湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考(数学文)

湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考
数学(文科)试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设A={ x || x －2|≤3}，B={ x |x <t}，若A ∩B=φ，则实数t 的取值范围是 （ ）
A ．t<－1
B ．t>5
C ．t ≤－1
D ．t ≥5
2．函数)6
cos()6sin(ππ++=x x y 的最小正周期和其图像的一条对称轴方程分别为 （ ）
A ．6,2ππ=x
B ．12,2ππ=x
C ．6,π
π=x D ．12
,ππ=x
3．在10)3(-x 的展开式中，6
x 的系数是
（ ）
A ．6
1027C -
B ．4
1027C
C ．6
109C -
D ．4
109C
4．定义运算()()
a
a b a b b
a b ≤⎧⊗=⎨
>⎩，则函数x x f 21)(⊗=的图像大致为
（ ）
5．公差不为零的等差数列}{n a 中，022112
73=+-a a a ，数列}{n b 是等比数列，且
==8677,b b a b 则
（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16 6．已知m ，n 表示两条直线，α表示一个平面，给出下列四个命题： ①m n m ⇒⎩⎨
⎧⊥⊥αα∥n ②n n
m m ⇒⎩⎨
⎧⊥⊥α
∥α ③n m n m //////⇒⎩⎨⎧αα ④n m n m ⊥⇒⎩⎨⎧⊥αα// 其中正确命题的序号是 （ ）
A ．①②
B ．②④
C ．①④
D ．②③
7．当b a ,是两个不相等的正数时，下列不等式中不成立的是
（ ）
A ．2)1()1)(1(ab ab b b a a +>++
B ．2)22()1)(1(b a b a b b a a +++>++
C ．b a b a b a b a ++>++222233
D ． 2
23
322b a b a b a b a -->--
8．双曲线22
22(,0)x y a b a b
->的左、右焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 2且垂直于x
轴的弦为
0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001
4000
25001000月收入（元）
频率/组距
AB ，若︒=∠901B AF ，则双曲线的离心率为
（ ）
A ．
1(22
B ．12-
C ．12+
D ．1
(22
+ 9．已知a ，b 是两个相互垂直的单位向量，而13||=c ，3=⋅a c ，4=⋅b c 。

则对于任意
实数21,t t ，||21b t a t c --的最小值是 （ ） （A ） 5 （B ）7 （C ） 12 （D ）13 10．已知集合{}{},,,|19A a b c B x x x N =≤≤∈且若映射:f A B →满足
()()()f a f b f c ≤≤且()()()12f a f b f c ++=，
则这样的映射个数为 （ ） A ．12 B .11 C .10 D .9
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.网免费注册免费下载
11．化简sin15cos75cos15sin105+得到的值为
12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人
中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则
在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．
13．函数()()log 1x
a f x a x =++在[]0,1上的最大值和
最小值之和为a ，则a 的值为 14．若x 、y 满足条件1(0)ax y a +≤>，
（i ）(,)P x y 的轨迹形成的图形的面积为1，则a = ， （ii ）2
2
2
2x y x y a
++
+的最大值为 15．按下列程序框图运算：
规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算. （i ）若x =5，则运算进行 次才停止；
（ii ）若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.网免费注册免费下载
16．（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若).(R k k ∈=⋅=⋅ （Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若k c 求,2=的值. 17．（本小题满分12分）
一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只
出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p ，出现“×”的概率为q.若第k 次出现“○”，则1k a =；出现“×”，则1k a =-，令S n =a 1+a 2+…+a n .
（Ⅰ）当p =q =
21
时，记ξ=|S 3|，求(1)P ξ=的值； （Ⅱ）当p =31，q =3
2
时，求S 8=2且S i ≥0(i =1,2，3,4)的概率.
18．（本小题满分12分）
如图，棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC =60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，∠A 1AC =60°。

（Ⅰ）证明：BD ⊥AA 1；
（Ⅱ）求二面角D —A 1A —C 的平面角的余弦值； 19．（本小题满分13分） 已知64个正整数排成如图所示的8行8列，在符号*),,81,81(N j i j i a ij ∈≤≤≤≤中，i 表示该数所在行数，j 表示该数所在列数.已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比都等于q .若.4
1,1,21322411===a a a （Ⅰ）求}{ij a 的通项公式；
（Ⅱ）记第k 行各项和为k A ，求1A 的值及数列 {k A }的通项公式； （Ⅲ）若k A <1，求k 的值.
20（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，已知12((,),(,1),(,2)A A P x y M x N x -，若实数λ使
得212OM ON A P A P λ⋅=⋅（O 为坐标原点） （I ）求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型； （Ⅱ）
当2
λ=
时，若过点(2,0)B 的直线l （斜率不等于零）与（I ）中P 点的轨迹交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围. 21. (本题满分13分)
已知函数x bx ax x f 3)(2
3
-+=在1±=x 处取得极值. （Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间]1,1[-上任意两个自变量的值21,x x ，都有
4)()(21≤-x f x f ；
（Ⅲ）若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围．
雅礼中学2008届高三第六次质检数学（文科）试题参考答案
一、选择题： CDDAD CBCCB
a 11 a 12 a 13 … a 18
a 21 a 22 a 23 … a 28 … … ……
a 81 a 82 a 83 … a 88
二、填空题：
11. 1 12．25； 13．
1
2
14．(1) 2 ， (2) 2
3(01)3
(1)
a a a ⎧<<⎪
⎨⎪≥⎩ 15． 4 ；(]10,28
三、解答题：
16．（本小题满分12分）
解：（I ）B ca A cb cos ,cos =⋅=⋅
…………1分
B
ac A bc BC BA AC AB cos cos =∴⋅=⋅又 B A A B cos sin cos sin =∴ …………3分 即0cos sin cos sin =-A B B A 0)sin(=-∴B A …………5分
B
A B A =∴<-<-π
π
ABC ∆∴为等腰三角形. …………7分
（II ）由（I ）知b a =
2
2cos 2
222c bc a c b bc A bc =-+⋅==⋅∴
…………10分
2=c 1=∴k
…………12分
17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵p=q=
,2
1
∴P (ξ=1)=C 2
131132,224⎛⎫⎛⎫
⋅⋅= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
（Ⅱ）当S 8=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知S i ≥0(I=1,2,3,4), 若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；
若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次.
故此时的概率为P=(
)
783
5
35
36380
38303131=⨯=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪
⎭
⎫
⎝⎛⋅+C C (或
218780).
18．（本小题满分12分）
解：连接BD 交AC 于O ，则BD ⊥AC ， 连接A 1O
在△AA 1O 中，AA 1=2，AO=1， ∠A 1AO=60°
∴A 1O 2=AA 12+AO 2－2AA 1·Aocos60°=3 ∴AO 2+A 1O 2=A 12
∴A 1O ⊥AO ，由于平面AA 1C 1C ⊥ 平面ABCD ，
所以A 1O ⊥底面ABCD
∴以OB 、OC 、OA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A （0，
－1，0），B （3，0，0），C （0，1，0），D （－3，0，0），A 1（0，0，3）……3分 （Ⅰ）由于)0,0,32(-=
)3,1,0(1=AA
则00301)32(01=⨯+⨯+-⨯=⋅BD AA
∴BD ⊥AA 1 ……………………6分 （Ⅱ）由于OB ⊥平面AA 1C 1C ∴平面AA 1C 1C 的法向量)0,0,1(1=n 设2n ⊥平面AA 1D
则),,(2212z y x n AD n AA n =⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥设 得到)1,3,1(0
30
32-=⎪⎩⎪⎨
⎧=+-=+n y x z y 取 ……………………10分 5
5
,cos 212121=>=
<∴n n 所以二面角D —A 1A —C 的平面角的余弦值是
5
5
……………………12分 法二略 19．（本小题满分13分）
解（1）设第一行公差为d ，则
1)3(111424=+==q d a q a a ， ………………………………………………………1分
.4
1
)(21121232=+==q d a q a a ………………………………………………………2分
解得2
1
,21==q d ………………………………………………………………………4分
.)2
1
(])1([111i i n i j ij j q d j a q a a ⋅=-+=⋅=∴-- ……………………………………6分
（2）.184)42
1
(1812111=⨯+=+++=a a a A …………………………………8分
k k k k k k a a a q a a a A 2
36
)(1812111821=+++=+++=- ……………………10分
（3）.8,6,12
36
,
1≤≥∴<∴<k k A k k 又 8,7,6值为k ∴ …………………………………………………………………………13分
20（本小题满分13分）
解：（I ）由已知可得2
12(2,),(2,),(A P x y A p x y OM x =+=-=．
2212(),OM A P A P λ=⋅ 5分
2222(2)2(x x y x λ∴-=-+≥
即P 点的轨迹方程是2222
(1)2(1)(||x y x λλ-+=-≥
7分．
当2
10λ-> 22
21(||22(1)
x y x λ+=≥-P 点的轨迹是两个点(． 9分
2
10λ-<，即(,1)(1,)
λ∈-∞-⋃+∞时，方程为22
2
1(||22(1)
x y x λ-=≥- P 点的轨迹是双曲线． 11分
210λ-=，即1λ=±时，方程为0(y x =, P 点的轨迹是两条射线． 13分
21. (本题满分13分)
（Ⅰ）解：323)(2
-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ， 即 ⎩⎨
⎧=--=-+0
3230
323b a b a ， 解得0,1==b a ．
∴x x x f 3)(3
-=． ……………………………………………………4分 （Ⅱ）∵x x x f 3)(3
-=，∴)1)(1(333)(2
-+=-='x x x x f ， 当11<<-x 时，0)(<'x f ，故)(x f 在区间]1,1[-上为减函数，
2)1()(,2)1()(min max -===-=f x f f x f
∵对于区间]1,1[-上任意两个自变量的值21,x x ， 都有
)()()()(min max 21x f x f x f x f -≤-
4)2(2)()()()(min max 21=--≤-≤-x f x f x f x f ………………8分
（Ⅲ）)1)(1(333)(2
-+=-='x x x x f ，
∵曲线方程为x x y 33
-=，∴点),1(m A 不在曲线上．
设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足03
003x x y -=．
因)1(3)(20
0-='x x f ，故切线的斜率为1
3)1(3003020
---=-x m
x x x ，
整理得03322
030=++-m x x ．
∵过点),1(m A 可作曲线的三条切线，
∴关于0x 方程03322
030=++-m x x 有三个实根，
设332)(20300++-=m x x x g ，则02
0066)(x x x g -='，
由0)(0='x g ，得00=x 或10=x ．
∴函数332)(2
0300++-=m x x x g 的极值点为00=x ，10=x ．
∴关于0x 方程03322
030=++-m x x 有三个实根的充要条件是0)0()1(<g g ，
即0)2)(3(<++m m ，解得23-<<-m ．
故所求的实数a 的取值范围是23-<<-m ． ……………………………………13分。