【成才之路】高中数学 1.3.1 第2课时 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)基础巩固 新人教B版必修4

【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.3.1 第2课时 正弦型函数
y ＝Asin （ωx ＋φ）基础巩固 新人教B 版必修
4
一、选择题
1．函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25
x ＋π6的最小正周期是( )
A ．2
5π B ．52π C ．5π D ．π6
[答案] C
[解析] T ＝2π|ω|＝2π
2
5
＝5π.
2．(2014·陕西咸阳市三原县北城中学高一月考)曲线y ＝sin(2x ＋π
6)的一条对称轴是
( )
A ．－5π12
B ．x ＝5π
12
C ．x ＝－7π
6
D ．x ＝7π6
[答案] D
[解析] 令2x ＋π6＝π
2＋k π，k ∈Z ，
∴x ＝π6＋k π
2，k ∈Z.
当k ＝2时，x ＝7π
6
，故选D.
3．下列表示最值是1
2，周期是6π的三角函数的表达式是( )
A ．y ＝12sin(x 3＋π6
)
B ．y ＝12sin(3x ＋π
6)
C ．y ＝2sin(x 3－π
6
)
D ．y ＝12sin(x ＋π
6)
[答案] A
[解析] 函数y ＝12sin(x 3＋π6)的最大值为12，周期为6π，初相为π
6
，故选A.
4．下列四个函数中，最小正周期是π且图象关于x ＝π
3
对称的是( )
A ．y ＝sin(x 2＋π
6
)
B ．y ＝sin(2x ＋π
6)
C ．y ＝sin(2x －π
3)
D ．y ＝sin(2x －π
6
)
[答案] D
[解析] ∵函数的最小正周期为π，排除A ，又∵函数图象关于x ＝π3对称，∴当x ＝
π
3时，函数取最大值或最小值，只有选项D 满足，故选D.
5．函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在区间[0，π]内的一个单调递减区间是( )
A ．⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12
C ．⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤5π12，11π12
D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，π2 [答案] B
[解析] 由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π
2＋2k π(k ∈Z)
得π12＋k π≤x ≤7π
12
＋k π(k ∈Z)，∴选B. 6．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π
4
，则f (x )的最小正周期是( )
A ．2π
B ．π
C ．π2
D ．π4
[答案] B
[解析] 由题意知T 4＝π
4
，∴T ＝π，故选B.
二、填空题
7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f ⎝
⎛⎭
⎪⎫7π12＝________.
[答案] 0
[解析] 由图象知，T ＝2π
3
，
∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋T 2＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝0. 8．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则y ＝________.
[答案] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4x ＋π4
[解析]
T
4
＝2，∴T ＝8，ω＝
π4，将点(1,1)代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4x ＋φ中得π4＋φ＝2k π
＋π
2
，∵0≤φ<2π， ∴φ＝π4.
三、解答题
9．(2014·山东潍坊重点中学高一期末测试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0<φ<π
2
)的部分图象如图所示，求函数f (x )的解析式．
[解析] 由图象知，周期T ＝2(11π12－5π
12)＝π，
所以ω＝2π
T
＝2.
因为点(5π
12
，0)在函数图象上，
所以A sin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π
6＋φ)＝0.
又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π
3.
从而5π6＋φ＝π，即φ＝π
6
.
又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π
6＝1，解得A ＝2.
故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π
6
)．
一、选择题
1．将函数y ＝sin(x －π
3)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再
将所得图象向左平移π
3
个单位，得到图象的解析式是( )
A ．y ＝sin(2x ＋π
3)
B ．y ＝sin(12x －π
2)
C ．y ＝sin(12x －π
6)
D ．y ＝sin(2x －π
6
)
[答案] C
[解析] 将函数y ＝sin(x －
π
3
)图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(x 2－π3)的图象，再将所得函数图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝sin[
1
2
(x ＋π3)－π3]＝sin(x 2－π
6
)的图象，故选C.
2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为( )
A ．y ＝2sin(2x ＋2π
3
)
B ．y ＝2sin(2x ＋π
3)
C ．y ＝2sin(x 2－π
3
)
D ．y ＝2sin(2x －π
3
)
[答案] A
[解析] 由图象可知，A ＝2，T ＝2[5π12－(－π
12)]＝π，∴ω＝2.∴y ＝2sin(2x ＋φ)，
又∵2×(－π12)＋φ＝π
2，
∴φ＝2π3，∴y ＝2sin(2x ＋2π
3)．
3．函数y ＝sin|x |的图象是( )
[答案] B
[解析] 令f (x )＝sin|x |，x ∈R ， ∴f (－x )＝sin|－x |＝sin|x |＝f (x )， ∴函数f (x )＝sin|x |为偶函数，排除A ； 又当x ＝π2时，y ＝sin|π2|＝sin π
2
＝1，排除D ；
当x ＝3π2时，y ＝sin|3π2|＝sin 3π
2
＝－1，排除C ，故选B.
4．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象
上所有的点( )
A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
3倍(纵坐标不变)
B ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
3倍(纵坐标不变)
C ．向左平移π
6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D ．向右平移π
6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
[答案] C
[解析] 将y ＝2sin x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，将y ＝
2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，
则得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13
x ＋π6的图象，故选C.
二、填空题
5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最大值为3，最小正周期是2π7，初相是π
6，
则这个函数的解析式为________．
[答案] y ＝3sin(7x ＋π
6
)
[解析] 由题意，知A ＝3，ω＝2πT ＝2π2π7＝7，φ＝π
6
，
∴y ＝3sin(7x ＋π
6
)．
6．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①图象C 关于直线x ＝11π
12对称；
②图象C 关于点⎝
⎛⎭
⎪
⎫2π3，0对称；
③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝3sin2x 的图象向右平移π
3个单位长度可以得到图象C .
[答案] ①②③
[解析] f ⎝
⎛⎭
⎪⎫11π12＝3sin 3π2＝－3，①正确；
f ⎝
⎛⎭
⎪⎫2π3＝3sin π＝0，②正确；
f (x )的增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12
，k π＋
5π12(k ∈Z)，令k ＝0得增区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π12，5π12，③正确； 由y ＝3sin2x 的图象向右平移π
6个单位长度可以得到图象C ，④错误．
三、解答题
7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π
2)的图象的一个最高点为(2,22)，
由这个最高点到相邻最低点，图象与x 轴交于点(6,0)，试求这个函数的解析式．
[解析] 已知函数最高点为 (2,22)，∴A ＝2 2.
又由题意知从最高点到相邻最低点，图象与x 轴相交于点(6,0)，而最高点与此交点沿横轴方向的距离正好为14个周期长度，∴T
4
＝6－2＝4，即T ＝16.
∴ω＝2πT ＝π
8
.
∴y ＝22sin(π
8
x ＋φ)．
将点(6,0)的坐标代入，有22(π
8×6＋φ)＝0，
∴sin(3π
4＋φ)＝0，
又∵|φ|<π2，∴φ＝π
4
.
∴函数的解析式为y ＝22sin(π8x ＋π
4
)．
8．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π
6)＋a ＋1(其中a 为常数)．
(1)求f (x )的单调区间；
(2)若x ∈[0，π
2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值；
(3)求出使f (x )取最大值时x 的取值集合．
[解析] (1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π
2＋2k π(k ∈Z)，
解得－π3＋k π≤x ≤π
6
＋k π(k ∈Z)．
∴函数f (x )的单调增区间为[－π3＋k π，π
6＋k π](k ∈Z)．
由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π
2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π
3
＋k π，k ∈Z.
∴函数f (x )的单调减区间为[π6＋k π，2π
3＋k π](k ∈Z)．
(2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π
6，
∴－12≤sin(2x ＋π
6)≤1，
∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4， ∴a ＝1.
(3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π
2＋2k π，k ∈Z ，
∴2x ＝π
3＋2k π，k ∈Z
∴x ＝π
6＋k π，k ∈Z.
∴当f (x )取最大值时，
x 的取值集合是{x |x ＝π6
＋k π，k ∈Z}．
9．(2014·北京文，16)函数f (x )＝3sin(2x ＋π
6
)的部分图象如图所示．
(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0、y 0的值； (2)求f (x )在区间[－π2，－π
12]上的最大值和最小值．
[解析] (1)f (x )的最小正周期为2π
2＝π.
∵(x 0，y 0)是最大值点，
令2x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，结合图象得x 0＝7π
6
，y 0＝3.
(2)因为x ∈[－π2，－π
12]，
所以2x ＋π6∈[－5π
6
，0]．
于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π
12时，f (x )取得最大值0；
当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π
3
时，f (x )取得最小值－3.。