数学：新人教A版必修二 4.2直线、圆的位置关系(同步练习).pdf

4．M（ x0 , y0 ) 为圆 x 2 + y 2 = a 2 (a 0) 内异于圆心的一点，则直线 x0 x + y0 y = a2 与该
圆的位置关系（ ）
A．相切
B．相交
C．相离
D．相切或相交
5．已知实数 x，y 满足 2x + y + 5 = 0, 那么 x2 + y 2 的最小值（ ）
A． x 2 + y 2 = 1 16
B． x 2 + y 2 = 16
C． y 2 − x 2 = 8
D． x 2 + y 2 = 8
3．已知圆 x2+y2+2 x-6y+F=0 与 x+2y-5=0 交于 A, B 两点, O 为坐标原点,
若 OA⊥OB, 则 F 的值为 (
)
A0
B1
C -1
D2
22．（本小题满分 14 分）如图 9-3，已知：射线 OA 为 y=kx(k>0，x>0)，射线 OB 为 y= －kx(x>0)，
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动点 P(x，y)在∠AOx 的内部，PM⊥OA 于 M，PN⊥OB 于 N，四边形 ONPM 的面积恰为 k. （1）当 k 为定值时，动点 P 的纵坐标 y 是横坐标 x 的函数，求这个函数 y=f(x)的解析式； （2）根据 k 的取值范围，确定 y=f(x)的定义域.
4
3
故所求的直线方程是 y − 3 = − 3 (x + 3) ，或 y − 3 = − 4 (x + 3) ，
4
3
学海无涯
即 3x＋4y－3＝0，或 4x＋3y＋3＝0．
18．解：（方法一）直线 l：x+my+m=0 恒过
A（0，-1）点，k AP
=
−1−1 0 +1
=
−2 ，k AQ
=
−1− 2 0−2
22. 解：（1）设 M(a，ka)，N(b，-kb) ，(a> 0，b>0)。
则|O M|=a 1 + k 2 ，|ON|=b 1 + k 2 。
由动点 P 在∠AOx 的内部，得 0<y<kx。
∴|PM|= | kx − y | = kx − y ，|PN |= | kx + y | = kx + y
即 a+b+1=0，得 b= -a-1 ①
直线 l 的方程为 y-b=x-a，即 x-y+b-a=0
b−a+3
CM=
2
∵以 AB 为直径的圆 M 过原点，∴ MA = MB = OM
MB 2 = CB 2 − CM 2 = 9 − (b − a + 3)2 ， OM 2 = a 2 + b2 2
∴ 9 − (b − a + 3)2 = a 2 + b2 ② 2
2k − 3
2k − 3
2
而直线 l：x+my+m=0 当 m≠0 时：斜率为 − 1 m
∴ − 1 ＞ 3 或 − 1 ＜-2∴ − 2 ＜m＜ 1
m2 m
3
2
当 M 与 P 重合时，k=-2；当 M 与 P 重合时，k= 3 2
∴所求 m 的范围是 − 2 m 1
3
2
19．解：设圆心坐标为 P(a, b), 则圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2=25,
学海无涯
的取值范围是 （ A R>1
） B R<3
C 1<R<3
D R≠2
10．设△ABC 的一个顶点是 A（3，－1），∠B，∠C 的平分线方程分别是 x=0，y=x，则直线
BC 的方程是 （ ）
A．y=2x+5
B．y=2x+3
C．y=3x+5
D． y = − x + 5 22
11．已知直线 l 过点（− 2，0），当直线 l 与圆 x 2 + y 2 = 2x 有两个交点时，其斜率 k 的取值
k x−a
k x−b
分别解得 a= x + ky ，b= x − ky ，代入①式消 a、b，并化简得 x2-y2=k2+1。
1+ k2
1+ k2
∵y>0，∴y= x2 − k 2 −1
（2）由 0<y<kx，得 0< x2 − k 2 −1 <kx
x 2
x
2
−k2 −k2
−1 −1
0 k 2 x2
x k 2 + 1 (1 − k 2 )x 2
k2
+ 1 ②
(*)
当 k=1 时，不等式②为 0<2 恒成立，∴(*) x> 2 。
当
0<k<1
时，由不等式②得
x2<
k 1
2
−
+ k
1
2
，x<
1− k4 1− k 2
，∴(*)
k 2 + 1 <x< 1 − k 4 。 1− k 2
当 k>1 时，由不等式②得 x2> k 2 + 1 ，且 k 2 + 1 <0，∴(*) x> k 2 + 1
15．已知 A（－4，0），B（2，0）以 AB 为直径的圆与 y 轴的负半轴交于 C，则过 C 点的圆
的切线方程为
.
16．过直线 x = 2 上一点 M 向圆 (x + 5)2 + (y − 1)2 = 1作切线，则 M 到切点的最小距离为
_
____.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分）自点（－3，3）发出的光线 L 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射线
∴ AQ = OA = 2 = 2
PQ OP 1
P
Q 设 Q 点坐标为（x，y）；P 点坐标为（x0，y0）
O
Ax
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∴
x
y
= =
2 + 2x0
1+ 2 0 + 2y0
1+ 2
即x0
y0
= =
3x − 2
2 3 y 2
∵ P（x0，y0）在圆 x2+y2=1 上运动，∴x02+y02=1
3
2
∴所求 m 的范围是 − 2 m 1
3
2
（方法三）设直线 l：x+my+m=0 与线段 PQ 有交点为 M 且 M 不同于 P，Q 两点，
设 PM = MQ( ＞0)由向量相等得：M ( 2 −1, 2 + 1) 1+ 1+
∵直线过点 A（0，-1）
∴直线的斜率 k= k + 2 而 ＞0∴ k + 2 ＞0 解得： k ＞ 3 或 k ＜-2
=
3 2
则 − 1 3 或 − 1 −2 ∴ − 2 m 1 且 m≠0
m2 m
3
2
又∵m=0 时直线 l：x+my+m=0 与线段 PQ 有交点，
∴所求 m 的范围是 − 2 m 1
3
2
Q P
（方法二）∵P，Q 两点在 直线的两侧或其中一点在直线 l 上， A
∴（-1+m+m）·（2+2 m +m）≤0 解得： − 2 m 1
A． 5 B． 10 C．2 5
D．2 10
6．已知点 P（3，2）与点 Q（1，4）关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为（ ）
A． x − y + 1 = 0
B． x − y = 0
C． x + y + 1 = 0
D． x + y = 0
7．已知 a b，且 a 2 sin +acos － =0 ，b 2 sin +bcos － =0，则连接（a，a 2 ），
范围是 （
）
A（− 2 2，2 2） B（− 2，2）C（− 2 ， 2 ） D（− 1，1）
44
88
12．若关于 x 的方程 4 − x2 − kx − 3 + 2k = 0 有且只有两个不同的实数根，则实数 k 的取
值范围是 （ ）
A．
5 12
,
+
B．
5 12
,1
C．
0,
5 12
D．
5 12
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直线、圆的位置关系测试
一、选择题（本题每小题 5 分，共 60 分）
1．已知θ∈R，则直线 x sin − 3y +1 = 0 的倾斜角的取值范围是
A．[0°，30°]
B．[150,180)
C．[0°，30°]∪ [150,180)
D．[30°，150°]
（）
2．已知两点 M（－2，0），N（2，0），点 P 满足 PM PN =12，则点 P 的轨迹方程为（ ）
它关于 x 轴的对称圆的方程是 (x − 2)2 + ( y + 2)2 = 1.
设光线 L 所在直线方程是： y − 3 = k(x + 3).
由题设知对 称圆的圆心 C′（2，-2）到这条直线的距离等于 1，即 d = | 5k + 5 | = 1 ． 1+ k2
整理得12k 2 + 25k + 12 = 0, 解得 k = − 3 或k = − 4 ．
∵ (－2, 6)在圆上，∴ (a＋2)2＋(b－6)2=25, 又以 M(5, 4)为中点的弦长为 2 5 ，
∴ |PM|2=r2－ 5 2, 即(a－5)2＋(b－4)2=20,
联立方程组
(a (a
+ −
2) 2 5) 2
+ (b − 6)2 + (b − 4)2
= 25
,
= 20
两式相减得 7a－2b=3,
即 3x − 2 2 + 3 y 2 = 1 2 2
此即 Q 点的轨迹方程。
∴
x − 2 2 + y 2 = 4
3
9
21．圆 C 化成标准方程为 (x − 1)2 + ( y + 2)2 = 32
假设存在以 AB 为直径的圆 M，圆心 M 的坐标为（a，b）
由于 CM⊥ l，∴kCMkl= -1 ∴kCM= b + 2 = −1， a −1
,
3 4
二、填空题（本题每小题 4 分，共 16 分）
13．已知圆 C1：(x − 2)2 + ( y − 1)2 = 10与圆C2：(x + 6)2 + ( y + 3)2 = 50 交于 A、B 两点，
则 AB 所在的直线方程是__________。 14．过 P（－2，4）及 Q（3，－1）两点，且在 X 轴上截得的弦长为 6 的圆方程是______
将 b= 7a − 3 代入 2
得 53a2－194a＋141=0, 解得 a=1 或 a= 141 , 相应的求得 b1=2, b2= 414 ,
53
53
∴ 圆的方程是(x－1)2＋(y－2)2＝25 或(x－ 141 )2＋(y－ 414 )2＝25
53
53
20．解：在△AOP 中，∵OQ 是AOP 的平分线 y
1+ k2 1+ k2
1+ k2 1+ k2
∴S 四边形 ONPM=S△ONP+S△OPM= 1 （|OM|·|PM|+|ON|·|PN|） 2
= 1 [a(kx-y)+b(kx+y)]= 1 [k(a+b)x - (a-b)y]=k
2
2
∴k(a+b)x-(a-b)y=2k
①
学海无涯
又由 kPM= - 1 = y − ka ， kPN= 1 = y + kb ，
把①代入②得 2a2 − a − 3 = 0 ，∴ a = 3 或a = −1 2
当 a = 3 ,时b = − 5 此时直线 l 的方程为 x-y-4=0；
2
2
当 a = −1,时b = 0 此时直线 l 的方程为 x-y+1=0
故这样的直线 l 是存在的，方程为 x-y-4=0 或 x-y+1=0
Байду номын сангаас
参考答案
一、选择题：
1 C 2 B 3 A 4 C 5 A 6 A 7 A 8 B 9 C 10 A 11 C 12 D
13. 2x+y=0
14. (x－1)2＋(y－2)2=13 或(x－ 3)2＋(y－4)2=25
15. 2x − 4y − 8 2 = 0
16. 4 3
17.解：已知圆的标准方程是 (x − 2)2 + ( y − 2)2 = 1,
1− k2
1− k2
但垂足 N 必须在射线 OB 上，否则 O、N、P、M 四点不能组成四边形，所以还必须满足
条件：y< 1 x，将它代入函数解析式，得 x2 − k 2 −1 < 1 x
4
4
（b，b 2 ）两点的直线与单位圆的位置关系是
（）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
8．直线 l1：x+3y-7=0、l2：kx- y-2=0 与 x 轴、y 轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则 k
的值等于
（）
A．－3
B．3
C．－6
D．6
9． 若圆 (x −1)2 + ( y + 1)2 = R2 上有且仅有两个点到直线 4x+3y=11 的距离等于 1，则半径 R
所在直线与圆 x 2 + y 2 − 4x − 4 y + 7 = 0 相切，求光线 L 所在直线方程．
18．已知线段 PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线 l：x+my+m=0 与线段 PQ 有交点，求 m 的范围．
19．半径为 5 的圆过点 A(－2, 6)，且以 M(5, 4)为中点的弦长为 2 5 ，求此圆的方程。 20．已知定点 A(2,0) ， P 点在圆 x 2 + y 2 = 1 上运动， AOP的平分线交 PA 于 Q 点，其 中 O 为坐标原点，求 Q 点的轨迹方程． 21．已知圆 C： x 2 + y 2 − 2x + 4 y − 4 = 0 ，是否存在斜率为 1 的，使直线 l 被圆 C 截得的 弦 AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线 l 的方程，若不存在说明理由。