陕西省西工大附中高三数学第八次适应性训练试题 文 新

2014年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第八次适应性训练
数学（文科）
【试卷综析】本卷以考纲为指导，重点考查运用知识分析问题的方法和解决问题的能力，避免刻板、繁难和偏怪试题，能检测出考生已有的和潜在的学习能力，突出能力立意，侧重于考查理解和应用，对思维能力，运算能力，空间想象能力实践能力和创新意识都全面兼顾，很好的把握知识的深度和难度，结构合理，是一份水平很高的模拟试题. 第Ⅰ卷 选择题（共50分） 一、选择题（5×10=50分）
1.若0a b >>，则下列不等式中成立的是
（A （B ）||||a b < （C （D 【知识点】不等式的基本性质；不等式成立的条件；特殊值法.
【答案解析】 C 解析 ：解：因为0a b >>，令2,1a b ==可以排除A,B,D 三项，B 选项为正确答案.
【思路点拨】比较两个实数的大小时，可以利用赋值法以达到快速解题的目的.
2.已知平面向量(1,2),(2,)a b m =-=r r
，且//a b r r ，则32a b +=r r
（A ）(7,2) （B ）(7,14)- （C ）(7,4)- （D ）(7,8)- 【知识点】两个向量平行的充要条件；实数与向量的积；向量的加法.
【答案解析】 B 解析 ：解：因为//a b r
r ,所以根据两向量平行的充要条件12210x y x y -=得40m +=,解得4m =-.3a r
2(3,6)(4,8)(7,14)b +=-+-=-r ,答案D 正确.
【思路点拨】两个向量平行的充要条件的坐标形式为12210x y x y -=,要与两个向量垂直的充要条件的坐标形式12120x x y y +=区分开.
3.在等差数列{}n a 中，12543=++a a a ，那么=+++721a a a Λ （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 【知识点】等差数列的性质;等差中项的性质.
【答案解析】 C 解析 ：解：因为{}n a 为等差数列，则3454312a a a a ++== ,解得
44a =.1274728a a a a +++==L ,答案C 正确.
【思路点拨】当数列{}n a 是等差数列时,,,,m n p q N ∈,若m n p q +=+,则
正视图
侧视图
俯视图
m n p q a a a a +=+.
4.执行如图所示的算法框图，则输出的S 值是
A ．－1
B.2
3
C.3
2
D ．4
【知识点】程序框图的应用.
【答案解析】 D 解析 ：解：1i =,23
1;2,;3,;32
S i S i S =-==
==,4,4i S ==;5i =, 1;S =-;8,4;9i S i ===L ,结束循环,输出S 的值是4,答案是D.
【思路点拨】先算出前几项S,然后找出周期为4,进而得到答案.
【典型总结】解决程序框图要注意几个变量:(1)记数变量:用来记录某个事件发生的次数,如i=i+1.(2)累加变量:用来计算数据之和,如S=S+i.(3)累乘变量:用来计算数
据之积,如p=p ⨯i.
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（A （B （C ）1 （D ）2
D
C
B
A
【知识点】三视图转化为几何体；三棱锥体积的计算.
【答案解析】 A 解析 ：解：由三视图可知几何体为三棱锥A-BCD,底面BCD 是以D 为直角的等腰直角三角形，腰长是BD=1,高AD=2;所以体积1111
23323
V Sh =
=⨯⨯=,则 答案A 正确.
【思路点拨】把三视图转化为对应的几何体是本题的关键,再由体积公式求的即可. 6．“|x |<2”是“x 2
－x －6<0”的什么（ ）条件
A ．充分而不必要
B ．必要而不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
【知识点】充分条件和必要条件；绝对值不等式的解法；一元二次不等式的解法.
【答案解析】 A 解析 ：解：由2x <解得22x -<<,2
60x x --<解得23x -<<,所以答案A 正确.
【思路点拨】若A B ⊆,则A 是B 的充分条件;若B A ⊆,则A 是B 的必要条件. 7．已知直线l 1，l 2与平面α，则下列结论中正确的是
A ．若l 1
α，l 2∩α＝A ，则l 1，l 2为异面直线
B ．若l 1∥l 2，l 1∥α，则l 2∥α
C ．若l 1⊥l 2，l 1⊥α，则l 2∥α
D ．若l 1⊥α，l 2⊥α，则l 1∥l 2
【知识点】直线与平面的位置关系；异面直线的判定.
【答案解析】 D 解析 ：解：A:当1l 过A 点时,12l l A ⋂=,它们共面,A 答案错.B:当2l 在平面α内时,B 答案错.C:当2l 在平面α内时,C 答案也错,所以正确答案为D. 【思路点拨】直线l //α要满足三个条件:;//;l l m m αα⊄⊆,三者缺一不可. 8．已知抛物线y ＝－x 2
＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于
A ．3
B ．4
C ． 4 2
D ．3 2
【知识点】弦长公式;对称问题；根与系数的关系；点差法.
【答案解析】 D 解析 ：解：设1122(,),(,)A x y B x y ,中点为()00,P x y ,则
212121()()y y x x x x -=--+,所以00121,2AB k x x =-==-
,所以11,22P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.直线AB 的方程为1y x =+,代入抛物线方程得
220x x +-=,12121,2x x x x +=-=-,AB ==【思路点拨】利用点差法求弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的等量关系.
【典型总结】涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”点差法的应用，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交的基本方法. 9．四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点．在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8 【知识点】几何概型；对立事件；概率的求法.
【答案解析】 B 解析 ：解：在长方形ABCD 中,到O 点的距离小于等于1的点的集合构成的图形是以O 为圆心以AB 为直径的半圆,其面积为2
π
,所以到点O 距离大于1的概率为14
P π
=-
,答案B 正确.
【思路点拨】由()()1P A P A +=可知,要求()P A ,可先求事件A 的对立事件A 的概率
()P A .
10.是关于x 的方程 B D 【知识点】一元二次方程有根的条件和韦达定理;同角三角函数的关系.
【答案解析】 C 解析 ：解：由0∆≥得0a ≤或4a ≥,因为sin cos sin cos a
a
αααα+=⎧⎨
•=⎩
所以2210a a --=,解得1a =1a =舍去)33
sin cos αα+=(sin α+
cos )(1sin cos )(1)2a a ααα-=-=-答案C 正确.
【思路点拨】注意一元二次方程有解的条件0∆≥求出a 的范围，利用根与系数的关系及同角三角的关系消去参数求出a 方程；利用立方和公式分解因式求值. 二、填空题（5×5=25分）
11. 抛物线x ＝－2y 2
的准线方程是 .
【知识点】抛物线的标准方程及其准线方程.
【答案解析】 18x = 解析 ：解：将抛物线方程化为标准方程为2
12
y x =-,所以其准线方程为18
x =
. 【思路点拨】抛物线的标准方程若是2
2y px =-,则其准线方程为2
p x =
. 12. 已知,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
,则2z x y =+的最大值为
【知识点】简单线性规划．
【答案解析】3 解析 ：解：约束条件11y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
对应的平面区域如图，
当目标函数过点B （2，-1）时，z=2x+y 有最大值为2×2+（-1）=3．故填3． 【思路点拨】先
画出可行域，再把可行域的几个角点分别代入，看哪个角点对应的函数值最大即可．
13．则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，
x n
y ＝sin x 在区间(0，π)上
是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为
【知识点】对凸函数的性质定理的理解和应用;三角形的内角和是定值π. 【答案解析】 解析 ：解：因为sin y x =在区间()0,π上是凸函数,由凸函数的性质定
理
得
sin sin sin sin()sin
333
A B C A B C π
++++≤=,即
sin sin sin 3sin
3
2
A B C π
++≤=
. 【思路点拨】准确理解凸函数的性质定理是解题的关键.
14.已知f (x )＝(2x －x 2)e x
，给出以下四个结论：
①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}；②f (－2)是极小值，f (2)是极大值；③f (x )没有最小值，也没有最大值；④f (x )有最大值，没有最小值． 其中判断正确的是
【知识点】函数的极值和最值;不等式的解法；导数的计算.
【答案解析】①②④ 解析 ：解：因为x
e 恒为正,2()020
f x x x >⇔->,解得0<x <2,
①正确;2()(2)x
f x x e '=-,令()0f x '=
解得x =
当(,x ∈-∞时()0f x '<,
当
(x ∈时()0f x '>,
当)x ∈+∞时()0f x '<,所以②正确;因为①正确,
所以(,x ∈-∞
或)x ∈+∞时()0f x <且单调递减,
只有f 一个极大值,也是最
大值, ④正确③错误.
【思路点拨】注意()0f x >的解集，求出极值点，判定函数的单调区间，判定各种说法的正误.
15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
（1）．（选修4—4坐标系与参数方程）圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为
22(2)4x y ++=，则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为 .
【知识点】极坐标方程与直角坐标系方程的转化；直线方程的求法.
【答案解析】2y x =- 解析 ：解：把极坐标方程4cos ρθ=转化为直角坐标系方程为
22(2)4x y -+=,圆心为(2,0),极坐标方程4sin ρθ=-转化为直角坐标系方程为22(2)4x y ++=,圆心为(0,-2),则直线方程为2y x =-.
,再用两点式求出直线方程.
（2）．（选修4—50，1，2，则b 的取值范围是 . 【知识点】含绝对值的不等式解法.
【答案解析】24b << 解析 ：解：原不等式等价于434x b -<-<，解得
4
3
b -< 43b x +<，由题意可知4103423
3b b -⎧-≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩
，解得24b <<.
【思路点拨】注意端点的取舍，不等式的等价转化.
（3）．(选修4—1几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥，垂足为D ，且5AD DB =，设COD θ∠=，则tan θ的值为 . 【知识点】三角函数的定义. 【答案解析】
5
解析 ：解：设BD a =,则3,2OC a OD a ==,所以 5CD a =,5tan θ=
. 【思路点拨】在直角三角形中,tan θθ=对边
（是直角三角形的锐角）临边
. 三、解答题
16.（本小题满分12分）从一块圆心角为
23
π
，半径为R 的扇形钢板上切割一块矩形钢板，请问怎样设计切割方案，才能使矩形面积最大？并说明理由。

方案一：//GF ON 方案二：//AB MN
M
O
G
N
F
E
M O
C
A
N
B
D
【知识点】均值不等式;正弦定理;积化和差;三角函数的最值.
【答案解析】解析 ：解：方案一：//GF ON 设OE=a,EF=b,
22EF ab 2
OEFG
a b S OE +=⨯=≤矩形,22a b +2
R =
当a=b 时， OEFG S 矩形的最大值2
2
R 。

M
O
G
N
F
E
，OEFG S 矩形的最大值
而22
332
R R >
故选方案二才能使矩形面积最大。

【思路点拨】在方案一中,关键是找到OE 和EF 的关系式2
2
2
OE EF R +=;在方案二中设出
COB θ∠=,找到AB 的长,求BC 可在三角形中利用正弦定理,在求解的过程中用到了积化
和差公式,这点可能不易想到.
17．（本小题满分12分）已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋
a 5＝18.
（Ι）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）令b n ＝
S n
n ＋c
(n ∈N *
)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存
在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．
【知识点】等差数列的定义 ；等差中项的性质；等差数列的通项公式.
【答案解析】（I ）a n ＝4n －3 (n ∈N *
)．(2) 存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差
数列.
解析：解 (1)由题意知，{an}是等差数列，且公差d>0，
则由⎩⎪⎨
⎪⎧
a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得
⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＋d
a 1＋2d ＝45，a 1＋a 1＋4d ＝18.
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，d ＝4. ∴a n ＝4n －3 (n ∈N *
)．
(2)由b n ＝
S n
n ＋c ＝
n 1＋4n －3
2
n ＋c
＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c
，
∵c ≠0，∴可令c ＝－1
2
，得到b n ＝2n .
∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *
)，
∴数列{b n }是公差为2的等差数列．
即存在一个非零常数c ＝－1
2
，使数列{b n }也为等差数列
【思路点拨】 (1)依据等差中项的性质找到已知条件下的关系a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18.利用等差概念求出首项及公差、列出通项公式. (2)根据已知条件化简，因为等差通项为一次函数，
确定c 值为－1
2，说明存在.
18. （本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△PAD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5.
（Ι）设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P —ABCD 的体积．
【知识点】面面垂直的判定定理、性质定理；勾股定理；梯形的面积公式；锥体的体积公式.
【答案解析】(1)证明 在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45，
∴AD 2＋BD 2＝AB 2
.∴AD ⊥BD .
又∵面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ∩面ABCD ＝AD ，
BD 面ABCD ，∴BD ⊥面PAD .
又BD 面BDM ， ∴面MBD ⊥面PAD . (2)解 过P 作PO ⊥AD ， ∵面PAD ⊥面ABCD ， ∴PO ⊥面ABCD ，
即PO 为四棱锥P —ABCD 的高． 又△PAD 是边长为4的等边三角形， ∴PO ＝2 3.
在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ， ∴四边形ABCD 为梯形．
在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝85
5，
此即为梯形的高．
∴S 四边形ABCD ＝25＋452×85
5＝24.
∴V P —ABCD ＝1
3
×24×23＝16 3.
【思路点拨】证面面垂直可依据条件找出一个平面过另一个平面的垂线来证明，根据边长的关系计算出BD 垂直于AD ，PO 为等边三角形的高、垂直于AD ，两平面相互垂直垂直于交线的直线垂直于另一个平面.证明PO 为棱锥的高，利用公式求出体积.
19．（本小题满分12分）某产品的广告支出x (单位：万元)与销售收入y (单位：万元)之间有下表所对应的数据：
广告支出x(单位：万元)
1
2
3
4
销售收入y(单位：万元)
12 28 42 56
（Ι）画出表中数据的散点图； （Ⅱ）求出y 对x 的线性回归方程；
（Ⅲ）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？
参考：方程y ＝bx ＋a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，
y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ，b 是待定参数．
【知识点】线性回归方程；作图；利用公式求参数. 【答案解析】(1)作出的散点图如图所示
(2)y ＝73
5x －2. (3) 广告费为9万元时，销售收入约为129.4万元
解析：解： (1)作出的散点图如图所示
(2)
易得x ＝52，y ＝69
2
，
所以b ＝∑4
i ＝1
x i y i －4x y ∑4
i ＝1
x 2i －4x 2＝418－4×52×69
230－4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫522
＝735， a ＝y －b x ＝692－735×5
2
＝－2.
故y 对x 的线性回归方程为y ＝73
5
x －2.
(3)当x ＝9时，y ＝73
5
×9－2＝129.4.
故当广告费为9万元时，销售收入约为129.4万元．
【思路点拨】（Ι）依据表格数据对应坐标系的点作出散点图，(Ⅱ)求出x 的平均值，y 的平均值，代入系数公式求出b 、a 的值，代入方程，（Ⅲ）利用回归方程求出相应值.
20．（本小题满分13
（Ⅰ）求椭圆C 的方程及其离心率；
（Ⅱ）过椭圆右焦点F 的直线（不经过点P ）与椭圆交于A B 、两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的斜率k ．
【知识点】椭圆的方程；离心率公式；椭圆的性质；待定系数法；直线的斜率公式.
【答案解析】
解析：解：，可得22a =．
……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()10F ，
． 当APB ∠的平分线为PF 时，由和()10F ，
知：PF x ⊥轴． 记PA 、PB 的斜率分别为12k k 、．所以，PA 、PB 的斜率满足120k k +=……6分
设直线AB 方程为()1y k x =-，代入椭圆方程
2222(12)42(1)0k x k x k +-+-=．
设()()1122A x y B x y ，，，，则
8分
…………11分
……………13分 【思路点拨】代入法求a ，利用公式求离心率，求出右焦点，找出斜率的关系，利用待定
系数设点不求点的方法求出k.
21. 处的切线相互平行，求实数a 的值 . .
（Ⅲ）设函数()f x 的图像1C 与函数()g x 的图像2C 交于P 、Q 两点，过线段PQ 的中点作X 轴的垂线分别交1C 、2C 于点M 、N ，判断 1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线是否平行，并证明你的结论.
【知识点】函数的导数；求导公式；函数的增减性与导数度的关系；反证法.
【答案解析】（Ι）2a =-解：(Ⅱ) 15a ≥（Ⅲ）1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不可能平行.
立
，
=
12
ln ln
x x
-=
这与存在1()0
t t
ϕ
>=
使矛盾,
故
1
C在点M处的切线与
2
C在点N处的切线不可能平行.
【思路点拨】（Ι）导数与切线的关系求出a.(Ⅱ)在定义域下依据函数的增减性与导数的关系求恒成立，求出a.（Ⅲ）利用反证法证明存在性问题.。