2016-2017年山东省济南外国语学校三箭分校高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2016-2017学年山东省济南外国语学校三箭分校高二（下）期中
数学试卷（理科）
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．
1．（5分）复数z＝的虚部为（）
A．i B．﹣i C．﹣1D．1
2．（5分）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）
A．36B．45C．99D．100
3．（5分）A、B、C、D、E、F六人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法种数为（）
A．720B．240C．120D．60
4．（5分）已知空间四边形ABCD的对角线为AC、BD，设G是CD的中点，则
+（+）等于（）
A．B．C．D．
5．（5分）曲线y＝2x3﹣x2+1在点（1，2）处的切线方程为（）A．y＝3x﹣4B．y＝4x﹣2C．y＝﹣4x+3D．y＝4x﹣5
6．（5分）已知向量，若则x+y＝（）A．﹣5B．0C．5D．﹣7
7．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（5分）若f′（x 0）＝﹣3，则＝（）
A．﹣3B．﹣12C．﹣9D．﹣6
9．（5分）下列求导运算正确的是（）
A．B．
C．（3x）′＝3x log3e D．（x2cos x）′＝﹣2x sin x
10．（5分）若（1+2x）n的展开式中，x2的系数是x系数的7倍，则n的值为（）A．5B．6C．7D．8
11．（5分）为使高三同学在高考复习中更好的适应全国卷，进一步提升成绩，济南外国语学校计划聘请北京命题组专家利用周四下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）
A．36种B．30种C．24种D．6种
12．（5分）已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，则（）
A．f（x）＞0B．f（x）＜0
C．f（x）为减函数D．f（x）为增函数
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）设m∈R，复数z＝2m2﹣3m﹣5+（m2﹣2m﹣3）i，当m＝时，z为纯虚数．
14．（5分）设A（3，4，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB中点M到点C距离为．
15．（5分）如图，阴影部分的面积是．
16．（5分）某监理公司有男工程师7名，女工程师3名，现要选2名男工程师和1名女工程师去3个不同的工地去监督施工情况，不同的选派方案有种．
三.解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（11分）已知数列{a n}满足S n＝2n﹣a n+1（n∈N*）
（1）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．
18．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A
＝AD＝2，BD＝．求二面角P﹣BC﹣D余弦值的大小．
19．（12分）设f（x）＝x3﹣﹣2x+6，当x∈[﹣1，2]时，求f（x）的最小值．20．（11分）已知复数z满足：|z|＝1+3i﹣z，
（1）求z并求其在复平面上对应的点的坐标；
（2）求的共轭复数．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2．E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线P A与平面EAC所成角的正弦值．
22．（12分）已知函数f（x）＝blnx．
（1）当b＝1时，求函数G（x）＝x2﹣x﹣f（x）在区间上的最大值与最小值；
（2）若在[1，e]上存在x0，使得x0﹣f（x0）＜﹣成立，求b的取值范围．
2016-2017学年山东省济南外国语学校三箭分校高二（下）
期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．
1．（5分）复数z＝的虚部为（）
A．i B．﹣i C．﹣1D．1
【解答】解：z＝＝，
则复数z＝的虚部为：﹣1．
故选：C．
2．（5分）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）
A．36B．45C．99D．100
【解答】解：由图形可得三角形数构成的数列通项a n＝n（n+1），
同理可得正方形数构成的数列通项b n＝n2，
则由b n＝n2（n∈N+）可排除B，C，
由n（n+1）＝100，即n（n+1）＝200，无正整数解，故排除D
故选：A．
3．（5分）A、B、C、D、E、F六人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法种数为（）
A．720B．240C．120D．60
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①、A、B必须相邻且B在A的右边，视A、B为一个元素，且只有一种排法；
②、将A、B与其他4个元素，共5个元素全排列，
即A55＝120种排法，
则符合条件的排法有1×120＝120种；
故选：C．
4．（5分）已知空间四边形ABCD的对角线为AC、BD，设G是CD的中点，则
+（+）等于（）
A．B．C．D．
【解答】解：因为G是CD的中点；
∴（），
∴+（+）＝＝．
故选：C．
5．（5分）曲线y＝2x3﹣x2+1在点（1，2）处的切线方程为（）A．y＝3x﹣4B．y＝4x﹣2C．y＝﹣4x+3D．y＝4x﹣5
【解答】解：∵曲线y＝2x3﹣x2+1，
∴y′＝6x2﹣2x，
＝6﹣2＝4，
∴切线方程的斜率为：k＝y′|x
＝1
又因为曲线y＝2x3﹣x2+1过点（1，2）
∴切线方程为：y﹣2＝4（x﹣1），
即y＝4x﹣2，
故选：B．
6．（5分）已知向量，若则x+y＝（）A．﹣5B．0C．5D．﹣7
【解答】解：∵，∴存在实数k使得＝k，
∵，解得k＝﹣，x＝﹣1，y＝﹣6．
则x+y＝﹣7．
故选：D．
7．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，
根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．
故选：C．
8．（5分）若f′（x 0）＝﹣3，则＝（）A．﹣3B．﹣12C．﹣9D．﹣6
【解答】解：∵f′（x
）＝﹣3，则＝[4•
）＝4×（﹣3）
]＝4（）＝4f′（x
＝﹣12，
故选：B．
9．（5分）下列求导运算正确的是（）
A．B．
C．（3x）′＝3x log3e D．（x2cos x）′＝﹣2x sin x
【解答】解：[ln（2x+1）]′＝•（2x+1）′＝，（3x）′＝3x ln3，（x2cos x）′＝2x cos x﹣x2sin x，
于是可得A，C，D错误
故选：B．
10．（5分）若（1+2x）n的展开式中，x2的系数是x系数的7倍，则n的值为（）A．5B．6C．7D．8
【解答】解：根据题意（1+2x）n展开式的通项为Tr+1＝Cn r•（2x）r＝（2）r•Cn r •（x）r，
x2的系数为4Cn2，x的系数为2n，
根据题意，有4Cn2＝2n，
解可得n＝8，
故选：D．
11．（5分）为使高三同学在高考复习中更好的适应全国卷，进一步提升成绩，济南外国语学校计划聘请北京命题组专家利用周四下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）
A．36种B．30种C．24种D．6种
【解答】解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，
先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共＝6种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共＝6种方法，
故总的方法种数为：6×6﹣6＝30，
故选：B．
12．（5分）已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，则（）
A．f（x）＞0B．f（x）＜0
C．f（x）为减函数D．f（x）为增函数
【解答】解：构造函数g（x）＝xe x f（x），g′（x）＝e x[（x+1）f（x）+xf′（x）]，∵（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，∴g′（x）＝e x[（x+1）f（x）+x′（x）]＞0，故函数g（x）在R上单调递增，而g（0）＝0
∴x＞0时，g（x）＝xe x f（x）＞0⇒f（x）＞0；x＜0时，g（x）＝xe x f（x）＜0⇒f （x）＞0；
在（x+1）f（x）+xf'（x）＞0中取x＝0，得f（0）＞0．
综上，f（x）＞0．
故选：A．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）设m∈R，复数z＝2m2﹣3m﹣5+（m2﹣2m﹣3）i，当m＝时，z为纯虚数．
【解答】解：由题意，得
，解得m＝．
故答案为：．
14．（5分）设A（3，4，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB中点M到点
C距离为．
【解答】解：设A（3，4，1），B（1，0，5），
则AB中点M（2，2，3），
∵C（0，1，0），
∴M到点C距离为：＝．
故答案为：．
15．（5分）如图，阴影部分的面积是．
【解答】解：直线y＝2x与抛物线y＝3﹣x2
解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）
抛物线y＝3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）
设阴影部分面积为s，则
＝
＝
所以阴影部分的面积为，
故答案为：．
16．（5分）某监理公司有男工程师7名，女工程师3名，现要选2名男工程师和1名女工程师去3个不同的工地去监督施工情况，不同的选派方案有378种．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①、在7名男工程师中选2名，3名女工程师中选1人，有C72C31＝63种选法，
②、将选出的3人全排列，安排到3个不同的工地，有A33＝6种情况，
则不同的选派方案有63×6＝378种；
故答案为：378．
三.解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（11分）已知数列{a n}满足S n＝2n﹣a n+1（n∈N*）
（1）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．
【解答】解：（1）根据数列{a n}满足S n＝2n﹣a n+1（n∈N*），
当n＝1时，S1＝a1＝2﹣a1+1，即a1＝；
当n＝1时，S2＝a1+a2＝4﹣a2+1，即a2＝；
同理a3＝，a4＝，
由此猜想a n＝（n∈N*）；
（2）当n＝1时，a1＝，结论成立；
假设n＝k（k为大于等于1的正整数）时，结论成立，即a k＝，
那么当n＝k+1（k大于等于1的正整数）时，a k+1＝S k+1﹣S k＝2（k+1）﹣a k+1﹣2k+a k＝2+a k﹣a k+1，
∴2a k+1＝2+a k，
∴a k+1＝＝＝，即n＝k+1时，结论成立，
则a n＝（n∈N*）．
18．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A
＝AD＝2，BD＝．求二面角P﹣BC﹣D余弦值的大小．
【解答】（本小题满分12分）
解：∵棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，
P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝2，BD＝．
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
＝（0，2，0），＝（﹣2，0，2），
＝（﹣2，2，0），
设平面PBC的法向量＝（x，y，z），
，取x＝1，得＝（1，0，1），
设平面BCD的法向量＝（a，b，c），
，取a＝1，得＝（1，1，0），
设二面角P﹣BC﹣D的平面角为θ，
则cosθ＝＝＝，
∴二面角P﹣BC﹣D的余弦值为．
19．（12分）设f（x）＝x3﹣﹣2x+6，当x∈[﹣1，2]时，求f（x）的最小值．【解答】（本小题满分12分）解：f′（x）＝3x2﹣x﹣2＝3（x﹣1）（x+2），
因为x∈[﹣1，2]，
所以令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜1；令f′（x）＞0，解得x＜﹣2或x＞1，所以f（x）在[﹣1，1）上单调递减；在（1，2]上单调递减．
所以当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是f（1）＝．
故答案为：．
20．（11分）已知复数z满足：|z|＝1+3i﹣z，
（1）求z并求其在复平面上对应的点的坐标；
（2）求的共轭复数．
【解答】解：（1）设z＝x+yi（x，y∈R），则由已知，＝1+3i﹣（x+yi）＝（1﹣x）+（3﹣y）i．
∴，∴z＝﹣4+3i．
其在复平面上对应的点的坐标为（﹣4，3）．
（2）由（1）z＝﹣4+3i，
∴＝＝＝＝＝3+4i
共轭复数为3﹣4i．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2．E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线P A与平面EAC所成角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，
∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝，
∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC，
又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（4分）
（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…（6分）
＝（1，1，0），＝（0，0，a），＝（，﹣，），
取＝（1，﹣1，0），则•＝•＝0，为面P AC的法向量．
设＝（x，y，z）为面EAC的法向量，则•＝•＝0，
即取x＝a，y＝﹣a，z＝﹣2，则＝（a，﹣a，﹣2），
依题意，|cos＜，＞|＝＝＝，则a＝2．…（10分）
于是＝（2，﹣2，﹣2），＝（1，1，﹣2）．
设直线P A与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝，即直线P A与平面EAC所成角的正弦值为．…（12分）
22．（12分）已知函数f（x）＝blnx．
（1）当b＝1时，求函数G（x）＝x2﹣x﹣f（x）在区间上的最大值与最小值；
（2）若在[1，e]上存在x0，使得x0﹣f（x0）＜﹣成立，求b的取值范围．【解答】解：（1）当b＝1时，G（x）＝x2﹣x﹣f（x）＝x2﹣x﹣lnx（x＞0），
，
令G'（x）＝0，得x＝1，
当x变化时，G（x），G'（x）的变化情况如下表：
因为，G（1）＝0，G（e）＝e2﹣e﹣1＝e（e﹣1）﹣1＞1，
所以G（x）＝x2﹣x﹣f（x）在区间上的最大值与最小值分别为：
，G（x）min＝G（1）＝0．
（2）设．
若在[1，e]上存在x0，使得，即成立，
则只需要函数在[1，e]上的最小值小于零．
又＝，
令h'（x）＝0，得x＝﹣1（舍去）或x＝1+b．
①当1+b≥e，即b≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，
故h（x）在[1，e]上的最小值为h（e），由，可得．因为，所以．
②当1+b≤1，即b≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，
故h（x）在[1，e]上的最小值为h（1），由h（1）＝1+1+b＜0，
可得b＜﹣2（满足b≤0）．
③当1＜1+b＜e，即0＜b＜e﹣1时，h（x）在（1，1+b）上单调递减，在（1+b，
e）上单调递增，
故h（x）在[1，e]上的最小值为h（1+b）＝2+b﹣bln（1+b）．
因为0＜ln（1+b）＜1，所以0＜bln（1+b）＜b，
所以2+b﹣bln（1+b）＞2，即h（1+b）＞2，不满足题意，舍去．
综上可得b＜﹣2或，
所以实数b的取值范围为．。