如图，矩形ABCD 和正方形BEFG 中2AB =，3AD =，1BE =，正方形BEFG 绕点B 旋转过程中，线段DF 的最小值为______．
18．如图，在圆O 的内接五边形ABCDE 中，40CAD ∠=︒，则B E ∠+∠=_______°．
19．在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，以点C 为圆心，2.5为半径作圆，那
么直线AB与这个圆的位置关系分别是_________．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，若以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB相切，则r的值是________
三、解答题
21．如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形BEFG中，点E在AB的延长线上，点
≥．以OF为半径的O与直线AB交于点G在BC上，点O在线段AB上，且AO BO
M、N．
（1）如图1，若点O为AB中点，且点D，点C都在O上，求正方形BEFG的边长．（2）如图2，若点C在O上，求证：以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值．
⊥．
（3）如图3，若点D在O上，求证：DO FO
22．如图，已知圆内接四边形ABDC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，AD为它的对角线．
求证：AD＝BD+CD．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC 于点E，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB交AB于点P，∠EAD＝∠DEB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝EP；
（3）若CG＝12，AC＝15，求四边形CFPE的面积．
=，以BC为直径的O交AB于点O，过点D作24．已知：如图，ABC中，BC AC
⊥于点E，交BC的延长线于点F．
DE AC
=，（2）DF是O的切线．
求证：（1）AD BD
25．如图，ABC内接于O，60
∠=︒，点D是BC的中点．BC，AB边上的高
BAC
AE，CF相交于点H．试证明：
∠=∠；
（1）FAH CAO
（2）四边形AHDO是菱形．
26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，分别交AC、AB的延长线于点E，F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，CE＝2，求CB的长．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
利用等弧和弦的概念，垂径定理以及弧，弦与圆心角之间的关系进行判断．
【详解】
解：A、弧的度数与所对圆心角的度数相等，所以同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等，故本选项正确；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
C、应强调这条弦不是直径，故本选项错误；
D、90°的圆周角所对的弦是直径，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，垂径定理以及确定圆的条件．熟练掌握相关概念是解题的关键．2．B
解析：B
【分析】
先根据底面周长可求得底面圆的半径，再根据圆锥的侧面积公式计算即可求解．
【详解】
解：∵2πr=8π，
∴r=4，
又∵母线l=5，
∴圆锥的侧面积＝πrl＝π×4×5＝20π．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆锥的侧面积计算方法，牢记有关圆锥和扇形之间的对应关系是解决本题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
首先求出∠AOB ，OB ，然后利用S 阴＝S △ABO −S 扇形OBD 计算即可．
【详解】
连接OB ．
∵AB 是⊙O 切线，
∴OB ⊥AB ，
∵OC ＝OB ，∠C ＝30°，
∴∠C ＝∠OBC ＝30°，
∴∠AOB ＝∠C ＋∠OBC ＝60°，
在Rt △ABO 中，∵∠ABO ＝90°，AB 3∠A ＝30°，
∴OB ＝ABtan30°=1，
∴S 阴＝S △ABO −S 扇形OBD ＝1232601360π⋅＝3π26
-． 故选：C ．
【点睛】
本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，直角三角形30度角性质，解题的关键是学会分割法求面积，记住扇形面积公式，属于中考常考题型．
4．A
解析：A
【分析】
根据垂径定理可知，AE=CE ，AD=BD ，易证四边形ODAE 是正方形，即可求得．
【详解】
如图，连接OA
∵⊥OD AB ，OE AC ⊥，AB ⊥AC
∴四边形ODAE 是矩形，AE=CE ，AD=BD
又∵4AB AC ==，
∴AE=AD=2
∴四边形ODAE 是正方形，且边长为2
∴O 的半径OA=22
故选A
【点睛】
本题考查垂径定理，掌握垂径定理的条件和结论是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据命题的“真”“假”进行判断即可．
【详解】
解：A、弦不一定是直径，原说法错误，不符合题意；
B、半圆是弧，说法正确，符合题意；
C、不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意；
D、三角形的外心不一定在三角形的外部，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
6．A
解析：A
【分析】
根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【详解】
解：如图，
点C 为坐标平面内一点，2BC =，
C ∴在B 上，且半径为2，
取4OD OA ，连接CD ， AM CM =，OD OA =，
OM ∴是ACD ∆的中位线， 12
OM CD ， 当OM 最大时，即CD 最大，而D ，B ，C 三点共线时，当C 在DB 的延长线上时，OM 最大， 4OB OD ，90BOD ∠=︒，
42BD ∴= 422CD ， 114222212
2OM CD ， 即OM 的最大值为221；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM 为最大值时点C 的位置是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
因为PA 为切线，所以△OPA 是直角三角形．又OA 为半径为定值，所以当OP 最小时，PA 最小．根据垂线段最短，知OP=2时PA 最小．运用勾股定理求解．
【详解】
解：作OP ⊥a 于P 点，则OP=2．
根据题意，在Rt △OPA 中， 22OP OA -2221=3-
故选：B．
【点睛】
此题考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PA最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上．
8．A
解析：A
【分析】
过B作关于直线MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，如图，由轴对称的性质可知AB′即为PA+PB的最小值，由同弧所对的圆心角和圆周角的性质可知∠AON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，由对称的性质可知∠B′ON＝∠BON＝30°，即可求出∠AOB′的度数，再由等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】
解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，如图，
则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点P，且PA+PB的最小值＝AB′，
∵∠AMN＝30°，OA=OM，
∴∠AON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，
∵点B为劣弧AN的中点，
∴∠BON＝1
2∠AON＝1
2
×60°＝30°，
由对称性可得∠B′ON＝∠BON＝30°，
∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝60°+30°＝90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，
∴AB′＝2OA＝2×1＝2，
即PA+PB的最小值＝2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，解答此题的关键是根据题意作出辅助线、构造出直角三角形，利用勾股定理求解．
9．C
解析：C
【分析】
圆是轴对称图形，直径所在的直线就是对称轴，从而得到圆上的点关于对称轴对称的点都在圆上求解．
【详解】
解：∵圆是轴对称图形，直径所在的直线就是对称轴，
∴点P关于AB的对称点P′与⊙O的位置为：在⊙O上，
故选：C．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，利用了圆的对称性求解．
10．A
解析：A
【分析】
先推出∠DOE=2∠DAE=60°，连接OE，OD，OF，证明Rt△EFO≌Rt△DFO，得到
∠EOF=∠DOF=30°，根据EO=6，在Rt△EFO中，∠EOF=30°，得出EF=23，推出点C在以EF为直径的半圆上，设EF中点为G，得出当OC经过半圆圆心G时，OC最长，即OC的值最大，求出OG，CG即可得出答案．
【详解】
在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠DAE是DE所对的圆周角，∠DOE是DE所对的圆心角，
∴∠DOE=2∠DAE=60°，
连接OE，OD，OF，
∵过点E，D作O的切线交于点F，
∴∠FEO=∠FDO=90°，
∴在Rt△EFO和Rt△DFO中
EO DO FO FO
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴Rt△EFO≌Rt△DFO（HL），
∴∠EOF=∠DOF=30°，
又∵EO=6，在Rt△EFO中，∠EOF=30°，
∴EF=
又∵点F 恰好是腰BC 上的点，∠ECF=90°，
∴点C 在以EF 为直径的半圆上，
∴设EF 中点为G ，则EG=FG=CG=1
2EF=12×， ∴当OC 经过半圆圆心G 时，OC 最长，即OC 的值最大，
在Rt △OEG 中，OE=6，
∴
，
∴
故选：A ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆的性质，证明Rt △EFO ≌Rt △DFO 是解题关键．
11．A
解析：A
【分析】
圆在三角形的三个角的顶点处旋转的路线是弧，通过观察可以发现圆转动时在三个角上共转动了圆心角360°，所以在三个顶点处转了一个圆的面积，在三个边上滚过的图形是以三角形边长为长，圆的直径为宽的矩形，然就分别计算，最后求和．
【详解】
解：根据运动特点可知三个顶点处转了一个圆的面积，在三个边上滚过的图形矩形 ∴圆P 所扫过的面积=π+（9π+12π+15π）×2
=73π
故选：A
【点睛】
解答本题的关键是，找出圆滚动一周的图形，并将图形进行分割，拼组，化难为易，列式解答即可．
12．D
解析：D
【分析】
设展开后的圆半径为r ，根据圆锥性质可知底面周长就等于展开后扇形的弧长，然后算出展开后扇形的半径，进而计算出扇形的面积．
【详解】
解：设展开后的扇形半径为r ，由题可得：
4π=2r π
解得r =8
∴S扇形=1
4
π×82 =16π
故选：D
【点睛】
此题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥侧面展开图与各部分对应情况是解题关键．二、填空题
13．【分析】先将正方形旋转六次的图形画出确定六次旋转之后点的位置然后通过添加辅助线构造出直角三角形进而利用含角的直角三角形的性质求得再根据勾股定理求得再根据正六边形的性质线段的和差即可求得即可得解【详解
解析：
13
,1
2
⎛⎫
+
⎪
⎪
⎝⎭
33
,
2
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
【分析】
先将正方形旋转六次的图形画出，确定六次旋转之后点M的位置，然后通过添加辅助线构造出直角三角形，进而利用30含角的直角三角形的性质求得
1
2
FH=、
1
2
CJ=，再根据
勾股定理求得
6
3
JM=，再根据正六边形的性质、线段的和差即可求得
3
2
JF=，即可得解．
【详解】
解：经历六次旋转后点M落在点6
M处，过M作MH x
⊥于点H，过6
M作
6
M J x
⊥
于点J，连接6
IM，如图：
∵在Rt AFH 中，1AF =，60AFH ∠=︒，30FAH ∠=︒ ∴1122
FH AF ==
∵已知点M 的纵坐标是11MH =
∴点M 的坐标是：1,12⎛ ⎝⎭
； ∵在6Rt CJM 中，61CM =，660JCM ∠=︒，630CM J ∠=︒
∴61122CJ CM ==，62
JM == ∵点I 是正六边形的中心
∴1IC IF == ∴32
JF IF IC CJ =+-=
∴点6M 的坐标是：3,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
．
故答案是：1,12⎛
⎝⎭；32⎛ ⎝⎭
【点睛】
本题考查了正多边形、旋转变换、含30角的直角三角形、勾股定理、线段的和差以及坐标系中的图形与坐标，体现了数形结合的数学思想． 14．π﹣2【分析】连结OC 根据勾股定理可求OC 的长根据题意可得出阴影部分的面积＝扇形BOC 的面积﹣三角形ODC 的面积依此列式计算即可求解【详解】解：连接OC ∵在扇形AOB 中∠AOB ＝90°正方形CDEF
解析：π﹣2
【分析】
连结OC ，根据勾股定理可求OC 的长，根据题意可得出阴影部分的面积＝扇形BOC 的面积﹣三角形ODC 的面积，依此列式计算即可求解．
【详解】
解：连接OC ，
∵在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，正方形CDEF 的顶点C 是弧AB 的中点，
∴∠COD ＝45°，
∴OC
＝，
∴阴影部分的面积＝扇形BOC 的面积﹣三角形ODC 的面积
＝2
45360
π⨯⨯﹣12×22
＝π﹣2．
故答案为：π﹣2．
．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算以及正方形的性质，解题的关键是得到扇形半径的长度． 15．125【分析】根据三角形内角和性质结合题意可计算得的值；根据内切圆的性质分析可计算得的值从而完成求解【详解】∵∠A ＝70°∴∵⊙O 是△ABC 的内切圆∴∴∴故答案为：125【点睛】本题考查了三角形内角
解析：125
【分析】
根据三角形内角和性质，结合题意，可计算得ABC ACB ∠+∠的值；根据内切圆的性质分析，可计算得OBC OCB ∠+∠的值，从而完成求解．
【详解】
∵∠A ＝70°
∴180110ABC ACB A ∠+∠=-∠=
∵⊙O 是△ABC 的内切圆 ∴12OBC ABC ∠=∠，12
OCB ACB ∠=∠ ∴11111055222
OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯= ∴180********BOC OBC OCB ∠=-∠-∠=-=
故答案为：125．
【点睛】
本题考查了三角形内角和、三角形内切圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形内切圆的性质，从而完成求解．
16．120【分析】连接OB 先证明四边形ABCD 是菱形然后再说明△AOB △OBC 为等边三角形最后根据等边三角形的性质即可解答【详解】解：如图：连接OB ∵点在上∴OA=OC=OB ∵四边形为平行四边形∴四边形
解析：120
【分析】
连接OB ，先证明四边形ABCD 是菱形，然后再说明△AOB 、△OBC 为等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可解答．
【详解】
解：如图：连接OB
∵点A ，B ，C 在O 上
∴OA=OC=OB ∵四边形ABCO 为平行四边形
∴四边形ABCO 是菱形
∴OA=OC=OB=AB=BC
∴△AOB 、△OBC 为等边三角形
∴∠AOB=∠BOC=60°
∴∠AOC=120°．
故答案为120．
【点睛】
本题主要考查了圆的性质和等边三角形的性质，根据题意证得△AOB 、△OBC 为等边三角形是解答本题的关键．
17．【分析】由勾股定理可求BD=BF=由题意可得点F 在以点B 为圆心BF 为半径的圆上则当点F 在线段DB 上时DF 的值最小即可求解【详解】解：连接BDBF ∵矩形∴∠C=90°∴∵正方形∴∴点F 在以点B 为圆心B 132【分析】
由勾股定理可求132，由题意可得点F 在以点B 为圆心，BF 为半径的圆上，则当点F 在线段DB 上时，DF 的值最小，即可求解．
【详解】
解：连接BD 、BF
∵矩形ABCD ，2AB =，3AD =，
∴∠C=90° ∴222313BD =+=∵正方形BEFG ，1BE = ∴22112=+=BF
∴点F在以点B为圆心，BF为半径的圆上，
∴当点F在线段DB上时，DF的值最小，
∴DF的最小值=BD-BF=132
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理的运用，正确的判断出DF最小时F点的位置是解答此题的关键．
18．220【分析】连接CE根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD然后求解即可【详解】
解析：220
【分析】
连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．
【详解】
连接CE，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，
∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠B＋∠AEC＝180°，
∵∠CED＝∠CAD＝40°，
∴∠B＋∠AED＝180°＋40°＝220°
【点睛】
本题考查圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题关键．
19．相交【分析】根据勾股定理作于点则的长即为圆心到的距离利用等积法求出的长与半径比较大小再作判断【详解】解：如图作于点∵的两条直角边斜边即半径是直线与圆相交【点睛】此题考查的是勾股定理直线与圆的位置关系 解析：相交
【分析】
根据勾股定理，5AB =．作CD AB ⊥于点D ，则CD 的长即为圆心C 到AB 的距离．利用等积法求出CD 的长，与半径比较大小，再作判断．
【详解】
解： 如图， 作CD AB ⊥于点D ．
∵Rt ABC 的两条直角边3BC =，4AC =，
∴斜边5AB =． 1122
ABC S AC BC AB CD ∆=
=，即 512CD ，
2.4CD ．
半径是2.5 2.4>，
∴直线与圆C 相交 ．
【点睛】
此题考查的是勾股定理，直线与圆的位置关系，熟悉相关性质是解题的关键． 20．【分析】根据相切的定义可得利用等面积法即可求解【详解】解：∵∠C ＝90°AC ＝3cmBC ＝4cm ∴由题意可得∴即故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系勾股定理掌握相切的定义是解题的关键
解析：125
【分析】
根据相切的定义可得CD AB ⊥，利用等面积法即可求解．
【详解】
解：∵∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，
∴225cm AB AC BC =+=，
由题意可得CD AB ⊥，
∴1122AC BC AB CD ⋅=⋅，即125
CD =， 故答案为：
125． 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、勾股定理，掌握相切的定义是解题的关键．
三、解答题
21．（1）
12；（2）见解析；12；（3）证明见解析 【分析】 （1）连接OC ，设BE=EF=x ，则OE=x+
12，得出(x+12)2+x 2＝(12)2+12，解得：x=12，则答案求出；
（2）连接OC ，设OB=y ，BE=EF=x ，同（1）可得，OE 2+EF 2=OF 2，OB 2+BC 2=OC 2，得出x 2+（x+y ）2=y 2+12，即x （x+y ）=12
，则结论可得证； （3）连接OD ，设OA=a ，BE=EF=b ，则OB=1-a ，则OE=1-a+b ，可得出12+a 2=（1-a+b ）2+b 2，得出a=b ，则OA=EF ，证明Rt △AOD ≌Rt △EFO （HL ），则得出∠FOE=∠ODA ，结论得出．
【详解】
解：（1）连接OC
∵四边形ABCD 和四边形BEFG 为正方形，
∴AB=BC=1，BE=EF ，∠OEF=∠ABC=90°，
∵点O 为AB 中点，
∴OB=12AB=12
， 设BE=EF=x ，则OE=x+
12， 在Rt △OEF 中，∵OE 2+EF 2=OF 2，
∴(x+12
)2+x 2＝OF 2， 在Rt △OBC 中，∵OB 2+BC 2=OC 2，
∴(1
2
)2+12=OC2，
∵OC，OF为⊙O的半径，∴OC=OF，
∴(x+1
2)2+x2＝(
1
2
)2+12，
解得：x=1
2
，
∴正方形BEFG的边长为1
2
；
（2）证明：如图2，连接OC，
设OB=y，BE=EF=x，
同（1）可得，OE2+EF2=OF2，OB2+BC2=OC2，∴OF2=x2+（x+y）2，OC2=y2+12
∵OC，OF为⊙O的半径，
∴OC=OF，
∴x2+（x+y）2=y2+12，
∴2x2+2xy=1，
∴x2+xy=1
2
，
即x（x+y）=1
2
，
∴EF×OE=1
2
，
∴以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，这个定值为1
2
．（3）证明：连接OD，设OA=a，BE=EF=b，则OB=1-a，则OE=1-a+b，
∵∠DAO=∠OEF=90°，
∴DA2+OA2=OD2，OE2+EF2=OF2，
∴12+a 2=OD 2，（1-a+b ）2+b 2=OF 2，
∵OD=OF ，
∴12+a 2=（1-a+b ）2+b 2，
∴（b+1）（a-b ）=0，
∵b+1≠0，
∴a-b=0，
∴a=b ，
∴OA=EF ，
在Rt △AOD 和Rt △EFO 中，
OD OF OA EF
⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △AOD ≌Rt △EFO （HL ），
∴∠FOE=∠ODA ，
∵∠DAO=90°，
∴∠ODA+∠AOD=90°，
∴∠FOE+∠AOD=90°，
∴∠DOF=90°，
∴DO ⊥FO ．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了圆的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的面积等知识，熟练运用方程的思想是解题的关键．
22．见解析．
【分析】
连接BC ，证明∠ADB ＝∠ADC ＝60°，在AD 上取点E 、F ，使DE ＝DB 、DF ＝DC ，连接BE 、CF ，证明△BDE 、△CDF 为正三角形，再证明∠AEB ＝∠CFA ＝120°，∠EAB ＝∠FCA ，证明△ABE ≌△CAF ，可得AE ＝CF ，从而可得结论．
【详解】
解：连接BC ， ∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，
∴ △ABC 为等边三角形，
∴ ∠ABC ＝∠ACB ＝60°，
,,AC AC AB AB ==
∴ ∠ADC ＝∠ABC 60,=︒ ∠ADB ＝∠ACB 60,=︒
在AD 上取点E 、F ，使DE ＝DB 、DF ＝DC ，连接BE 、CF ，
∴△BDE 、△CDF 为等边三角形，
∴∠DEB ＝∠DFC ＝60°，,,DE BD CF DC ==
∴∠AEB ＝∠CFA ＝120°，
又∠FAC+∠FCA ＝∠DFC ＝60°、∠FAC+∠EAB ＝∠BAC ＝60°，
∴∠EAB ＝∠FCA ，
在△ABE 和△CAF 中，
∵EAB FCA AEB CFA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABE ≌△CAF （AAS ），
∴AE ＝CF ，
∴AD ＝DE+AE ＝BD+FC ＝BD+CD ．
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）面积是45
【分析】
（1）由等腰三角形的性质和直径定理可得∠AED=90°，∠OED=∠ADE ，由余角的性质可得∠DEB+∠OED=90°，进而可得∠BEO=90°，可得结论；
（2）由平行线的性质和等腰三角形的性质可证AE 为∠CAB 的角平分线，由角平分线的性质可得CE=EP ；
（3）连接PF ，先证四边形CFPE 是菱形，可得CF=EP=CE=PF ，由“AAS”可证△ACE ≌△APE ，可得AP=AC=15，由勾股定理可求CF 的长，即可求解．
【详解】
证明：（1）连接OE ，
∵OE ＝OD ，
∴∠OED ＝∠ADE ，
∵AD 是直径，
∴∠AED ＝90°，
∴∠EAD +∠ADE ＝90°，
又∵∠DEB＝∠EAD，
∴∠DEB+∠OED＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）∵∠BEO＝∠ACB＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠OEA，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∴AE为∠CAB的角平分线，
又∵EP⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CE＝EP；
（3）连接PF，
∵CG＝12，AC＝15，
∴AG22
-9，
AC CG
-225144
∵∠CAE＝∠EAP，
∴∠AEC＝∠AFG＝∠CFE，
∴CF＝CE，
∵CE＝EP，
∴CF＝PE，
∵CG⊥AB，EP⊥AB，
∴CF∥EP，
∴四边形CFPE是平行四边形，
又∵CE＝PE，
∴四边形CFPE是菱形，
∴CF＝EP＝CE＝PF，
∵∠CAE＝∠EAP，∠EPA＝∠ACE＝90°，CE＝EP，∴△ACE≌△APE（AAS），
∴AP ＝AC ＝15，
∴PG ＝AP ﹣AG ＝15﹣9＝6，
∵PF 2＝FG 2+GP 2，
∴CF 2＝（12﹣CF ）2+36，
∴CF ＝152
， ∴四边形CFPE 的面积＝CF ×GP ＝
152×6＝45． 【点睛】
本题考查了圆的综合题，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）如图（见解析），先根据圆周角定理可得90BDC ∠=︒，再根据等腰三角形的三线合一即可得证；
（2）先根据等腰三角形的三线合一可得ACD BCD ∠=∠，再根据等腰三角形的性质可得ODC BCD ∠=∠，从而可得ACD ODC ∠=∠，然后根据平行线的判定与性质可得OD DF ⊥，最后根据圆的切线的判定即可得证．
【详解】
（1）如图，连接CD ， BC 是O 的直径，
90BDC ∴∠=︒，即CD AB ⊥，
又BC AC =，
CD ∴是AB 边上的中线（等腰三角形的三线合一），
AD BD ∴=；
（2）如图，连接OD ，
,BC AC CD AB =⊥，
ACD BCD ∴∠=∠，
OC OD =，
ODC BCD ∴∠=∠，
ACD ODC ∴=∠∠，
//OD AC ∴，
DE AC ⊥，即DF AC ⊥，
OD DF ∴⊥，
又OD 是O 的半径，
DF ∴是O 的切线．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的三线合一、圆周角定理、圆的切线的判定等知识点，较难的是题（2），熟练掌握圆的切线的判定定理是解题关键．
25．（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）连接AD ，根据题意易得,BAD CAD OD BC ∠=∠⊥，则有∠DAE=∠ODA ，∠DAO=∠ODA ，然后根据角的等量关系可求解；
（2）过点O 作OM ⊥AC 于M ，由题意易得AC=2AM ，AC=2AF ，进而可证
△AFH ≌△AMO ，然后可得四边形AHDO 是平行四边形，最后问题可证．
【详解】
证明：（1）连接AD ，如图所示：
∵点D 是BC 的中点，
∴,BAD CAD OD BC ∠=∠⊥，
∵AE ⊥BC ，
∴AE ∥OD ，
∴∠DAE=∠ODA ，
∵OA=OD ，
∴∠DAO=∠ODA ，
∴∠BAD-∠DAE=∠CAD-∠DAO ，
∴∠FAH=∠CAO ；
（2）过点O 作OM ⊥AC 于M ，
∴AC=2AM ，
∵CF ⊥AB ，∠BAC=60°，
∴AC=2AF，
∴AF=AM，
∵∠AFH=∠AMO=90°，∠FAH=∠OAM，
∴△AFH≌△AMO（ASA），
∴AH=AO，
∵OA=OD，
∴AH//CD，
∴四边形AHDO是平行四边形，
∵OA=OD，
∴四边形AHDO是菱形．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理、垂径定理及菱形的判定，熟练掌握圆周角定理、垂径定理及菱形的判定是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）8
【分析】
（1）连接OD交BC于H，证出OD∥AE，得出OD⊥EF，即可得出结论；
（2）证四边形CEDH是矩形，得HD＝CE＝2，由三角形中位线定理得OH＝1
2
AC＝3，则
OB＝OD＝OH＋HD＝5，得AB＝2OB＝10，由勾股定理即可得出答案．【详解】
（1）证明：连接OD交BC于H，如图所示：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥EF，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠HCE＝90°，
又∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
由（1）得：OD⊥EF，
∴∠HDE＝90°，
∴四边形CEDH是矩形，
∴HD＝CE＝2，
∴∠CHD＝90°，
∴∠OHB＝90°，
∴OD⊥BC，
∴OH平分BC，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OH＝1
AC＝3，
2
∴OB＝OD＝OH+HD＝5，
∴AB＝2OB＝10，
∴CB
2
-＝8．
AC
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、垂径定理、三角形中位线定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；解题的关键是掌握切线的判定与性质和圆周角定理．。