高中数学 第3章 §4导数的四则运算法则课件 北师大版选修11

∴3＋a＝k，∴a＝－1，∴32页。
准确应用公式 求下列函数的导数：
(1)y＝(x2＋1)2; (2)y＝cos22x. [错解] (1)y′＝2(x2＋1)；(2)y′＝－2sin2x.
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[辨析] 这是复合函数的导数，但复合函数的导数我们没有 学习讨论(tǎolùn)过，遇到这种类型的函数求导，可先整理，再 求导．
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[方法规律总结] 1.导数的应用中，求导数是一个(yī ɡè)基 本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公 式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先 恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择 解题途径．
2．求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解．
即 4x－y－12＝0 或 4x－y－8＝0.
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[方法规律总结] 求切线方程(fāngchéng)的步骤： (1)用导数公式和运算法则求导数． (2)求切线的斜率； (3)写出切线方程(fāngchéng)．
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(2014·贵州湄潭中学高二期中)曲线f(x)＝xlnx在点x＝1处的
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＝fx＋Δx＋gx＋ΔxΔx－fx－gx
＝fx＋ΔΔxx－fx＋gx＋ΔΔxx－gx，
∴ lim Δx→0
Fx＋Δx－Fx Δx
＝
lim
Δx→0
gx＋ΔΔxx－gx＝f ′(x)＋g′(x)，
fx＋Δx－fx Δx
＋
lim
Δx→0
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Gx＋ΔΔxx－Gx＝fx＋Δxgx＋ΔxΔx－fxgx
解法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1， y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1. (2)y′ ＝ (x2sinx)′ ＝ (x2)′sinx ＋ x2(sinx)′ ＝ 2xsinx ＋ x2cosx. (3)y′＝1x＋x22＋x33′＝(x－1＋2·x－2＋3·x－3)′＝－x－2－ 4x－3－9x－4＝－x12－x43－x94.
成才之路 ·数学 (shùxué)
北师大版 ·选修(xuǎnxiū)1-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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变化率与导数(dǎo shù)
第三章
第二页，共32页。
§4 导数(dǎo shù)的四则运算法则
第三章
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1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
∵切线与直线 y＝4x＋3 平行，
∴切线的斜率为 4.
又 y′＝3x2＋1，∴当 x＝x0 时，y′＝3x20＋1＝4， 解得 x0＝±1，代入 y＝x3＋x－10，得
x0＝1 y0＝－8
，或xy00＝＝－－112
.
∴切点坐标为(1，－8)或(－1，－12)．
切线方程为 y＋8＝4(x－1)或 y＋12＝4(x＋1)，
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(4)y′＝xcsoisnxx－co2sx′＝xsicnoxs－x 2′ ＝xsinx－2′cocsoxs＋2x xsinx－2sinx ＝sinx＋xcosxccoossx2＋x xsin2x－2sinx ＝sinxcoscxo＋s2xx－2sinx＝tanx＋coxs2x－2ctoasnxx.
＝
fx＋Δxgx＋Δx－fx·gx＋Δx＋fxgx＋Δx－fxgx Δx
＝gx＋Δx[fΔx＋x Δx－fx]＋fx·[gx＋ΔΔxx－gx]，
∴ lim Δx→0
Gx＋ΔΔxx－Gx＝g(x)·f ′(x)＋f(x)·g′(x)．
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新知导学 1．设函数 f(x)、g(x)是可导函数，则： (f(x)±g(x))′＝___f__′(_x_)±__g_′(_x_) ________； (f(x)·g(x))′＝___f__′(_x)_·_g_(x_)_＋_f_(x_)_·g_′_(x_)________． 2．设函数 f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0，gfxx′＝
思维导航 我们已经会求幂函数、指数函数、对数函数及 y＝sinx，y ＝cosx，y＝tanx，y＝cotx 的导数，那么怎样求 f(x)与 g(x)的和、 差、积、商的导数呢？ 设 f(x)、g(x)是可导函数， F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)·g(x)， 则Fx＋ΔΔxx－Fx
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 ＝18x2－8x＋9. 解法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9. (2)∵y＝x－sin2x·cos2x＝x－12sinx， ∴y′＝1－12cosx.
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运用(yùnyòng)求导法则求切线方程
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[方法规律总结] 1.符合导数运算法则形式特点的函数 求导可直接用公式，注意不要记错用混积商的导数运算法则．
①[f(x)g(x)]′≠f ′(x)g′(x)； ②gfxx′≠fg′′xx. 2 ． 公 式 [f(x)g(x)]′ ＝ f ′(x)g(x) ＋ f(x)g′(x) 的 推 广 为 [f1(x)·f2(x)·f3(x)…fn(x)]′ ＝ f1′(x)f2(x)f3(x)…fn(x) ＋ f1(x)f2′(x)f3(x)f4(x)…fn(x)＋…＋f1(x)f2(x)…fn′(x) 3．较为复杂的求导运算，一般要先将函数化简，再求导．
切线(qiēxiàn)方程为( )
A．y＝2x＋2
B．y＝2x－2
C．y＝x－1
D．y＝x＋1
[答案] C
[解析] ∵f ′(x)＝lnx＋1，∴f ′(1)＝1，
又f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线(qiēxiàn)方程为y＝
x－1.
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利用导数(dǎo shù)求参数 偶函数 f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e 的图像过 点 P(0,1)，且在 x＝1 处的切线方程为 y＝x－2，求 y＝f(x)的 解析式．
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[解析] (1)y′＝2x2＋x21＋－122x·2x＝2x－2＋21x22， ∴当 x＝1 时，y′＝2－4 2＝0. 即曲线在点(1,1)处的切线的斜率 k＝0， 因此，曲线 y＝x22＋x 1在点(1,1)处的切线方程为 y＝1.
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(2)设切点坐标为(x0，y0)．
[正解] (1)∵y＝(x2＋1)2＝x4＋2x2＋1， ∴y′＝4x3＋4x. (2)∵y＝cos22x＝1＋2cosx， ∴y′＝－12sinx.
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f ′x·gx－fx·g′x __________g_2_x__________.
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牛刀小试
1．已知函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，则 a 的值为( )
A．1
B. 2
C．－1
D．0
[答案(dá àn)] A [解析] ∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax， 又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
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2．函数 y＝x·lnx 的导数是( )
A．x
1 B.x
C．lnx＋1
D．lnx＋x
[答案] C
[解析] y′＝x′·lnx＋x·(lnx)′ ＝lnx＋x·1x ＝lnx＋1.
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3．求下列函数的导数 (1)y＝2x2－3x＋1，y′＝________. (2)y＝(x＋2)2，y′＝________. (3)y＝sinx＋cosx，y′＝________. (4)y＝11－ ＋llnnxx＝________. (5)y＝(x＋2)(3x－1)，y′＝________. [答案] (1)y′＝4x－3 (2)y′＝2x＋4 (3)y′＝cosx－ sinx (4)y′＝－x1＋2lnx2 (5)y′＝6x＋5.
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[解析] ∵f(x)的图像过点 P(0,1)，∴e＝1. 又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)． 故 ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e. ∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1. ∵函数 f(x)在 x＝1 处的切线方程为 y＝x－2， ∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1. ∵f ′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1. ∴a＝52，c＝－92. ∴函数 y＝f(x)的解析式为 f(x)＝52x4－92x2＋1.
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(2014·山师(shān shī)附中高二期中)直线y＝kx＋1与曲线y＝
x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为( )
A．2
B．－1
C．1
D．－2
[答案] C
[解析] 由条件知，点A在直线上，∴k＝2，又点A在曲线
上，∴a＋b＋1＝3，∴a＋b＝2.由y＝x3＋ax＋b得y′＝3x2＋a，
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求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－2)，y′＝________； (2)y＝x－sin2x·cos2x，y′＝________. [答案] (1)18x2－8x＋9 (2)1－12cosx
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[解析] (1)解法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x －2)′
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典例探究学案
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导数的四则运算(sìzéyùn suàn)法则的应用
求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)2(x－1)； (2)y＝x2sinx； (3)y＝1x＋x22＋x33； (4)y＝xtanx－co2sx.
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[解析] (1)解法一：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－ 1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1.
(1)求曲线 y＝x22＋x 1在点(1,1)处的切线方程； (2)如果曲线 y＝x3＋x－10 在某一点的切线与直线 y＝4x ＋3 平行，求切点坐标与切线方程． [分析] 解第(1)题的关键是正确利用导数的四则运算法则 求出导数．第(2)题可先设出切点，然后利用切线的斜率(xiélǜ) 与直线y＝4x＋3的斜率(xiélǜ)相等这一关系建立方程，从而求出 切点坐标．
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自主预习学案
第五页，共32页。
能利用给出的基本初等函数的导数公式(gōngshì)表和导数 的四则运算法则求简单函数的导数.
第六页，共32页。
重点：导数的四则运算法则及其运用． 难点(nádiǎn)：导数的四则运算法则的理解运用.
第七页，共32页。
导数(dǎo shù)的运算法则