《向量习题》PPT课件

3.利用向量及其运算的几何意义,可使问题直观明了.
2
变式1．如图在 ABC中，已知AB=3 , AC=2 ,BAC120
D为BC边上的点，且BD=2DC,求 AD BC 的值．
解: AD=AB+BD=AB+ 2 BC
A
3
2
2
1
=AB+ห้องสมุดไป่ตู้
3
(AC-AB)=
3
AC+ 3
AB
BC=AC-AB
B
D
C
所以
AD BC=( 2 3
1 AC+ 3
AB )(AC-AB
)
2A C 21A C A B1A B 2
33
3
24123(1)192
33
23 3
变式2．如图在 ABC中，已知AB=3 , AC=2 ,BAC120 D,E为BC边上的点，且BE=ED=DC,求 AD AE 的值．
略解:
A
AD
BC=( 2 3
1 AC+ 3
AB
1 )(
3
AC-
2 3
AB )
2 21
2021/8/17
1
例1.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面ABC内一点
P满足PA+PB+PC=AB,在下列四个结论:①P在△ABC
的外部②P在△ABC内部③P在直线AB上④P在边AC
上,正确的是
.
本题还可以有以下变形: 分解析答由::P本A+题由P主PBA+要+PPC考B=查+APB平C得=面:A向B得量由:的PA加+减PB运+P算C及-A两B=个0 向量共线的条
2
A
N
B
所以 M Q N P (1 A D 1 A B )(1 A D 1 A B )
24 22
1A D 21A B 23A D A B 4 88
141163 48
同学们不仿试试,仿照上述例题自己编题解答.
例7．如图,平面上有三个向量 OA ,OB ,OC , OA = OB =1,
OC = 2 3 ， A O B 1 2 0, A O C 9 0,若OC=m OA+n OB
B
12
ED
C
A CA C A BA B
93
9
24123(1)2 91
93
29 9
变式3．如图在长方形ABCD中，已知AB=4,BC=2 ,M,N,P为长
方形边上的中点,Q是边CD上的点,且CQ=3DQ,求 MQ NP 的
值．
略解: MQ= 1
1
AD+ AB
D
Q
C
2
4
1
1
M
P
NP= AD+ AB
2
解答三：因如为图(aa=在(1b三,0))角,a-a形b=A，(0B所,Cm中以)．，(所a设以bA)bB==aaa-(,00A,mC，)==b(1,,则-mC)，B=a-b ,
所所以以因所所即因c为 以 因以o为B sa为mb A 2c0C =o B(s１a Aa C,24b 或b5 )m1，aB，A08=CB0a－b所，，１以，即所21所2，+以21，以m， 三a1=2角=(=12形,4,2 05)Ac,bao B=sC．(１为,直B0角１三，)．a角-b形，
ab 2
即向即量向a量与ab与的b夹的角夹为角为4 5 4 ．5 ．A
b
C
例4.已知向量 a(1,2),b(2,m ),a与b的夹角为 4 5 .
(1)求b的坐标;
(2)若c与b同向,且(c-a) a,求c的坐标.
解分答析::(求2)b因的为坐c标与,b实同质向是,所求以m可,的设值c由=n条b=件(-2an与,6bn的)(夹n>角0).为4 5 约解束方.程所第组以(即2c)-可问a=.与(-2第n-(11,6)n问-2本).质上是一样的,利用待定系数法
M． ．
所所以以向向量量OCOC的的坐坐标标为为(-(1-,12,)2．)．
D
AO
x
例6．如图在 ABC中，已知AB=3 ,AC=2 ,D为BC边的中
点，求 AD BC 的值．
A
分析:本题给出的条件仅是AB,AC 长度,因此问题中的两个向量应与
E.
它们之间有一定关系,而寻求这种
关系就是正确解答本题的关键.
B
D
C
解答:取AB中点E,因为D为BC的中点,所以
点面评上:任D由两E平个面A不C向共,量D线E基=的本1 向A定量C理,线知性,表平示面,上且任是一唯向一量的都,可解以答由此平类 所即以题((A12的))DA选将关DB择问键C平题B有的C面中=两值=(上的A点为12两向E:(+A 个量EC 5D不用22) 共基(.BA线底AB+的表2A)向示C) 量;=521作2 (为AB基+底AC;)(AC-AB)
a解●b得<0:也m并＜不52 是,且am与b的0．夹角为钝角的充条件.
所以:m的取值范围是m＜
5 2
,且m
0．
例３.已知 a 1 , b 2 ,且 (ab)a ，求a与b的夹角．
分析：要求a与b的夹角，由于 ababcos
故只需求出 a b 即可．
解答解一答：二设：a与因b为的(夹a角b为) a，，a 1 ，不仿设：
因为(0,O2C3) 2 m 3(1 ,,所0)以On(D=12,,O3 E)=4,
所所所以以以mmO+C12n=n=-O6D0,+
O3En=-2O2A2-34.O即2B 2
m2,n4.
C
所以m+n=-6.
Ax E
小结: 1.熟练向量运算法则及运算律是解答向量问题的关键;
2.灵活运用平面向量基本定理,将平面上的任一向量用平 面上的两个不共线的向量线性表示是解题的突破口;
由 (c-a) a得: ( 2 n 1 ) 1 (6 n 2 ) 2 0 解答:(解1)得由n a b 12 .a 所以b向co 量s4 c的5得坐:标为(-1,3). 解点条得评件m:的求个16字数(,母 或与2的)求m 值知2 往 数m 往2的 要(个舍从5 数去 问是)题.4 相的等m 条的2件 ,入只22手需列,一出般关情于况求下
B′
D
P
则 AB', AC' 是分别与 AB, AC 同向 A
C′
C
的单位向量.
则 AB' AC' 的方向为 BAC的平
分线AD的方向,
O
所以点P在 BAC的平分线AD上.
例2.已知向量a=(1,-2),b=(0,1),若a与a+mb的夹角为锐角,
求m的取值范围.
分析:由于a与a+mb的夹角为锐角，故有
知数的方程,解方程组3 即可,这种用方程来处理数学问题
所的以思b想的在坐数标学为解(-题2,6中).很普遍,同学们要高度重视.
例5．在直角坐标系中，已知A(-1,0),B(3,4),若点C在 AOB
的平分线上，且 OC 5 ，求向量 OC 的坐标.
分析：该问题的本质是求两个数，可以通过利用待定数法 解方程组求解．
解解答答二一：：如设图向设量DO=C(-5=,(0x),，y)，则由：题意得：
c则由oOAs有C于 OMOA BO D(的-C =15O平,2B)，分c,=oO5线s,C O 就BC是O O C M,BAD即,OB,设的xB平25xD分的y 32线中5x.点5 ,45为y M．．, y
B
解检因得验为：得：xO=Cx－=1－ ,,y1=,5,y2,=，2或．x=1，y=－2．
因件实为，际P关上BP键由-AA+是平BP=条面BP+A件向P, C中量=的基所PB向本以-P量定:AP太理,C=多知2，，AP必平, 须面减上少的向任量一的向个量数都，可 即以向由量即平P:CP面C与上=向2两A量P个,A不P共共线线,的且向P为量A线C性的表一示个.三等分点, 所以即点向P在量边PCA与C向上量. AP共线,且P为AC的一个三等分点,
所以点P在边AC上.
变式:设O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,
动点P满足: OPOA(ABAC),0,则点P在
AB AC
(1) BAC的平分线AD上,(2)高线AE上,(3)中线AF
上 ,(4)BC边的垂直平分线上.
B
解答:设 A B A B ' , A C A C '
AB
AC
求m+n的值． 分解析答:二本:题建主立要如考图查所平示面的向直量角基坐标系.
本解由定答已理一知及:延可实长设数AO与OA,和B=量O(1,的,作0积)平,.行OB四=边( 形12 , 23D) ,
y B
O
ODOCCE=,使(0,OC2为3对) 角线,则有:
由 OD CO =C m O9 A0 +,n OO BC D 得 , 3 0.
a●(a+mb)>0,且a与a+mb不平行.
解答:因为a=(1,-2),b=(0,1),所以a+mb=(1,-2+m),
点评:因要为特a别与注a+意mb的夹角为锐角，
a●b>0并不是a与b的夹角为锐角的充要条件. 所以a(a+mb)>0,且a与a+mb不平行，
同样道理:
即1-2(-2+m)>0,-2-(-2+m) 0,