北师大版高中数学选修2-2吉安一中—下学期第二次段考.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
吉安一中2012—2013学年度下学期第二次段考
高二数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数z 满足22(2)0z i +-=，则复数z 为（ ）
A ．2i -
B ．(12)i ±+
C ．2i -±
D ．2i ±
2．已知曲线C 的极坐标方程为θρsin 4=，将其化为直角坐标是（ ）
A ．4)2(22=+-y x
B ．4)2(22=++y x
C ．4)2(22=++y x
D ．4)2(22=-+y x
3．参数方程⎩
⎨⎧+-=+=θθ
2cos 1sin 22y x （θ为参数）化为普通方程是（ ）
A ．042=+-y x
B ．042=-+y x
C ．042=+-y x ]3,2[∈x
D ．042=-+y x ]3,2[∈x
4．已知随机变量()
2,0~σN X ，且3.0)02(=≤≤-X P ，则=>)2(X P （ ）
A ． 0.1
B ． 0.2
C ． 0.3
D ． 0.4
5．已知集合{}
{}{}5,4,3,3,2,1===C B A ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数是（ ）
A ． 33
B ． 34
C ． 35
D ． 36 6．设函数()
())()(03cos )(x f x f x x f '+<<-+=，若ϕπϕ是偶函数，则ϕ=（ ）
A ．
3
π B ．
6
π C ．3
π-
D ．6
π-
7．某种种子每粒发芽的概率是%90，现播种该种子1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望与方差分别是（ ）
A ． 100 90
B ． 100 180
C ． 200 180
D ． 200 360
8．下列命题：
①设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()
y f x =
在点(1,(1))f 处切线的斜率为12-
； ②关于x 的不等式2
(3)(42)a x a x -<-对任意的(0,1)a ∈恒成立，则x 的取值范围是
2
(,1][,)3
-∞-+∞，
③变量X 与Y 相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；
变量U 与V 相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则210r r <<； ④下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据
x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5
根据上表提供的数据，得出ｙ关于ｘ的线性回归方程为x a y 7.0+=，则a =－0.35； 以上命题正确的个数是（ ）
A ． 0
B ． 1
C ． 2
D ． 3
9．已知函数2()ln f x x mx n x =++（0x >，实数m ，n 为常数）．且230n m +=（0m >），若函数()
f x 在[1,)x ∈+∞上的最小值为0，则m = （ ）
A ．
3
2e
B ．
2
3e
C ．
2
3
D ． 1-
10．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的
图形面积为()()()
00S t S =，则导函数()y S t '=的图像大致为（ ）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案写在答题卷上）
11．若()11f x x x =++-，则满足()4f x ≥的实数x 的取值范围为________．
12．直线2()1x t
t y t
=-+⎧⎨
=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为________．
13．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，5都不与3相邻的六位偶数的个数是________．
14．已知0
2
cos()6a x dx π
π
=+⎰
，则二项式10
2
a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中二项式系数最大项为________． 15．有下列命题：
①若函数4
4
()cos sin '()112
h x x x h π
=-=-，则；
②若函数)(x f 在R 存在导函数，则'(2)[(2)]'f x f x =；
③若函数()(1)(2)(2012)(2013)g x x x x x =----，则(2013)2012!g '=；
④若三次函数32()f x ax bx cx d =+++，则“0a b c ++=”是“)(x f 有极值”的充要条件． 其中真命题的序号是________．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程）
16．（满分12分）一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，
某月产量如表(单位：辆)：
轿车A 轿车B 轿车C
舒适型
100 150 z 标准型
300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆．
（1）求z 的值；
（2）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，
从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率．
17．（满分12分）如果)0()31(2
≠+
x x x n 展开式中的第五项与第三项的二项式系数之比为314，
（1）求n 的值；
（2）求展开式中常数项的值； （3）求展开式中各项的系数和｡
18．（满分12分）已知函数2
1(1)
()21()x c cx x c f x x c -+<<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩
满足3
9()8f c =．
（1）求常数c 的值；
（2）解关于x 的不等式()421f x <+．
19．（满分12分）如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进． 现在投掷一个质
地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字． 质点P 从
A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到
B ）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前两步（如由A 到
C ），当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如由A 到
D ）． 在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．
（1）求点P 恰好返回到A 点的概率； （2）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随机变量ξ表示
点P 恰能返回到A 点的投掷次数，求ξ的分布列及数学期望．
C D A B
20．（满分13分）已知函数32()(0,)f x ax bx cx a x R =++≠∈为奇函数，且()f x 在1x =处取极大值2．
（1）求函数()y f x =的解析式；
（2）记()
()(1)ln f x g x k x x
=
++，求函数()y g x =的单调区间； （3）在（2）的条件下，当2k =时，若函数()y g x =的图像都在直线y x m =+的下方，
求m 的取值范围．
21．（满分14分）已知函数)(x f =)(1ln R a x ax ∈+-，x xe x g -=1)(． （1）求函数)(x g 在区间],0(e 上的值域；
（2）是否存在实数a ，对任意给定的],0(0e x ∈，在区间],1[e 上都存在两个不同的)2,1(=i x i ，使得
)()(0x g x f i =成立．若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）给出如下定义：对于函数)(F x y =图象上任意不同的两点),(),,(2211y x B y x A ，如果对于函数
)(F x y =图象上的点),(00y x M （其中)2
2
10x x x +=总能使得)
)((F )(F )(F 21021x x x x x -'=-成立，则称函数具备性质“L ”，试判断函数)(x f 是不是具备性质“L ”，并说明理由．
吉安一中2012-2013学年度下学期第二次段考高二数学参考答案（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1～5 BDDBA 6～10 CDCAA
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11． x ≤－2或x ≥2 12． 82 13． 108
14．555
10328064C x x -=- 15． ①③
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程）
16．（满分12分）一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，
某月产量如表(单位：辆)：
轿车A 轿车B 轿车C
舒适型
100 150 z 标准型
300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆．
（1）求z 的值；
（2）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，
从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率． 解：(1) 设该厂本月生产轿车为n 辆，由题意得，
5010100300
n =+， 2000n = ……… 3分 所以 z = 2000－100－300－150－450－600 = 4…………………………………… 6分
(2) 设所抽样本中有m 辆舒适型轿车，因用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以
40010005
m
=，解得m=2，也即抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车………… 8分 所以从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率为232537
111010
C C -=-
= ………… 12分 17．（满分12分）如果)0()31(2
≠+x x x n 展开式中的第五项与第三项的二项式系数之比为314．
（1）求n 的值；（2）求展开式中常数项的值；（3）求展开式中各项的系数和．
解：（1）第三项系数为2
n C ，第五项系数为4
n C …………………………………………… 2分
由第五项与第三项系数之比为3
14
，得4
2143n n C C =，解得10=n ………………… 4分
（2）令第)1(+r 项为常数项，则2
54010102101)1(1)(r
r
r r
r
r
r x
C x x C T --+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⋅=…… 5分
令0540=-r ，解得8=r ………………………………………………………… 6分
故所求的常数项为88
910(1)45T C =⋅-= ……………………………………………… 8分
（3）令1x =得各项数和为10
10141048576(1)
()=3
359049+=………………………………… 12分 18．（满分12分）已知函数2
1(1)
()21()x c cx x c f x x c -+<<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩
满足3
9()8f c =．
（1）求常数c 的值；（2）解不等式()421f x <+．
解：（1）因为1c >，所以3c c > ……………………………………………………… 3分
由3
9()8
f c =，即3
2
9
2
18
c c -+=，3c = ……………………………… 6分
（2）由（1）得()()
93113()213x
x x f x x -⎧+<<⎪
=⎨⎪+≥⎩， ， ………………………………… 7分 由()421f x <+得，
当13x <<时，31x +<421+，解得42
13
x <<
……………………… 9分 当3x ≥时，921421x
-+<+，解得3x ≥ ……………………………… 11分
所以不等式()421f x <+的解集为：421,33x x x ⎧⎫⎪⎪
<<≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭
或 ………… 12分 19．（满分12分）如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进． 现在投掷一个质
地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字． 质点P 从A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到B ）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前两步（如由A 到C ），当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如由A 到D ）． 在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止． （1）求点P 恰好返回到A 点的概率；
（2）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随机变量ξ表示
点P 恰能返回到A 点的投掷次数，求ξ的分布列及数学期望．
解：（1）投掷一次正方体玩具，因每个数字在上底面出现是等可能，故其概率P 1＝26＝1
3 … 1分
易知只投掷一次不可能返回到A 点 …………………………………………………… 2分 ①若投掷两次质点P 就恰好能返回到A 点，则上底面出现的两个数字
应依次为：(1，3)、(3，1)、(2，2)三种结果，其概率为P 2＝(13)2
×
3＝13 …………… 3分 ②若投掷三次质点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的三个数字
应依次为：(1，1，2)、(1，2，1)、(2，1，1)三种结果，其概率为P 3＝(13)3
×
3＝19 …4分 ③若投掷四次质点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的四个数字应依次为：(1，1，1，1)，
其概率为P 4＝411
()3
81
=
………………………………………………………………… 5分 所以，质点P 恰好返回到A 点的概率为：23411137
398181
P P P P =++=++= ………………… 6分
（2）由(1)知，质点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果共有以上问题中的7种情况，
且ξ的可能取值为2，3，4 ……………………………………………………………… 7分
则P(ξ＝2)＝1273373781=，P(ξ＝3)＝199373781=，P(ξ＝4)＝1181373781
= (
算对每个概率得1分) … 10分
所以，Eξ＝2×
2737＋3×937＋4×137＝85
37
……………………………………………… 12分 20．（满分13分）已知函数32()(0,)f x ax bx cx a x R =++≠∈为奇函数，且()f x 在1x =处取极大值2．
（1）求函数()y f x =的解析式；
（2）记()
()(1)ln f x g x k x x
=++，求函数()y g x =的单调区间； （3）在（2）的条件下，当2k =时，若函数()y g x =的图像的直线y x m =+的下方，
求m 的取值范围．
解：（1）由f （x ）=ax 3+bx 2
+cx （a ≠0）为奇函数，∴f （－x ）= －f （x ），解得，b=0 … 1分
∴f'（x ）=3ax 2
+c ，且f （x ）在x=1取得极大值2．
C D A B
∴
解得1,3a c =-= ………………………………… 3分
∴f （x ）= －x 3
＋3x ………………………………………………………………………… 4分
（2）由（1）得：g （x ）=﹣x 2
+3+（k+1）lnx
∴ …………………………………… 5分
因为函数定义域为（0，+∞）， 所以
①当k=﹣1时，g '（x ）=﹣2x ＜0，函数在（0，+∞）上单调递减 …………………… 6分 ②当k ＜﹣1时，k+1＜0，∵x ＞0， ∴
．可得函数在（0，+∞）上单调递减 ………… 7分
③当k ＞﹣1时，k+1＞0，令g'（x ）＞0，得
，∵x ＞0，
∴﹣2x 2
+（k+1）＞0，得
，又x ＞0，得
；
令g'（x ）＜0，得
， 同上得2x 2
＞（k+1），解得
，
∴k ＞﹣1时，单调递增区间为（0，
），单调递增区间为（，+∞） …… 8分
综上：当k ≤﹣1时，函数的递减区间为（0，+∞），无递增区间
当k ＞﹣1时，函数的递增区间为（0，
），递减区间为（，+∞）…… 9分
（3）当k=2时，g （x ）=﹣x 2
+3+3lnx ，
令h （x ）= g （x ）－（x+m ）= －x 2
－x ＋ 3lnx ＋3－m （x > 0）………………… 10分
3
()21h x x x
'=--+令h'（x ）=0，即
，解得x=1，（舍）… 11分
由函数y=h （x ）定义域为（0，+∞），
则当0＜x ＜1时，h'（x ）＞0；当x ＞1时，h'（x ）＜0，
∴当x=1时，函数h （x ）取得最大值1﹣m ．………………………………………… 12分 依题有1﹣m ＜0，解得m ＞1
故m 的取值范围是（1，+∞） ………………………………………………………… 13分 21．（满分14分）已知函数)(x f =)(1ln R a x ax ∈+-，x xe x g -=1)(． （1）求函数)(x g 在区间],0(e 上的值域；
（2）是否存在实数a ，对任意给定的],0(0e x ∈，在区间],1[e 上都存在两个不同的)2,1(=i x i ，使得
)()(0x g x f i =成立．若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）给出如下定义：对于函数)(F x y =图象上任意不同的两点),(),,(2211y x B y x A ，如果对于函数
)(F x y =图象上的点),(00y x M （其中)2
2
10x x x +=总能使得)
)((F )(F )(F 21021x x x x x -'=-成立，则称函数具备性质“L ”，试判断函数)(x f 是不是具备性质“L ”，并说明理由．
解：（1）∵111()(1)x x
x g x e x e e x ---'=-=-， ∴()g x 在区间]1,0(上单调递增，在区间),1[e 上单调递减，且2(0)0,(1)1()0e
g g g e e
-==>=>， ∴()g x 的值域为]1,0( …… 4分
（2）令)(x g m =，则由（1）可得]1,0(∈m ，原问题等价于：对任意的]1,0(∈m
m x f =)(在],1[e 上总有两个不同的实根，故)(x f 在],1[e 不可能是单调函数 …… 5分
∵1()(1)f x a x e x '=-≤≤ ， 其中]1,1
[1e x ∈
①当1
a e
≤时，0)(<'x f ，)(x f 在区间],1[e 上单调递减，不合题意 ……………… 6分
②当1≥a 时，0)(>'x f ，)(x f 在区间],1[e 上单调递增，不合题意 ………………… 7分
③当e a <<11，即11<<a e 时，)(x f 在区间]1,1[a 上单调递减；)(x f 在区间],1
[e a
上单递增， 由上可得)1,1
(e
a ∈， 此时必有min ()0f x ≤ 且 max ()1f x ≥ ……………………… 9分
而由0ln 2)1
()(min ≤+==a a f x f 可得211a e e
≤<，则Φ∈a ，
综上，满足条件的a 不存在． ………………………………………………………… 10分 （3）设函数)(x f 具备性质“L ”，即在点M 处的切线斜率等于AB k ，不妨设210x x <<，
则 2
12
12121212121ln ln )ln (ln )(x x x x a x x x x x x a x x y y k AB ---=----=--=
……………… 11分 而)(x f 在点M 处的切线斜率为120122()()2x x f x f a x x +''==-+，故有2
121212
ln ln x x x x x x +=-- … 12分 即1)
1(
2)
(2ln
2
121
2
12121+-=+-=x x x x x x x x x x ，令)1,0(21∈=
x x t ，则左式化为0214ln =-++t t …13分 令=)(t F 21
4
ln -++t t ，则由0)1()1()1(41)(22
>+-=+-='t t t t t t F 可得)(t F 在)1,0(上单调递增， 故0)1()(=<F t F ，即方程021
4
ln =-++t t 无解， 所以函数)(x f 不具备性质“L ” …………………………………………………………… 14分。