八年级初二数学下学期平行四边形单元达标提高题学能测试试题

八年级初二数学下学期平行四边形单元达标提高题学能测试试题
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD 中，30, 6, 63,BCD BC CD E ︒∠===是AD 边上的中点，F 是AB 边上的一动点，将AEF ∆沿EF 所在直线翻折得到A EF '∆,连接A C '，则A C '的最小值为( )
A ．319
B ．313
C ．3193-
D ．63
2．如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 的中点，BE DP ⊥的延长线于点E ，连接AE ，过点A 作FA AE ⊥交DP 于点F ，连接BF 、FC.下列结论中：ABE ①≌ADF ；PF EP EB =+②；BCF ③是等边三角形；ADF DCF ④∠∠=；APF CDF S
S .=⑤其
中正确的是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．②④⑤
D ．①③⑤
3．如图，ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，2BD AD =，, , E F G 分别是,OC OD ，AB 的中点．下列结论正确的是（ ）
①EG EF =；②EFG GBE ≌△△；③FB 平分EFG ；④EA 平分GEF ∠；⑤四边形BEFG 是菱形．
A ．③⑤
B ．①②④
C ．①②③④
D ．①②③④⑤
4．如图，菱形ABCD 中，过顶点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于E 点，已知
134A ∠=︒，则BEC ∠的大小为( )
A ．23︒
B ．28︒
C ．62︒
D ．67︒
5．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片，使AD 落在BC 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB ，AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论①∠AGD ＝110.5°；②S △AGD ＝S △OGD ；③四边形AEFG 是菱形；④BF ＝2OF ；⑤如果S △OGF ＝1，那么正方形ABCD 的面积是12+82，其中正确的有（ ）个．
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
6．如图，四边形ABCD 为平行四边形，D ∠为锐角，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ，且AF FE =．若25AB =，ABCD 面积为300，则AF 的长度为（ ）
A ．30
B ．15
C ．40
D ．20
7．如图，在等腰Rt ABC △中，908C AC ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：
①DFE △是等腰直角三角形； ②四边形CDFE 不可能为正方形，
③DE 长度的最小值为4； ④四边形CDFE 的面积保持不变；
⑤△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤
8．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC 的长为（）
A．2B．2 C．1.5 D．3
9．如图，正方形ABCD的边长为2，Q为CD边上（异于C，D）的一个动点，AQ交BD于点M．过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下面结论：
①AM=MN；②MP=2；③△CNQ的周长为3；④BD+2BP=2BM，其中一定成立的是（）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．①④
10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②△APD一定是等腰三角形；③AP⊥EF；
④2
PD=EF．其中正确结论的番号是（）
A．①③④B．①②③C．①③D．①②④二、填空题
11．如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接
BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为_____．
12．如图，以Rt ABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABED，正方形对角线交于点O，连接CO，如果AC=4，CO=62，那么BC=______．
△和等13．已知：点B是线段AC上一点，分别以AB，BC为边在AC的同侧作等边ABD
边BCE，点M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若AC=6，设BC=2，则线段MN的长是__________．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P为边BC上一动点（P不与B、C 重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是__．
15．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，
PF⊥AC于F，则EF的最小值为_____．
16．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，∠A ＝120°，E 是AB 的中点，点F 在平行四边形ABCD 的边上，若△AEF 为等腰三角形，则EF 的长为_____．
17．在ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高．将ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则DEF 的周长为______．
18．如图，在正方形ABCD 中，AC=62，点E 在AC 上，以AD 为对角线的所有平行四边形AEDF 中，EF 最小的值是_________．
19．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．
20．如图所示，在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E 、F 、G 、H ，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成一个菱形，这个条件是__________．
三、解答题
21．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE
（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由； （2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形．
22．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．
（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；
（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积．
23．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．
（1）求证：AOE COF ∆≅∆；
（2）四边形EGCF 是平行四边形吗？请说明理由；
（3）若四边形EGCF 是矩形，则线段AB 、AC 的数量关系是______．
24．在ABCD 中，以AD 为边在ABCD 内作等边ADE ∆，连接BE ．
（1）如图1，若点E 在对角线BD 上，过点A 作AH BD ⊥于点H ，且75DAB ∠=︒，
AB 6=，求AH 的长度； （2）如图2，若点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，过点E 作MN
CF ，分别交AB ，CD 于点,M N ，在DC 上取DG CN =，连接CE ，EG ．求证：
①CEN DEG ∆∆≌；
②ENG ∆是等边三角形．
25．综合与探究
（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．CE 和CF 之间有怎样的关系．请说明理由．
（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果
45GCE ∠=︒，请你利用（1）的结论证明：GE BE CD =+．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90B ∠=︒，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，4BE =，求DE 的长．
26．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．
（1）求证：GF GC =；
（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．
27．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BD 与CF 的位置关系为__________；CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系____________________．
（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系并加以证明；
（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．
②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由．
28．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．
（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．
（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．
（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意
一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．
（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．
29．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒32
的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒332
+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点.
(1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.
(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.
(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.
30．如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG如图放置，连接AG，AE．
=
（1）求证：AG AE
⊥于P，交AB、AD于M、N，交AE、AG于P、Q，交BC于（2）过点F作FP AE
H，．求证：NH=FM
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
如图，先作辅助线，首先根据垂直条件，求出线段ME、DE长度，然后运用勾股定理求出DE的长度，再根据翻折的性质，当折线'
EA，'AC与线段CE重合时，线段'AC长度最短，可以求出最小值.
【详解】
如图，连接EC,过点E作EM ⊥CD交CD的延长线于点M.
四边形ABCD 是平行四边形，
6AD BC AD BC ∴==，，
E 为AD 的中点，30BCD ∠=︒，
330DE EA MDE BCD ∴==∠=∠=︒，，
又 EM CD ⊥,
13222
ME DE DM ∴===，
CM CD DM ∴=+== 根据勾股定理得：
CE === 根据翻折的性质，可得'3EA EA ==,
当折线'EA ，'AC 与线段CE 重合时，线段'AC 长度最短，此时'AC = 3. 【点睛】
本题是平行四边形翻折问题，主要考查直角三角形勾股定理，根据题意作出辅助线是解题的关键.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可得AB AD =，再根据同角的余角相等求出BAE DAF ∠∠=，再根据等角的余角相等求出ABE ADF ∠∠=，然后利用“角边角”证明ABE ≌ADF ；根据全等三角形对应边相等可得AE AF =，判断出AEF 是等腰直角三角形，过点A 作AM EF ⊥于M ，根据等腰直角三角形点的性质可得AM MF =，再根据点P 是AB 的中点得到AP BP =，然后利用“角角边”证明APM 和BPE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE AM =，EP MP =，然后求出PF EP EB =+；根据全等三角形对应边相等求出DF BE AM ==，再根据同角的余角相等求出DAM CDF ∠∠=，然后利用“边角边”证明ADM 和DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得ADF DCF ∠∠=，CFD DMA 90∠∠==；再求出CD CF ≠，判定BCF 不是等边三角形；求出CF FP >，AM DF =，然后求出APF CDF S
S <．
【详解】
在正方形ABCD 中，AB AD =，DAF BAF 90∠∠+=， FA AE ⊥，
BAE BAF 90∠∠∴+=，
BAE DAF ∠∠∴=，
BE DP ⊥，
ABE BPE 90∠∠∴+=，
又
ADF APD 90∠∠+=，BPE APD(∠∠=对顶角相等)，
ABE ADF ∠∠∴=，
在ABE 和ADF 中， BAE DAF AB AD
ABE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ABE ∴≌()ADF ASA ，故①正确；
AE AF ∴=，BE DF =，
AEF ∴是等腰直角三角形，
过点A 作AM EF ⊥于M ，则AM MF =，
点P 是AB 的中点，
AP BP ∴=，
在APM 和BPE 中，
90BPE APD BEP AMP AP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
APM ∴≌()BPE AAS ，
BE AM ∴=，EP MP =，
PF MF PM BE EP ∴=+=+，故②正确；
BE DF =，FM AM BE ==，
AM DF ∴=，
又
ADM DAM 90∠∠+=，ADM CDF 90∠∠+=，
DAM CDF ∠∠∴=，
在ADM 和DCF ， AD DC DAM CDF AM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
ADM ∴≌()DCF SAS ，
CF DM ∴=，ADF DCF ∠∠=，CFD DMA 90∠∠==，故④正确； 在Rt CDF 中，CD CF >，
BC CD =，
CF BC ∴≠，
BCF ∴不是等边三角形，故③错误；
CF DM DF FM EM FM EF FP ==+=+=≠，
又AM DF =，
APF CDF S S ∴<，故⑤错误；
综上所述，正确的有①②④，
故选B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角或等角度余角相等的性质，三角形的面积，综合性较强，难度较大，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，作辅助线利用等腰直角三角形的性质并构造出全等三角形是本题的难点．
3．B
解析：B
【分析】
由中点的性质可得出//EF CD ，且12EF CD BG ，结合平行即可证得②结论成立，由2BD BC =得出BO BC =，即而得出BE AC ⊥，由中线的性质可知//GP BE ，且12GP BE ，AO EO =，通过证APG EPG 得出AG EG EF 得出①成立，再证GPE FPE 得出④成立，此题得解．
【详解】
解：令GF 和AC 的交点为点P ，如图
E 、
F 分别是OC 、OD 的中点，
//EF CD ∴，且12EF CD =， 四边形ABCD 为平行四边形，
//AB CD ∴，且AB CD =，
//AB EF ∴ FEG BGE （两直线平行，内错角相等），
点G 为AB 的中点， 1122BG AB CD FE ，
在EFG ∆和GBE ∆中，
BG FE
FEG BGE GE EG ，
()EFG
GBE SAS ，即②成立， EGF GEB ，FE BG ，
//GF BE （内错角相等，两直线平行），
2BD BC =，点O 为平行四边形对角线交点， 12BO BD BC ，
E 为OC 中点，
BE OC ∴⊥，
GP AC ，
90APG EPG
//GP BE ，G 为AB 中点， P ∴为AE 中点，即AP PE =，且12GP
BE ， 在APG ∆和EGP ∆中，
AP EP APG EPG GP GP ， ()APG EPG SAS ， 12
AG EG AB ， EG EF ∴=，即①成立，
//EF BG ，//GF BE ，
∴四边形BGFE 为平行四边形，
GF BE ∴=， 1122
GP BE GF ， GP FP ， GF AC ， 90GPE FPE
在GPE 和FPE ∆中，GP FP GPE FPE EP EP ，
()GPE FPE SAS ， GEP FEP ，
EA ∴平分GEF ∠，即④成立，
综上所述，正确的有①②④，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等．
4．D
解析：D
【分析】
先说明ABD=∠ADC=∠CBD ，然后再利用三角形内角和180°求出即可∠CBD 度数，最后再用直角三角形的内角和定理解答即可.
【详解】
解：∵菱形ABCD
∴AB=AD
∴∠ABD=∠ADC
∴∠ABD=∠CBD
又∵134A ∠=︒
∴∠CBD=∠BDC=∠ABD=∠ADB=
12
(180°-134°)=23° ∴BEC ∠=90°-23°=67°
故答案为D.
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角和三角形内角和定理. 5．B
解析：B
【分析】
①由四边形ABCD 是正方形，可得∠GAD ＝∠ADO ＝45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG 的度数，从而求得∠AGD ；
②证△AEG ≌△FEG 得AG ＝FG ，由FG ＞OG 即可得；
③先计算∠AGE ＝∠GAD+∠ADG ＝67.5°，∠AED=∠AGD －∠EAG=67.5°，从而得到∠AGE ＝∠AED ，易得AE=AG ，由AE ＝FE 、AG ＝FG 即可得证；
④设OF ＝a ，先求得∠EFG ＝45°，易得∠GFO ＝45°，在Rt △OFG 中，GF a ，
从而可证得BF ＝EF ＝GF ；
⑤由S △OGF ＝1求出a 2，再表示出BE 及AE 的长，利用正方形的面积公式可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠EAG=∠GAD ＝∠ADO ＝45°，∠AOB=90°，
由折叠的性质可得：∠ADG ＝
12
∠ADO ＝22.5°， ∴∠AGD ＝180°－∠GAD －∠ADG ＝112.5°，
故①错误；
由折叠的性质可得：AE ＝EF ，∠AEG ＝∠FEG ，
在△AEG和△FEG中，
AE FE
AEG FEG
EG EG
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AEG≌△FEG（SAS），
∴AG＝FG，
∵在Rt△GOF中，AG＝FG＞GO，
∴S△AGD＞S△OGD，故②错误；
∵∠AGE＝∠GAD+∠ADG＝67.5°，∠AED=∠AGD－∠EAG=67.5°，∴∠AGE＝∠AED，
∴AE＝AG，
又∵AE＝FE，AG＝FG，
∴AE＝EF＝GF＝AG，
∴四边形AEFG是菱形，故③正确；
设OF＝a，
∵△AEG≌△FEG，
∴∠EFG＝∠EAG=45°，
又∵∠EFO＝90°，
∴∠GFO＝45°，
∴在Rt△OFG中，GF
，
∵∠EFO＝90°，∠EBF＝45°，
∴在Rt△EBF中，BF＝EF＝GF
a，即BF
OF，故④正确；
∵S△OGF＝1，
∴1
2
OF2＝1，即
1
2
a2＝1，
则a2＝2，
∵BF＝EF
a，且∠BFE＝90°，
∴BE＝2a，
又∵AE＝EF
，
∴AB＝AE+BE
+2a＝
)a，
则正方形ABCD的面积是
)2a2＝
(6+＝
12+
故⑤正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查了四边形的综合，熟练掌握正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及全等三角形、菱形的判定与性质等知识是解题的关键.
6．B
解析：B
由题意先根据ASA 证明△ADF ≌△ECF ，推出300ABE ABCD S S ==，再证明BE=AB=25，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF ⊥AE ．设AF=x ，BF=y ，由∠ABF ＜∠BAF 可得x ＜y ，进而根据勾股定理以及△ABE 的面积为300列出方程组并解出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD//BC 即AD//BE ，AB//CD ，
∴∠DAF=∠E ．
在△ADF 与△ECF 中，
DAF E AF EF
AFD EFC ⎧⎪⎨⎪∠∠∠⎩
∠＝＝＝， ∴△ADF ≌△ECF （ASA ），
∴ADF ECF S S =△△，
∴300ABE ABCD S S ==．
∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE=∠DAF ，
∵∠DAF=∠E ，
∴∠BAE=∠E ，
∴BE=AB=25，
∵AF=FE ，
∴BF ⊥AE ．
设AF=x ，BF=y ，
∵∠D 为锐角，
∴∠DAB=180°-∠D 是钝角，
∴∠D ＜∠DAB ， ∴12∠ABC ＜12
∠DAB ， ∴∠ABF ＜∠BAF ，
∴AF ＜BF ，x ＜y ． 则有222
2
2520013x y x y ⎧+⎪⎨⎪⎩＝＝，解得：1520x y ⎧⎨⎩＝＝或2015x y ＝＝（舍去）， 即AF=15．
故选：B ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质和勾股定理等知识．由题意证明出300ABE ABCD S S ==以及BF ⊥AE 是解题的关键．
解析：B
【分析】
①连接CF，证明△ADF≌△CEF，得到△EDF是等腰直角三角形；
②根据中点的性质和直角三角形的性质得到四边形CDFE是菱形，利用正方形的判定定理进行判断；
③当DE最小时，DF也最小，利用垂线段的性质求出DF的最小值，进行计算即可；
④根据△ADF≌△CEF，得到S四边形CEFD=S△AFC；
⑤由③的结论进行计算即可．
【详解】
①连接CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，且F是AB边上的中点，
∴∠FCB=∠A=∠B =45°，CF=AF=FB，
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠AFD=∠CFE，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，①正确；
②当D、E分别为AC、BC中点，即DF、EF分别为Rt△AFC和Rt△BFC斜边上的中线，
∴CD=DF=1
2
AC，FE=EC=
1
2
BC，
∴CD=DF=FE=EC，
四边形CDFE是菱形，又∠C=90°，
∴四边形CDFE是正方形，②错误；
③由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小，
当DF⊥AC时，DE最小，此时EF=DF=1
2
BC=4．
∴2222
4442
DF EF
+=+=
④∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF，
∴S四边形CEFD=S△AFC，
∴四边形CDFE的面积保持不变，④正确；
⑤由③可知当DE最小时，DF也最小，
DF 的最小值是4，则DE
的最小值为
当△CEF 面积最大时，此时△DEF 的面积最小．
此时S △CEF =S 四边形CEFD -S △DEF =S △AFC -S △DEF =16-8=8，⑤正确；
综上，正确的是：①④⑤，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理、理解点到直线的距离的概念是解题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
设BC x =，先根据矩形的性质可得90,B AD BC ∠=︒=，再根据折叠的性质可得,,90OA AD x OC BC x COE B ====∠=∠=︒，从而可得OA OC =，又根据菱形的性质可得AE CE =，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得90AOE COE ∠=∠=︒，从而可得点,,A O C 共线，由此可得2AC x =，最后在Rt ABC 中，利用勾股定理即可得．
【详解】
设BC x =，
四边形ABCD 是矩形，
90,B AD BC x ∴∠=︒==，
由折叠的性质得：,,90OA AD x OC BC x COE B ====∠=∠=︒，
OA OC x ∴==，
四边形AECF 是菱形，
AE CE ∴=，
在AOE △和COE 中，OA OC AE CE OE OE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()AOE COE SSS ∴≅，
90AOE COE ∴∠=∠=︒，即180AOE COE ∠+∠=︒，
∴点,,A O C 共线，
2AC OA OC x ∴=+=，
在Rt ABC 中，222AB BC AC +=，即2223(2)x x +=，
解得x =
x =
即BC =
故选：D ．
【点睛】
本题考查了矩形与菱形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，利用三角形全等的判定定理与性质证出90AOE COE ∠=∠=︒，从而得出点,,A O C 共线是解题关键．
9．C
解析：C
【分析】
连接AC 交BD 于O ，作ME ⊥AB 于E ，MF ⊥BC 于F ，延长CB 到H ，使得BH=DQ ． ①正确．只要证明△AME ≌△NMF 即可；
②正确．只要证明△AOM ≌△MPN 即可；
③错误．只要证明∠ADQ ≌△ABH ，由此推出△ANQ ≌△ANH 即可；
④正确．只要证明△AME ≌△NMF ，证得四边形EMFB 是正方形即可解决问题；
【详解】
连接AC 交BD 于O ，作ME ⊥AB 于E ，MF ⊥BC 于F ，延长CB 到H ，使得BH=DQ ．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AC ⊥BD ，222，∠DBA=∠DBC=45°，
∴ME=MF ，
∵∠MEB=∠MFB=∠EBF=90°，
∴四边形EMFB 是矩形，
∵ME=MF ，
∴四边形EMFB 是正方形，
∴∠EMF=∠AMN=90°，
∴∠AME=∠NMF ，
∵∠AEM=∠MFN=90°，
∴△AME ≌△NMF （ASA ），
∴AM=MN ，故①正确；
∵∠OAM+∠AMO=90°，∠AMO+∠NMP=90°，
∴∠AMO=∠MNP ，
∵∠AOM=∠NPM=90°，
∴△AOM ≌△MPN （AAS ），
∴2，故②正确；
∵DQ=BH ，AD=AB ，∠ADQ=∠ABH=90°，
∴∠ADQ≌△ABH（SAS），
∴AQ=AH，∠QAD=∠BAH，
∴∠BAH+∠BAQ=∠DAQ+∠BAQ=90°，
∵AM=MN，∠AMN=90°，
∴∠MAN=45°，
∴∠NAQ=∠NAH=45°，
∴△ANQ≌△ANH（SAS），
∴NQ=NH=BN+BH=BN+DQ，
∴△CNQ的周长=CN+CQ+BN+DQ=4，故③错误；
∵BD+2BP=2BO+2BP=2AO+2BP=2PM+2BP，
∴BD+2BP=2BM，故④正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
10．C
解析：C
【分析】
过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE 后即可证明①AP=EF；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，
DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得2
DP EC
，即可得到答案．
【详解】
证明：过P作PG⊥AB于点G，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理，得PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，
∴AG=PF，
∴△AGP≌△FPE，
∴AP=EF；故①正确；
延长AP到EF上于一点H，
∴∠PAG=∠PFH，
∵∠APG=∠FPH，
∴∠PHF=∠PGA=90°，
即AP⊥EF；故③正确；
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，
∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故②错误．
∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC，
∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
EC
，故④错误．
∴正确的选项是①③；
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
二、填空题
11． 4
【解析】
分析：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的长；
②当∠A'FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．
详解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，
.
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°，
∴∠CDE=∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB=∠A'EC，
∴∠A'CB=∠A'EC，
∴A'C=A'E=4，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC=2A'E=8，
由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，
∴AB=22
84=43
；
②当∠A'FE=90°时，如图2，
.
∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，
∴∠ABF=90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC=∠CBA'=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4；.
综上所述，AB 的长为4
3或4；
故答案为43或4.
点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
12．8
【分析】
通过作辅助线使得△CAO ≌△GBO ，证明△COG 为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG 后，即可求出BC 的长．
【详解】
如图，延长CB 到点G ，使BG=AC ．
∵根据题意，四边形ABED 为正方形，
∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°，
∴∠1+∠2=90°
又∵三角形BCA 为直角三角形，AB 为斜边，
∴∠2+∠3=90°
∴∠1＝∠3
∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO ＝∠GBO ，
在△CAO 和△GBO 中，
CA GB CAO GBO AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
故△CAO ≌△GBO ，
∴CO ＝GO=627=∠6，
∵∠7+∠8=90°，
∴∠6+∠8=90°，
∴三角形COG 为等腰直角三角形，
∴， ∵CG=CB+BG ， ∴CB=CG －BG=12－4=8，
故答案为8．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．
13
【分析】
如图（见解析），先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得
//,4ME AB ME AB ==，再根据平行线的性质可得60FEM C ∠=∠=︒，然后利用直角
三角形的性质、勾股定理可得2,EF MF ==，从而可得3FN =，最后在Rt FMN 中，利用勾股定理即可得．
【详解】
如图，连接ME ，过点M 作MF CE ⊥，交CE 延长线于点F ，
ABD △和BCE 都是等边三角形，2BC =，
60,2,A CBE C BE CE AD A C B B ∴∠=∠=∠=︒====，
//AD BE ∴，
6AC =，
624AD AB ∴==-=，
点M ，N 分别是AD ，CE 的中点，
112,122
AM AD EN CE ∴====， AM BE ∴=，
∴四边形ABEM 是平行四边形，
//,4ME AB ME AB ∴==，
60FEM C ∴∠=∠=︒，
在Rt EFM △中，906030EMF ∠=︒-︒=︒，
12,2
EF ME MF ∴==== 123FN EN EF ∴=+=+=，
则在Rt FMN 中，MN =
==
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和平行四边形是解题关键．
14．30
13
≤AM<6
【分析】
由勾股定理得BC=13从而得到点A到BC的距离, M为EF中点，所以AM=1
2
EF，继而求得
AM的范围．
【详解】
因为∠BAC=90°，AB=5，AC=12，所以由勾股定理得BC=13，
则点A到BC的距离为
AC512
BC13
AB⨯⨯
==
60
13
，
所以AM的最小值为60
13
÷2=
30
13
，
因为M为EF中点，所以AM=1
2
EF，
当E越接近A，F越接近C时，EF越大，所以EF＜AC，则AM＜6，
所以30
13
≤AM＜6，
故答案为30
13
≤AM＜6.
15．4
【分析】
根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF＝AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【详解】
解：连接AP，
∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
即∠BAC ＝90°．
又∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，
∴四边形AEPF 是矩形，
∴EF ＝AP ，
∵AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，
设斜边上的高为h ，
则S △ABC =1122BC h AB AC ⋅=⋅ ∴1153422
h ⨯⋅=⨯⨯ ∴h=2.4，
∴EF 的最小值为2.4，
故答案为：2.4．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．
16．33或3或
572 【分析】 △AEF 为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平行四边形的性质可求解．
【详解】
解：当AE AF =时，如图，过点A 作AH EF ⊥于H ，
E 是AB 的中点，
132
AE AB ∴==， =AE AF ，AH EF ⊥，120A ∠=︒，
30AEF AFE ∴∠=∠=︒，FH
EH =， 1322AH AE ∴==，333EH AH =，
233EF EH ∴==， 当AF EF =时，如图2，
过点A 作AN CD ⊥于N ，过点F 作FM AB ⊥于M ，
图2
在平行四边形ABCD 中，6AB =，4BC =，120A ∠=︒，
4AD BC ∴==，60ADC ∠=︒，
30DAN ∴∠=︒，
122
DN AD ∴==，323AN DN ==， //AB CD ，AN CD ⊥，FM AB ⊥，
23AN MF ∴==，
AF EF =，FM AB ⊥，
32
AM ME ∴==， 22957124EF ME MF ∴=+=+
=； 当3AE EF ==时，如图3，
图3
3EF ∴=，
综上所述：EF 的长为3
33或572
． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
17．15.5
【分析】
先根据折叠的性质可得,AE DE EAD EDA =∠=∠，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得B BDE ∠=∠，又根据等腰三角形的性质可得BE DE =，从而可得
6DE AE BE ===，同理可得出5DF AF CF ===，然后根据三角形中位线定理可得
1 4.52
EF BC =
=，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】
由折叠的性质得：,AE DE EAD EDA =∠=∠ AD 是BC 边上的高，即AD BC ⊥
90B EAD ∴∠+∠=︒，90BDE EDA ∠+∠=︒
B BDE ∴∠=∠
BE DE ∴=
1112622
DE AE BE AB ∴====⨯= 同理可得：1110522DF AF CF AC ===
=⨯= 又,AE BE AF CF ==
∴点E 是AB 的中点，点F 是AC 的中点
EF ∴是ABC 的中位线
119 4.522
EF BC ∴==⨯= 则DEF 的周长为65 4.515.5DE DF EF ++=++=
故答案为：15.5．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE DE =是解题关键．
18．【详解】
解析：∵在正方形ABCD 中，AC=
∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45°
设EF 与AD 交点为O ，O 是AD 的中点,
∴AO=3
以AD 为对角线的所有▱AEDF 中，当EF ⊥AC 时，EF 最小，
即△AOE 是直角三角形，
∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，OE=
2OA=2
，
∴EF=2OE=
19
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得∠DAF=∠BAF=45°，再由矩形性质可得FC=ED=1，然后由勾股定理求出FG 即可．
【详解】
由折叠的性质可知，∠DAF=∠BAF=45°，
∴AE=AD=3，EB=AB-AD=1，
∵四边形EFCB为矩形，
∴FC=BE=1，
∵AB∥FC，
∴∠GFC=∠DAF=45°，
∴GC=FC=1，
∴22112
FG GC FC
=+=+=，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了折叠变换，矩形的性质是一种对称变换，理解折叠前后图形的大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解决此题的关键．
20．答案不唯一，例AC=BD 等
【分析】
连接AC、BD，先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的特点添加条件即可.【详解】
连接AC，
∵点E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，EF=1
2 AC，
同理HG∥AC，HG=1
2 AC,
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
连接BD,同理EH=FG,EF∥FG，
当AC=BD时，四边形EFGH是平行四边形，
故答案为：答案不唯一，例AC=BD 等.
【点睛】
此题考查三角形中位线性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定.
三、解答题
21．（1）四边形BECD 是菱形，理由见解析；（2）45︒
【分析】
（1）先证明//AC DE ，得出四边形BECD 是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD BD =，得出四边形BECD 是菱形；
（2）先求出45ABC ∠=︒，再根据菱形的性质求出90DBE ∠=︒，即可证出结论．
【详解】
解：当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是菱形；理由如下：
∵DE BC ⊥，
90DFE ∴∠=︒，
∵90ACB ∠=︒，
ACB DFB ∴∠=∠，
//AC DE ∴，
∵//MN AB ，即//CE AD ，
∴四边形ADEC 是平行四边形，
CE AD ∴=； D 为AB 中点，
AD BD ∴=，
BD CE ∴=，
∵//BD CE ，
∴四边形BECD 是平行四边形，
∵90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，
12
CD AB BD ∴==， ∴四边形BECD 是菱形；
（2）当45A ∠=︒时，四边形BECD 是正方形；理由如下：
∵90ACB ∠=︒，45A ∠=︒，
45ABC ∴∠=︒，
∵四边形BECD 是菱形，
12
ABC DBE ∴∠=∠， 90DBE ∴∠=︒，
∴四边形BECD 是正方形．
故答案为：45︒．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．
22．（1）详见解析；（2）18
【分析】
（1）根据正方形的性质得出BC=BD ，AB=BF ，∠CBD=∠ABF=90°，求出∠ABD=∠CBF ，根据全等三角形的判定得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠BFC ，AD=FC=6，求出AD ⊥CF ，根据三角形的面积求出即可．
【详解】
解：（1）四边形ABFG 、BCED 是正方形，
AB FB ∴=，CB DB =，90ABF CBD ∠=∠=︒，
ABF ABC CBD ABC ∴∠+∠=∠+∠，
即ABD CBF ∠=∠
在ABD ∆和FBC ∆中，
AB FB ABD CBF DB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ABD FBC SAS ∴∆≅∆；
图1 图2
（2）
ABD FBC ∆≅∆，
BAD BFC ∴∠=∠，6AD FC ==，
180AMF BAD CNA ∴∠=︒-∠-∠ 180()BFC BNF =︒-∠+∠
1809090=︒-︒=︒
AD CF ∴⊥
-ACD ACF DFM ACM ACDF S S S S S ∆∆∆∆∴=++四边形
11112222
AD CM CF AM DM FM AM CM =⋅+⋅+⋅-⋅ 1133(6)(6)1822
CM AM AM CM AM CM =++---⋅= 【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能求出△ABD ≌△FBC 是解此题的关键．
23．（1）见解析；（2）四边形EGCF 为平行四边形，理由见解析；（3）AC=2AB ．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到OE=OF 即可证得结论；
（2）利用AOE COF ∆≅∆得到∠EAO=∠FCO ，AE=CF ，由此推出AE ∥CF ，EG=CF 即可证得四边形EGCF 是平行四边形；
（3）AC=2AB ，根据平行四边形的性质推出AB=AO ，利用点E 是OB 的中点，得到AG ⊥OB ，即可得到四边形EGCF 是矩形.
【详解】
（1）四边形ABCD 为平行四边形，
OA OC ∴=，OB OD =，
点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，
12OE OB ∴=，12
OF OD =， 则OE OF =，
在AOE ∆与COF ∆中
OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
AOE COF ∴∆≅∆；
（2）AOE COF ∆≅∆，
EAO FCO ∴∠=∠，AE CF =，
//AE CF ∴，
又GE AE =，
GE CF ∴=，
∴四边形EGCF 为平行四边形；
（3）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形.
∵AC=2AB ，AC=2AO ，
∴AB=AO ，
∵点E 是OB 的中点，
∴AG ⊥OB ，
∴∠GEF=90°，
∴四边形EGCF 是矩形.
故答案为：AC=2AB .
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，矩形的判定定理，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.
24．（1
）AH 2）①证明见解析；②证明见解析
【分析】。