2018年福建省龙岩市中都中学高二数学文联考试卷含解析

2018年福建省龙岩市中都中学高二数学文联考试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 等比数列{a n}中，，则与的等比中项是（）
A. ±4
B. 4
C.
D.
参考答案：
A
【分析】
利用等比数列{a n}的性质可得，即可得出．
【详解】设与的等比中项是x．
由等比数列的性质可得，．
∴a4与a8的等比中项
故选：A．
【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．
2. 直线与圆相交于两点，若弦的中点为，
则直线的方程为
A．B．C．D．
参考答案：
C
3. 执行如图所示程序，若P=0.9，则输出n值的二进制表示为（）
A．11（2）B．100（2）C．101（2）D．110（2）
参考答案：
C
【考点】程序框图．
【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体：n=1，满足继续循环的条件，S=；
第二次执行循环体：n=2，满足继续循环的条件，S=；
第三次执行循环体：n=3，满足继续循环的条件，S=；
第四次执行循环体：n=4，满足继续循环的条件，S=；
第五次执行循环体：n=5，不满足继续循环的条件，
故输出n值为5，
∵5（10）=101（2），
故选：C
4. 对任意的实数k,直线y=kx+1与圆的位置关系一定是（）
A．相离B．相
切
C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心
参考答案：
C
略
5. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
将平移到,则异面直线与所成的角等于,连接在根据余弦定理易得。

【详解】设正方体边长为1，将平移到,则异面直线与所成的角等于，连接。

则，所以为等边三角形，所以。

故选：A
【点睛】此题考查立体几何正方体异面直线问题，异面直线求夹角，将其中一条直线平移到与另外一条直线相交形成的夹角即为异面直线夹角，属于简单题目。

6. “”是“”
的
（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
D
7. 正方形的边长为，平面，，那么到对角线
的距离是（）
A． B． C．
D．
参考答案：
D
略
8. 若直线l与平面??所成角为，直线a在平面?内，且与直线l异面，则直线l与直线a 所成的角的取值范围是（）．
A．B．C．D．
参考答案：
C
因为直线l是平面的斜线，斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的
一切角中最小的角，故a与l所成的角大于或等于又因为异面直线所成的角不大于，故选C．
9. 从双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|与b﹣a的关系为（）
A．|MO|﹣|MT|＞b﹣a B．|MO|﹣|MT|＜b﹣a
C．|MO|﹣|MT|=b﹣a D．|MO|﹣|MT|与b﹣a无关
参考答案：
C
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．利用三角形的中位线定理和双
曲线的定义可得：|OM|=|PF′|=（|PF|﹣2a）==|MF|﹣a，于是|OM|﹣
|MT|=|MF|﹣|MT|﹣a=|FT|﹣a，连接OT，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，
可得|FT|==b．即可得出关系式．
【解答】解：如图所示，
设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．
∵点M，O分别为线段PF，FF′的中点．
由三角形的中位线定理可得：
|OM|=|PF′|=（|PF|﹣2a）==|MF|﹣a，
∴|OM|﹣|MT|=|MF|﹣|MT|﹣a=|FT|﹣a，
连接OT，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，
∴|FT|===b．
∴|OM|﹣|MT|=b﹣a．
故选：C．
10. 给出如下四个命题：
①；②；③；
④．其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将正整数对作如下分组，第1组为，第2组为，第3组为
，第4组为则第30组第16个数对为__________．
参考答案：
(17,15)
根据归纳推理可知，每对数字中两个数字不相等，且第一组每一对数字和为3，第二组每一对数字和为4，第三组每对数字和为，第30组每一对数字和为32，∴第30组第一对数为，第二对数为，第15对数为，第16对数为.
12. 由“若直角三角形两直角边长分别为a、b，则其外接圆半径r =” 类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a、b、c，则其外接球半径r
=
参考答案：
略
13. 一个容量为20的样本数据，数据的分组及各组的频数如下：
（10，20），2；（20，30），3；（30，40），4；（40，50），5；（50，60），4；（60，70），2．
则样本在区间（－∞，50）上的频率为_▲_．
参考答案：
0.7
14. ，，则实数的取值范围为
参考答案：
略
15. 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）
参考答案：
乙
【考点】茎叶图；极差、方差与标准差．
【分析】由茎叶图知甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，由此能求出结果．
【解答】解：由某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录的茎叶图表知：
甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，
∴从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．
故答案为：乙．
16. 若双曲线上一点到左焦点的距离为4，则点到右焦点的距离
是 .
参考答案：
10
17. 双曲线的顶点到其渐近线的距离等于_________．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （14分）已知数列满足, ,
（Ⅰ）计算出、、;
（Ⅱ）猜想数列通项公式,并用数学归纳法进行证明.
参考答案：
19.（Ⅰ）
---------3分；
（Ⅱ）由⑴知分子是3，分母是以首项为5公差为6的等差数列
∴猜想数列通项公式：---------------------6分
用数学归纳法证明如下：
当时，由题意可知，命题成立.
假设当时命题成立，即，----8分
那么，当时，
也就说，当时命题也成立-----------------------------------13分
综上所述，数列的通项公式为---------------------14分
略
19. 已知三棱柱ABC﹣A′B′C′，侧棱与底面垂直，且所有的棱长均为2，E为AA′的中点，F为AB的中点．
（Ⅰ）求多面体ABCB′C′E的体积；
（Ⅱ）求异面直线C'E与CF所成角的余弦值．
参考答案：
【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】（I）分别求出直三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积V．三棱锥E﹣A′B′C′的体积V1．即可得出多面体ABCB′C′E的体积=V﹣V1；
（II）如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D，DF，DE．可得四边形CFDC′是矩形．C′D∥CF．因此∠EC′D即是异面直线C′E与CF所成角．
【解答】解：（I）直三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积V==2．
三棱锥E﹣A′B′C′的体积V1=A′E==．
∴多面体ABCB′C′E的体积=V﹣V1=；
（II）如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D，DF，DE．
可得四边形CFDC′是矩形．
∴C′D∥CF．
∴∠EC′D即是异面直线C′E与CF所成角．
在Rt△C′DE中，C′D=，C′E=．
∴cos∠EC′D===．
∴异面直线C′E与CF所成角的余弦值为．
【点评】本题考查了直三棱柱的体积及其性质、异面直线所成的角、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
20. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，
.
（1）若，求与所成角的余弦值；
（2）当平面与平面垂直时，求的长.
参考答案：
（1）因为四边形是菱形，所以.
又因为平面，所以.
又，所以平面.
设.
因为，，
所以，，
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系.
则，，，，所以，.
设与所成角为，则.
（2）由（1）知，设（），则，
设平面的法向量，则，，所以
，
令，则，，所以.
同理，平面的法向量.
因为平面平面，所以，即，解得.所以.
21. 已知函数，，其中e是自然常数.
(1)判断函数在内零点的个数，并说明理由；
(2)，，使得不等式成立，试求实数m的取值范围.
参考答案：
（1）见解析；（2）.
试题分析：（1）对函数求导，，得到函数在
上单调递增，根据零点存在定理得到函数存在一个零点；（2）不等式
等价于，即，对两边的函数分别求导研究单调性，求得最值得到取得最大值，取得最小值，故只需要
,解出即可.
解析：
(1)函数在上零点的个数为1，理由如下：
因为，所以，
因为，所以，所以函数在上单调递增.
因为，，根据函数零点存在性定理得函数在上存在1个零点.
(2)因为不等式等价于，
所以，，使得不等式成立，等价于
，即，
当时，，故在区间上单调递增，所以当时，取得最小值，又，
当时，，，，所以，故函数
在区间上单调递减.
因此，当时，取得最大值，所以，所以，
所以实数的取值范围为.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立或者有解求参的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.
22. 已知函数
⑴判断函数f(x)的单调性，并证明；
⑵求函数f(x)的最大值和最小值．
参考答案：
⑴在[3,5]上为增函数（2）
试题分析：（1）利用函数单调定义证明，可得函数在[3，5]上为单调增函数；（2）根据函数的单调递增，可得函数的最值为，. 试题解析：⑴设且,所以4分
即，在[3，5]上为增函数. 6分
⑵在[3，5]上为增函数，则，10分
考点：1.函数单调的判断；2.利用函数单调性求最值。