等差数列选择题专项训练单元综合模拟测评学能测试试卷

一、等差数列选择题
1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ） A ．
54
钱 B ．
43
钱 C ．
23
钱 D ．
53
钱 解析：C 【分析】
根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为
2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、
丁、戊的钱相同求解. 【详解】
设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，
则根据题意有(2)()()(2)5
(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩
，
解得1
16a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩
，
所以戊所得为2
23
a d +=， 故选：C .
2．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15 B ．30
C ．3
D ．64
解析：A 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，
12111a a d =+，即可求解.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：174
174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
所以12117760
111115444
a a d =+=-
+⨯==，
所以12a 的值是15， 故选：A
3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51 B ．57
C ．54
D ．72
解析：B 【分析】
根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】
317102a a a += 1039a ∴=，即103a =
()11910
19191921935722
a a a S +⨯∴=
==⨯= 故选：B
4．若数列{}n a 满足121
()2
n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（ ） A ．1010 B ．1011 C ．2020 D ．2021
解析：B 【分析】
根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121
()2n n a a n N *++=
∈，则11()2
n n a a n N *+=+∈， 即11
2
n n a a +-=
， 所以数列{}n a 是以1为首项，
1
2
为公差的等差数列， 所以()()11111122
n n a a n d n +=+-=+-⨯=， 所以2021a =20211
10112
+=. 故选：B
5．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（ ）
A ．7
B ．9
C ．21
D ．42
解析：C 【分析】
利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则()
1212121632
a a S +=
=， 所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =， 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a +++
+=++++++
111111111122277321a a a a a =+++==⨯=，
故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，
()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a +++
+=++++++=即可求解.
6．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ）
A ．25
B ．11
C ．10
D ．9
解析：D 【分析】
利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，
故选：D ．
7．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则9
9
S a =（ ） A ．9 B ．5
C ．1
D ．
59
解析：B 【分析】
由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求9
9
S a . 【详解】
4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，
∴1999()
452
a a S d ⨯+==，99a d =，且0d ≠， ∴
9
9
5S a =. 故选：B
8．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的
数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A ．103 B ．107
C ．109
D ．105
解析：B 【分析】
根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】
根据题意可知正整数能被21整除余2，
21+2n a n ∴=， 5215+2107a ∴=⨯=.
故选：B.
9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
n S n =.定义数列{}n b 如下：
()*1
m m b m m
+∈N 是使不等式()
*
n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b +++
+=（ ）
A ．25
B ．50
C ．75
D ．100
解析：B 【分析】
先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到2121
2
k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】
由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
n S n =，可得21n a n =-，
因为n a m ≥，即21n m -≥，解得1
2
m n +≥
， 当21m k =-，（*
k N ∈）时，1
m
m b k m
+=，即()()11212m m m mk m b m m +===++， 即2121
2
k k b --=
， 从而()135191
13519502
b b b b ++++=
++++=.
故选：B.
10．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．
53
B ．2
C ．8
D ．13
解析：B 【分析】
设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】
设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =， 所以数列{}n a 的公差为2， 故选：B
11．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ） A ．9 B ．12
C ．15
D ．18
解析：A 【分析】
在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】
在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6， 所以95132a a a =+，
所以139522639a a a =-=⨯-=， 故选：A
12．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237
n n S n T n =+，则6
3a b 的值为
（ ） A ．
5
11
B ．38
C ．1
D ．2
解析：C 【分析】
令2
2n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则6
3
a b 可得．
【详解】
令2
2n S n λ=，()37n T n n λ=+，
可得当2n ≥时，()()2
2
1221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，
()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，
当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，
()232n b n λ=+
故622a λ=，322b λ=，
故6
3
1a b =. 【点睛】
由n S 求n a 时，11,1
,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符
合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解．
13．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．
1
2
尺布 B ．
5
18
尺布 C ．
16
31
尺布 D ．
16
29
尺布 解析：D 【分析】
设该女子第()
N n n *∈尺布，前()
N n n *
∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公
差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】
设该女子第()
N n n *∈尺布，前()
N n n *
∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公
差为d ，
由题意可得30130293015015293902
S a d d ⨯=+=+⨯=，解得16
29d =.
故选：D.
14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2 B ．
4
3
C ．4
D ．4-
解析：C 【分析】
由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解：
()111116
11111322
a a S a
+⨯=
==，
612a ∴=，
又
5620a a +=，
58a ∴=，
654d a a ∴=-=.
故选：C ．
15．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤 B ．6斤
C ．9斤
D ．12斤
解析：C
【分析】
根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】
由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为1a ，粗的一端的重量为5a ，可知12a =，54a =，
根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=， 中间三尺为234339a a a a ++==. 故选：C 【点睛】
本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型.
二、等差数列多选题
16．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =
B ．733S =
C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=
D ．
222
122019
20202019
a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 解析：ABCD 【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】
对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；
对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.
对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2
121a a a =，()2
22312321a a a a a a a a =-=-，
()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-
2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；
故选：ABCD. 【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换. 17．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4
n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n
= B ．数列{}n a 的通项公式为1
4(1)
n a n n =+
C ．数列{}n a 为递增数列
D ．数列1
{
}n
S 为递增数列 解析：AD 【分析】
先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】
11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+=
1
1104n n n S S S -≠∴
-= 因此数列1{
}n S 为以1
1
4S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n
=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时1111
44(1)4(1)
n n n a S S n n n n -=-=
-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧
=⎪⎪
=⎨⎪-≥-⎪⎩
，即B ，C 不正确；
故选：AD 【点睛】
本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 18．设数列{}n a 满足11
02
a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．
21
12
a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312
a <<
D ．
20203
14
a <<
【分析】
构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】
由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102
a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122x
f x x x
-'=-
=--， 所以当01x <<时，0f x ，
即()f x 在0,1上为单调递增函数， 所以函数在10,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
为单调递增函数， 即()()102f f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭
，
即(
)131
ln 2ln 1222
f x <<<+<+， 所以()1
12
f x << ， 即
1
1(2)2
n a n <<≥， 所以
2112a <<，20201
12
a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，
1
12
n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 231
32131113ln(2)ln ln 222234
a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333
144
a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】
本题考查了数列性质的综合应用，属于难题. 19．已知数列{}n a 满足0n a >，
121
n n n a n
a a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）
A ．11a =
B ．121a a =
C ．201920202019S a =
D ．201920202019S a >
【分析】
根据递推公式，得到11n n n
n n a a a +-=-，令1n =，得到121
a a =，可判断A 错，B 正确；
根据求和公式，得到1
n n n
S a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】
由121n n n a n a a n +=+-可知2111
n n n n n a n n n a a a a ++--==+，即11n n n
n n a a a +-=-， 当1n =时，则12
1
a a =
，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321
111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++
+=-+-+
+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：
由递推公式求通项公式的常用方法：
（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解；
（2）累乘法，形如()1
n n
a f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1
n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通
项时，常需要构造成等比数列求解；
（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11
,2
,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.
20．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S > D ．若67S S >则56S S >.
解析：BC 【分析】
根据等差数列的前n 项和性质判断． 【详解】
A 错：67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<；
B 对：n S 对称轴为
n =7；
C 对：6770S S a >⇒<，又10a >，887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>；
D 错：6770S S a >⇒<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >． 故选：BC ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()
2
n n n a a S +=
，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 21．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ）
A ．1(1)n
n a =+- B ．2cos
2
n n a π= C ．(1)2sin 2
n n a π
+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--
解析：AC 【分析】
对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】
对于选项A ，1(1)n
n a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项B ，2cos 2
n n a π
=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin
2
n n a π
+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC
22．在数列{}n a 中，若2
2
*
1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数
列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列
C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()
*
,kn a k N k ∈为常数)也是等方差数列
D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 解析：BCD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，
则12222
(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}
n a 不是等方差数列，故A 错误；
对于B ，数列
(){}1n
-中，222121
[(1)][(1)]0n n n
n a a
---=---=是常数，
{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；
对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，
数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，
，
()(
)()()
22222222
12132221k k k k k k k k a
a a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加
得()()()()22
222
22
21
2
1
3
2
221
k k
k k k k k
k a
a a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k a
a kp ∴-=，
()
221kn k n a a kp +∴-=，{}*
(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确； 对于D ，
{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+
{}n a 是等方差数列，
()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，22
10n n a a --=是常数，故D 正确.
故选：BCD. 【点睛】
本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.
23．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（ ） A ．0d > B ．0d <
C ．80a =
D ．n S 的最大值是8
S 或者9S 解析：BD 【分析】
由6111160S S S S =⇒-=，即950a =，进而可得答案． 【详解】
解：1167891011950S S a a a a a a -=++++==， 因为10a >
所以90a =，0d <，89S S =最大， 故选：BD ． 【点睛】
本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题． 24．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310
S S =
D ．当8n ≥时，0n a <
解析：AD 【分析】
由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】
由已知得：780,0a a ><,
结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，
310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,
这在已知条件中是没有的，故C 错误. 故选:AD. 【点睛】
本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.
25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22
B ．d =－2
C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值
D ．当S n >0时，n 的最大值为21
解析：BC 【分析】
分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ． 【详解】
由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①
由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2
739a a a =，即()()()2
111628a d a d a d +=++，化简得
110a d =-，②
由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；
由()()2
2121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝
⎭ *n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；
由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错； 故选：BC 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．。