2019年秋北师大版数学九年级上册同步训练第1课时 一元二次方程的实际应用(一)

6 第1课时一元二次方程的实际应用(一)
知识点1用一元二次方程解决几何图形问题
1．某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10 m．设游泳池的长为x m，则可列方程为()
A．x(x－10)＝375B．x(x＋10)＝375
C．2x(2x－10)＝375 D．2x(2x＋10)＝375
2．如图2－6－1，某农场有一块长40 m、宽32 m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路．要使种植面积为1140 m2，求小路的宽．
图2－6－1
知识点2用一元二次方程解决动态几何图形问题
3．如图2－6－2，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，BC＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，同时点Q以2 cm/s的速度向点D 移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动．经过多长时间，P，Q两点之间的距离是10 cm?
图2－6－2
4．某军舰以每小时20 km的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以每小时30 km的速度由南向北航行，它能侦察到周围50 n mile(包括50 n mile)范围内的目标．如图2－6－3所示，当该军舰行至A处时，电子侦察船位于A处正南方向的B处，且AB＝90 n mile.如果军船和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由．
图2－6－3
5．如图2－6－4所示，一根木棍OE垂直平分柱子AB，AB＝200 cm，OE＝260 cm，一只老鼠C由柱子底端点A以2 cm/s的速度向顶端点B爬行，同时，另一只老鼠D由点O 以3 cm/s的速度沿木棍OE爬行，当老鼠C在线段OA上时，是否存在某一时刻，使两只老鼠与点O组成的三角形的面积为1800 cm2？若存在，求出爬行的时间；若不存在，请说明理由．
图2－6－4
6．如图2－6－5，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是()
图2－6－5
A．(32－2x)(20－x)＝570
B．32x＋2×20x＝32×20－570
C．(32－x)(20－x)＝32×20－570
D．32x＋2×20x－2x2＝570
7．如图2－6－6，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A出发沿边AB 向终点B以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B出发沿边BC向终点C以2 cm/s的速度
移动．经过x s后△PDQ的面积等于28 cm2，则x的值为()
图2－6－6
A．1或4 B．1或6
C．2或4 D．2或6
8．某单位准备将院内一块长30 m、宽20 m的长方形空地建成一个矩形花园．要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图2－6－7所示．要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)
图2－6－7
9．如图2－6－8所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A 开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s 的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．
(1)几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?
(2)几秒后，PQ的长度等于5 cm?
(3)△PBQ的面积能否等于7 cm2?
图2－6－8
教师详解详析
1．A
2．解：设小路的宽为x m ．图中的小路平移到矩形边上时，种植面积是不改变的． ∴(40－x )(32－x )＝1140，
解得x 1＝2，x 2＝70(不合题意，舍去)． 答：小路的宽为2 m.
3．解：设经过x s ，P ，Q 两点之间的距离是10 cm ，根据题意，得 62＋(16－5x )2＝102，
整理，得25x 2－160x ＋192＝0， 解得x 1＝1.6，x 2＝4.8.
答：经过1.6 s 或4.8 s ，P ，Q 两点之间的距离是10 cm. 4．解：航行途中侦察船能侦察到这艘军舰．
设侦察船由B 出发经过x 小时能侦察到军舰，则(90－30x )2＋(20x )2＝502， 整理，得13x 2－54x ＋56＝0， 即(13x －28)(x －2)＝0， ∴x 1＝2，x 2＝28
13.
∵2<2813
，
∴侦察船由B 处出发最早经过2小时能侦察到这艘军舰． 5．解：存在．
因为OE 垂直平分AB ，AB ＝200 cm ，
所以OA ＝100 cm.
当老鼠C 在OA 上运动时，设两只老鼠同时爬行x s 时，两只老鼠与点O 组成的△COD 的面积为1800 cm 2，
则AC ＝2x cm ，OC ＝(100－2x )cm ，OD ＝3x cm. 由S △OCD ＝1
2OC ·OD ，
得1
2(100－2x )·3x ＝1800. 整理，得x 2－50x ＋600＝0. 解得x 1＝20，x 2＝30. 当x ＝20时，2x ＝40<100； 当x ＝30时，2x ＝60<100， 所以x ＝20和x ＝30均符合题意．
所以当两只老鼠同时爬行20 s 或30 s 时，它们与点O 组成的△COD 的面积为1800 cm 2. 6．A [解析] 将两条纵向的道路向左平移，水平方向的道路向下平移，即可得草坪的长为(32－2x )m ，宽为(20－x )m ，所以根据草坪的面积为长与宽的乘积，即可列出方程．
7．C [解析] ∵S
矩形
ABCD －S △APD －S △BPQ －S △CDQ ＝S △PDQ ，∴12×
6－12×12x －12
×2x (6－x )－1
2
×6×(12－2x )＝28，化简、整理，得x 2－6x ＋8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4. 8．解：设小道进出口的宽度为x m ，根据题意，得(30－2x )(20－x )＝532. 整理，得x 2－35x ＋34＝0. 解得x 1＝1，x 2＝34.
∵34>30，∴x 2＝34不合题意，舍去，∴x ＝1. 答：小道进出口的宽度应为1 m.
9．解：(1)设x s 后，△PBQ 的面积等于4 cm 2. 此时AP ＝x cm ，BP ＝(5－x )cm ，BQ ＝2x cm. 由S △PBQ ＝1
2BP ·BQ ＝4，
得1
2(5－x )·2x ＝4. 整理，得x 2－5x ＋4＝0， 解得x 1＝1，x 2＝4. 当x ＝4时，2x ＝8>7，
说明此时点Q 越过点C ，不符合题意，舍去， ∴1 s 后，△PBQ 的面积等于4 cm 2.
(2)设y s 后PQ 的长度等于5 cm ，此时AP ＝y cm ，BP ＝(5－y )cm ，BQ ＝2y cm. 由BP 2＋BQ 2＝52，得(5－y )2＋(2y )2＝52. 整理，得y 2－2y ＝0，
解得y 1＝0(不合题意，舍去)，y 2＝2. ∴2 s 后，PQ 的长度等于5 cm.
(3)假设△PBQ 的面积能等于7 cm 2，此时点P ，Q 的运动时间为z s ，则1
2(5－z )·2z ＝7，
整理，得z 2－5z ＋7＝0.
∵Δ＝b 2－4ac ＝(－5)2－4×7＝－3<0， ∴方程没有实数根，
∴△PBQ 的面积不可能等于7 cm 2.。