高考数学试题大冲关一元二次不等式及其解法理

高考数学试题大冲关一元二次不等式及其解法理一、选择题
1．设会合A＝ { x| x2－2x－ 3<0} ，B＝ { x|1 ≤x≤4} ，则A∩B＝ ()
A．{ x|1 ≤x<3}B．{ x|1 ≤x≤3}
C．{ x|3< x≤4} D ． { x|3 ≤x≤4}
2．不等式
4
≤ x－2的解集是() x－2
A．( －∞， 0]∪ (2,4] B．[0,2) ∪[4 ，＋∞) C．[2,4)
D．( －∞， 2]∪ (4 ，＋∞)
3．若不等式2＋
bx ＋
c
>0 的解集是 ( －4,1) ，则不等式(2－1) ＋ (＋3) ＋>0 的解为
ax b x a x c
() 4
A．( －3， 1)
4
B．( －∞， 1) ∪ ( 3，＋∞)
C．( － 1,4)
D．( －∞，－ 2) ∪ (1 ，＋∞)
4．在 R 上定义运算：x* y＝ x(1－ y)．若不等式( x－ y)*( x＋ y)<1对一确实数x 恒建立，则实数 y 的取值范围是()
1331
A．( －2，2) B ．( －2，2)
C．( － 1,1) D． (0,2)
5．若函数
f (
x
) ＝ (
a
2＋ 4－ 5)
x
2－ 4(
a
－ 1)
x
＋ 3 的图象恒在
x
轴上方，则
a
的取值范围是a
()
A．[1,19]B． (1,19)
C．[1,19)D． (1,19]
6．设f ( x) ＝x2＋bx－ 3，且f ( － 2) ＝f (0)，则 f ( x)≤0的解集为()
A．( － 3,1) B．[－3,1]
C．[ －3，－ 1] D ．( －3，－ 1]
二、填空题
7．已知函数y＝( m－1) x2－ mx－ m的图象如图，则m的取值范围是________．
x2＋2ax， x≥2
8．已知函数f ( x) ＝x，若 f ( f (1))>3a2，则 a 的取值范围是________．
2 ＋ 1，x<2
9．已知
f ( ) 是定义在 R上的奇函数，当
x
≥0时，
f
(
x
) ＝
x
2＋ 2
x
，若
f
(2 －2)>
f
( )，则x a a
实数 a 的取值范围是________．
三、解答题
10．解以下不等式：
(1)－x2＋2x－2
＞0；
3
(2)8 x－1≤16 x2.
1
222
11．当 0≤x≤2时，不等式8(2 t－t ) ≤x－ 3x＋2≤3－t恒建立，试求t 的取值范围．
12．行驶中的汽车，在刹车时因为惯性作用，要持续往前滑行一段距离才能停下，这段
距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)
nv v2
与汽车的车速(km/h) 知足以下关系：s＝100＋400( n 为常数，且n∈
*
N)，做了两次刹车试验，相关试验数据如下图，此中
6＜s1＜ 8
.
14＜s2＜ 17
(1)求 n 的值；
(2)要使刹车距离不超出 12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？
详解答案
一、选择题
1．分析：由 x 2－ 2x － 3<0，得 ( x －3)( x ＋ 1)<0 ，
即－ 1<x <3.
∴A ＝ { x | －1<x <3} ．
又∵ B ＝ { x |1 ≤ x ≤4} ，
∴A ∩ B ＝ { x |1 ≤ x <3} ．
答案： A
2．分析：①当 x － 2>0，即 x >2 时，不等式可化为 ( x － 2) 2≥4，∴ x ≥4；②当 x － 2<0，即
x <2 时，不等式可化为
( x －2) 2≤4，∴ 0≤ x <2.
答案： B
3．分析：由不等式
ax 2＋ bx ＋ c >0 的解集为 ( － 4,1) 知 a <0，－ 4 和 1 是方程 ax 2＋ bx ＋c
b
c
2
＝ 0 的两根，∴－ 4＋ 1＝－ a ，－ 4×1＝ a ，即 b ＝ 3a ， c ＝－ 4a . 故所求解的不等式为
3a ( x －
1)＋ ( ＋3) －4 >0，即 3 2
＋ x 4 <1.
－ 4<0，解得－ <
a x a x 3 x
答案： A
4．分析：由题意知， (
x － y )*(
x ＋ )＝( － )[1 － ( ＋ )]<1 对一确实数
x 恒建立，∴－
y
x y
x y
2
2
2
2
，
x ＋ x ＋ y －y － 1<0 关于 x ∈ R 恒建立，
故
＝ 1 －4×( －1) ×(y － y － 1)<0
2
1 3
∴4y － 4y － 3<0，解得－ 2<y <2. 答案： A
5．分析：函数图象恒在 x 轴上方，即不等式 ( a 2＋4a － 5) x 2 －4( a － 1) x ＋ 3>0 关于全部 x
∈ R 恒建立．
(1) 当
a 2
＋ 4 －5＝0 时，有 ＝－5或 a ＝1. 若 a ＝－ 5，不等式化为 24 x ＋ 3>0，不知足题
a
a
意；若 a ＝ 1，不等式化为 3>0，知足题意．
(2) 当 a 2＋ 4a －5≠0时，应有
a 2＋ 4a － 5>0
，解得 1<a <19. 综上可知， a 的取值范围是 1≤ a <19.
16 a － 1
2
－ 12 a 2＋ 4a － 5 <0
答案： C
b －2＋0
6．分析：∵ f ( － 2) ＝f (0) ，∴ x ＝－ 2＝
2
＝－ 1，
而 b ＝ 2.
∴ f ( x ) ≤0? x 2＋ 2x －3≤0? ( x ＋3)( x －1) ≤0，
答案： B
二、填空题
m － 1<0
<0
4
7．分析：由图可知
－ m ，因此 0<m <5.
－
m － 1 <0
2
4
答案：
0， 5
8．分析：由题知， f (1) ＝ 2＋ 1＝ 3，f ( f (1)) ＝ f (3) ＝ 32＋ 6a ，若 f ( f (1))>3 a 2，则 9＋ 6a >3a 2，
即 a 2－ 2a －3<0，解得－ 1<a <3.
答案： ( － 1,3)
9．分析：∵ f ( x ) 是奇函数，
∴当 x <0 时， f ( x ) ＝－ x 2＋ 2x ，作出 f ( x ) 的大概图象如图中实线所示．
联合图象可知 f ( x ) 是 R 上的增函数，
由 f (2 － a 2)> f ( a ) ，得 2－ a 2>a ，即－ 2<a <1.
答案： ( － 2,1)
三、解答题
10．解： (1) 两边都乘－ 3，得 3x 2－ 6x ＋ 2＜0，
∵3 x
2－ 6 ＋ 2＝0 的解是
x
x 1＝ 1－ 3
， x 2＝ 1＋ 3
，
3
3
3 3
∴原不等式的解集为 { x |1 － 3 ＜ x ＜ 1＋ 3 } ．
(2) 法一：∵原不等式即为
16x 2－ 8x ＋1≥0，其相应方程为
16x 2－ 8x ＋ 1＝ 0， ＝( －8)2
－ 4×16＝ 0.
1
∴上述方程有两相等实根
x ＝ 4.
联合二次函数 y ＝ 16x 2－8x ＋ 1 的图象知，
原不等式的解集为
R.
法二： 8x －1≤16 x 2? 16x 2－ 8x ＋1≥0? (4 x －1) 2≥0，
∴x ∈ R ，
∴原不等式的解集为
R.
11．解：令 y ＝ x 2－ 3x ＋2,0 ≤ x ≤2.
2
3 2
1
∵y ＝ x － 3x ＋2＝ ( x －2) － 4，
∴y 在 0≤ x ≤2上获得最小值为－
1 ，最大值为 2.
4
若1
(2 t － t 2) ≤x 2－ 3x ＋2≤3－ t 2 8
1
2t －t 2
1
在 0≤ x ≤2上恒建立，则
8
≤－ 4，
3－ t 2≥2
t 2－ 2t －2≥0
即
t 2－1≤0
t ≤1－ 3
t ≥1＋ 3
.
∴
或
－1≤ t ≤1 －1≤ t ≤1
∴t 的取值范围为 [ －1,1 － 3] ．
40n 1 600
6＜100＋ 400 ＜8
12．解： (1) 依题意得
70n
，
14＜
4 900
＋
400 ＜ 17
100
5＜ n ＜10
解得 5 ＜ ＜ 95
，又 n ∈ N * ，因此 n ＝6.
2 n
14
2
3v
v
2
(2) s ＝
＋ ≤12.6 ? v ＋ 24v －5 040 ≤0? －84≤ v ≤60，因为 v ≥0，因此 0≤v ≤60， 即行驶的最大速度为
60 km/h.。