【备战】高中数学 第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式配套课件 理 新人教B版

讲
探究点二 倍角公式的应用
例 2 (1)[2012·郑州调研] 设 α 为锐角，若
cosα＋π6
考 向
＝45，则 sin2α＋1π2的值为(
)
3 5 7 2 17 2 8 2 A. 17 B. 25 C. 50 D. 35
(2)已知 α 为第二象限角，sinα＋cosα＝ 33，则 cos2α
＝( )
cos2α＝11＋－ttaann22αα.(
)
(3)对任意的角 α，有 sinπ4－α＝cosπ4＋α.(
)
[答案] (1)①× ②× (2)× (3)√
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
❖
双 向
固
[解析]
(1)①
1 2
cosx
－
3 2
sinx
＝
cos
π 3
cosx
－
sin
π 3
sinx
点，以 x 轴的非负半轴为始边作锐角 α，钝角 β，它们的终边分
别与单位圆相交于 A，B 两点，且 A，B 两点的横坐标分别为 23，
－12，那么 sinα＋2 β的值等于(
)
6－ 2 A. 4
B.
2＋ 4
6 C．－
2＋ 4
6
D．－
6－ 4
2
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
❖
点 面
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
❖
双 向
固
基
[解析] 取 α＝π2，β＝π3，则 cos(α－β)＝cosπ6＝ 23，cosα
础 ＋cosβ＝cosπ3＝12，等式不成立．
(2)公式 S(α±β)与 C(α±β)对任意的角 α，β 均适用，在公
式 T(α±β)中，要求 tanα，tanβ，tan(α±β)都有意义，即 α，β，
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
❖❖是公点 面 讲 考式相的对归的变纳，形总如在结2解α题是注中α的意起倍“重角和要，”作而“用4差，α是”要2“掌α的倍握倍”这角都些； 变向形公式及其应用，特别是二倍角的余弦公式 的变形，它能起到化倍角为单角的升幂作用， 也能起到化单角为倍角的降幂作用．
面 讲 考 向
A．－73
7 B.3
C.57 D．1
(2)[2012·安徽卷] 在平面直角坐标系中，点 O(0，0)，P(6，
8)，将向量O→P绕点 O 按逆时针方向旋转34π后得向量O→Q，则
点 Q 的坐标是( )
A．(－7 2，－ 2) B．(－7 2， 2)
C．(－4 6，－2) D．(－4 6，2)
2_c_o_s_2α_－__1_＝_1_－_2_s_i_n_2α_， 1－cos2α
公式可变形为：sin2α＝___2_____，cos2α＝
1＋cos2α
____2____；
2tanα
3．公式 T2α：tan2α＝1_－__t_a_n2_α__．
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
A．－
5 3
B．－
5 9
C.
5 9
D.
5 3
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
思考流程 (1)分析：依据 α＋π6与 2α＋π3的倍角关系；
❖
点 面
推理：利用倍角与差角关系；结论：得出函数的值． (2)分析：依据三角函数中和角及二倍角公式；推理：
讲 考
求出角的象限和 2α 的正弦值；结论：得出 2α 的余弦值．
基 础＝11－ ＋ttaann22αα.
(3)由公式，有 sinπ4－α＝sinπ4cosα－cosπ4sinα＝ 22(cosα －sinα)，
cosπ4＋α＝cosπ4cosα－sinπ4sinα＝ 22(cosα－sinα)，故等式 成立．
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考点统计
考 向
(2)由 sinα＋cosα＝ 33及 α 为第二象限角有 2kπ＋π2<α<2kπ
＋34π(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋32π(k∈Z)．原式两边平方得
2sinαcosα＝sin2α＝－23，∴cos2α＝－ 35，故选 A.
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
❖❖切活点 面 讲 考公选式用[求公点值式评，或] 要公应注 式用意 的二观 变倍察 形角所；的求给正式值弦子求、的值余结问弦构题、，，正灵关 键向是寻找已知条件中的角与所求式子中的角之 间的关系，把已知与未知联系起来；求解这类 问题时，要注意与其他公式的综合，如下面变 式题．
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
变式题 (1)[2012·山东卷] 若 θ∈π4，π2，sin2θ＝387，则 sinθ＝( )
❖
点 面
A.35
B.45
C.
7 4
D.34
讲
考 向
(2)已知 tanx＋π4＝2, 则ttaann2xx的值为(
)
5424 A.9 B.7 C.9 D.9
向
[答案] (1)C (2)A
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[解析] (1)由条件得 sinα＋π6＝35，从而 sin2α＋π6＝2245，
❖ 点 面 讲c22o45s×222α－＋2π675×＝222＝×121657－ 5012＝. 275，从而 sin2α＋1π2＝sin2α＋π3－π4＝
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
❖
双 向
固
基
础
❖
一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
12． ．公 公式 式❖
S—(α±—β)：si知n(α±识β)＝_s梳i_n_α_c_o理_sβ_±__—c_o_s_—α_s_in_β__；
C(α±β)：cos(α±β)＝_c_o_sα_c_o_s_β_∓_s_i_n_α_si_n_β_；
α±β 都不等于π2＋kπ(k∈Z)．
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
❖
双 向
固
基
础
2．公式的变形
(1)判断下列各式化简的结果是否正确：
①12cosx－ 23sinx＝cosπ3－x.(
)
②11－ ＋ttaannαα＝tanα－π4.(
)
(2)用 tanα 表示 sin2α，cos2α，得 sin2α＝1－2tatannα2α，
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
变式题 (1)实数 a，b 均不为零，若aascionsαα＋－bbcsoinsαα＝tanβ，
❖
且
点 面 讲 考
β－α＝π6，则ba＝( )
A. 3
3 B. 3
C．－
3
D．－
3 3
向
(2)[2012·银川模拟] 在平面直角坐标系中，以原点 O 为顶
sinθ＝34.
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
❖
点
(2) 因 为
tan2
x＋π4
＝
2tanx＋π4 1－tan2x＋π4
＝
2×2 1－22
＝
－
4 3
，
而
面 讲 考 向t2a，n所2x＋以π2解＝得－tacnoxt＝2x， 13，所所以以tattanan2n2xxx＝＝3449，. 又因为 tanx＋π4＝t1a－nxt＋an1x＝
题型(考频)
题型示例(难度)
❖
选择(1)
2012年广东T16(B)，
❖ 点1.两角和与差的三角函数公式 填空(1)
面
解答(11)
讲 考
选择(3)
向
2.倍角公式
填空(1)
❖
3.角变换
❖
解答(6) 填空(11) 解答(1)
2012年福建T17(B)， 2012年湖北T17(B) 2012年北京T15(A)， 2012年福建T17(B)
P
6，8
，
所
以
O→P
＝
(10cosα
，
10sinα)⇒cosα＝35，sinα＝45，
则O→Q＝10cosα＋34π，10sinα＋34π＝(－7 2，－ 2)．故 答案为 A.
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
❖❖正准点 面 讲 考确切使公[式用点求公评值式] ，；应其已用关知两键三角是角和熟函与练数差掌值的握求正公角弦式，、的应余特根弦点据、， 条向件确定角的范围，然后选择求取值范围内的 具有单调性的一个三角函数值，最后由三角函 数值求角的值；高考中，常与同角三角函数的 基本关系式、诱导公式综合，考查三角函数求 值问题．
❖
双 向
固
基
础
—— 疑 难 辨 析 ——
1．公式的适用范围 (1)当 α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cosα＋cosβ 成立；
若 α，β 为任意角，cos(α－β)＝cosα＋cosβ 也成立．( )
(2)两角和与差的正弦、余弦、正切公式对任意的角
都适用．( )
[答案] (1)× (2)×
讲
考
向
[答案] [解析]
((11))∵B tan(2β)＝B aascionsαα＋－bbcsoinsαα＝1t－antαa＋nαba·ba，
令 tanφ＝ba，∵β－α＝π6，∴tanα＋π6＝tan(α＋φ)，
∴α＋φ＝α＋π6＋kπ(k∈Z)，∴tanφ＝
3 3.
(2)由任意角的三角函数定义，得 cosα＝ 23，cosβ＝－12，
[答案] (1)D (2)D
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[解析] (1)本题考查三角函数的二倍角公式，考查运算求解能 力，中档题．
❖
点 面
讲
考
向
方法一：∵θ∈π4，π2，sin2θ＝3 8 7，
∴cos2θ＝－ 1－3872＝1－2sin2θ，解之得 sinθ＝34.
方法二：联立2sinθcosθ＝3 8 7，解之得 sin2θ＋cos2θ＝1，
第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[解析] (1)因为直线 l：xtanα－y－3tanβ＝0 的斜率为 2，在
❖
y 轴上的截距为
点 面 讲＝1.
1，所以
tanα＝2，tanβ＝－13，tan(α＋β)＝21－ ＋1323
考 向
(2)本题考查三角函数的和角公式，点的坐标．
设 ∠POx ＝ α ， 因 为
2012年广东T16(B)
❖
说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题，考频分析
2012年课标地区真题卷情况．
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
❖ ► 探究点一 两角和与差的三角函数公式的应用
例 1 (1)[2012·深圳调研] 已知直线 l：xtanα－y－3tanβ
❖ 点 ＝0 的斜率为 2，在 y 轴上的截距为 1，则 tan(α＋β)＝( )
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[思考流程] (1)分析：依据直线斜率及截距的定义得
到正切值；推理：求出和角的正切；结论：得出对应的值．
❖
点 面 讲 考
(2)分析：由点的坐标得出正余弦值；推理：求出 34π的正余弦] (1)D (2)A
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
❖ ❖点面间的关归系纳如总下结表：两角和与差的三角函数公式以及倍角公式之
讲 考 向
❖
两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角
的三角函数运算规律”，对公式要会“正用”“逆用”“变
形用”，记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符
号“＋”“－”的变化特点．
3．公式 T(α±β)：tan(α±β)＝__________________，
公式可变形为：tanα±tanβ＝t_a_n_(_α_±_β_)_(_1_∓_t_a_n_α_ta_n_β．)
❖ ❖
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
❖
双 向
固
基
础
二、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．公式 S2α：sin2α＝_2_si_n_α_c_o_sα_； 2．公式 C2α：cos2α＝_c_o_s_2α_－__s_in_2_α___＝
∵α 为锐角，β 为钝角，
∴α＝30°，β＝120°，则 α＋β＝150°，
∴sin
α＋β 2
＝
sin75°＝
sin(45°＋
30°)
＝
sin45°cos30°＋
cos45°sin30°＝
2 2×
23＋
22×12＝
6＋ 4
2，故选 B.
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
❖❖点 面 ►
❖
双 向
固
基
础
❖
点 面
讲 考 向
第21讲
两角和与差的正弦、
❖
多 元
余弦和正切公式
提
能
力
❖
教 师
备
用
题
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考试大纲
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切 公式． 3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、 正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它 们的内在联系．
＝
基 础cosπ3＋x.
②11－ ＋ttaannαα＝1t＋anπ4ta－nπ4ttaannαα＝tanπ4－α＝－tanα－π4.
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第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
❖
双 向
固
(2)sin2α
＝
2sinαcosα sin2α＋cos2α
＝
2tanα 1＋tan2α
，
cos2α
＝
cos2α－sin2α sin2α＋cos2α