安徽省马鞍山二中1617学年度高二下学期期中考试——数

安徽省马鞍山二中
2016—2017学年度下学期期中考试
高二数学理试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟
考生注意：1.用0.5mm 黑色墨水笔直接在答题卷中作答。

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

第Ⅰ卷（选择题共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡上用2B 铅笔将正确选项的代号涂黑.
1. 已知为虚数单位,则的共轭复数的实部与虚部的乘积等于（ ▲ ） A . B . C . D .
2. 在复平面内，复数，对应的点分别为A,B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ▲ ） A ． B. C. D.
3.已知函数32()(2)x f x x x ax a e =++-,为的导函数，则的值为（ ▲ ）
A ．0 B. 1 C. D.不确定 4. 已知函数在时取得极值，则是函数的（ ▲ ）
A ．极小值 B. 极大值 C.可能是极大值也可能是极小值 D.是极小值且也是最小值 5.函数图像上任意一点处的切线倾斜角为，则取值范围为（ ▲ ） A ． B. C. D. 6.计算定积分的值为（ ▲ ）
A ．0 B. 2 C.4 D.
7. 某西方国家流传这样一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”。

结论显然是错误的，这是因为（▲ ）
A ．大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D. 非以上错误 8. 已知函数的导函数的图象如图所示，则关于函数，下列说法正确的是（ ▲ ） A ．在处取得极大值
B ．在区间上是增函数
C ．在处取得极大值
D ．在区间上是减函数
9. 已知是方程的两个相异根，当（为虚数单位）时，则为 （ ▲ ）
A. B. C. D.
10.在数学解题时，常会碰到形如“”的结构，这时可以类比正切的和角公式，若是非零实数，且满足sin
cos
85
5tan 15cos sin 55
a b a b ππ
πππ+=-，则=（▲）
A.1
B.
C.
D.
11.已知函数，若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围是（ ▲ ） A. B. C. D. 12.给出下列不等式：
①ln(1)1)
x x x
≥+>-
（
21
2(0)
22
x
x x
-+->③
3
1
ln2()((0,1))
13
x x
x x
x
+
>+∈
-
其中成立的个数是（▲）
A.0
B.1
C.2
D.3
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数
（Ⅰ）求曲线过的切线方程；
（Ⅱ）求曲线与直线及轴所围图形的面积。

18. (本小题满分12分)如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为，
对应的复数为，对应的复数为。

（Ⅰ）求D点对应的复数；
（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积。

19. (本小题满分12分)设函数2
()(0),,,
f x ax bx c a a b c
=++≠均为整数，且均为奇数。

求证：无整数根
20. (本小题满分12分) 已知()()3221,f x x ax a x a R =--+∈．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若的图像不存在与平行或重合的切线，求实数的取值范围．
21. (本小题满分12分)是否存在使等式2
2
2
2
2123n an bn c n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
+++
+=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
对一切都成立 若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论。

22. （本小题满分12分）已知函数的导函数为，满足，且 （Ⅰ）求的表达式
（Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值
马鞍山市第二中学2017—2018学年度
第二学期期中素质测试答案
高二 理科数学 试 题
三解答题17.解（Ⅰ）设切线与曲线相切于
由，切线斜率，解得，故切线的方程为 5分
（Ⅱ）依题，所求图形面积 10分 18.解：（Ⅰ）依题点A 对应的复数为,对应的复数为
得， 又对应的复数为
得设D 点对应的复数为，得(5,2),(2,2)CD x y BA =-+=-- ABCD 为平行四边形，,解得，故D 点对应的复数为 6分 （Ⅱ）(2,2),(4,4)AB BC AB BC ==-⇒⊥,又
故平行四边形ABCD 的面积为16 12分 19.证明：假设有整数根
则220am bm c am bm c ++=⇒+=-⑴ 由已知，为奇数，为奇数，为偶数 当为偶数时，为偶数，显然与⑴式矛盾
当为奇数时，设则2(21)(2)am bm k ka a b +=+++为偶数，也与⑴式矛盾 故假设不成立。

方程无整数根
12分 (20)解：（Ⅰ）()2232)(3)f x x ax a x a x a '=--=
-+（ 21.解：取可得184********a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得：131216a b c ⎧=⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪
=⎪⎩
下面用数学归纳法证明2
2
2
2
2123231(1)(21)66n n n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
+++
+==
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
即证222(1)(21)
126
n n n n ++++
+=
①时，左边=1，右边=1，等式成立 ②假设时等式成立，即222(1)(21)
126
k k k k +++++=
成立
则当时，等式左边=22222(1)(21)
12(1)(1)6
k k k k k k ++++
+++=
++
22(1)(21)6(1)(1)(276)
66
k k k k k k k +++++++==
当时等式成立
由数学归纳法，综合①②当等式成立 故存在使已知等式成立
22.解：（Ⅰ）由2/2/()2()ln (())ln x f x xf x x x f x x ⇒+=⇒=
设，
22ln 1=ln ()22e x e
x f x x x x f x x x x
-+
⇒=-+（）（） 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）
令，则
知在增，减，而 在为减，在也为减
故， 12分。