九年级数学 第22章 相似形 22.2 相似三角形的判定(第三课时)
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（2）AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm,
要使两三角形相似， 不改变AC的长， A'C'的长应当改为 多少？
A 'B'＝12cm，B'C'＝18cm，A'C'＝21cm.
解：（1）∵ AB7， AC147 A'B' 3 A'C' 6 3
又 ∠A＝∠A'
（2）∵
∴ △ABC∽△A'B'C' 两三角形的相 似比是多少？
这两个三角形是相似的.
如图在△ABC和△A'B'C'中， AB = BC = CA A'B' B'C' C'A'
12/10/2021
求证： △ABC∽△A'B'C'
证明：在线段A'B'（或它的延长线）上截取A'D＝AB，过点
D作DE∥B'C'，交A'C'于点E，根据前面的结论可得
△A'DE∽△A'B'C'
3.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架
的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，
它的另外两条边长应当是多少？你有几个答案？
方案(1)
k1
2 4
1 2
方案(3)
k3
21 63
设另外两条 边长分别为 x,y
x 1,x 5 52 2
y 1,y3 62
x 1,x 4 43 3 y 1,y 5 53 3
求证：△A'B'C' ∽ △ABC
证明：在△ABC 的边AB、AC（或它们的延长线）上分别截取AD＝ A'B'，AE＝A'C'，连接DE，因为∠A ' =∠A，这样△A'B'C' ≌ △ADE
A'B' A'C' AB AC
AD AE AB AC
∴ DE//BC
∴ △ADE ∽ △ABC
A'
A
D
方案(2)
k2
2 5
x 2,x 8 45 5
12/10/2021
y 2 , y 12 65 5
12/10/2021
12/10/2021
A
A'
AB AC k A'B' A'C'
∠A＝∠A'
B
C B'
C'
△ABC ∽ △A'B'C'
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且 相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
12/10/2021
已知：如图， △A'B'C'和 △ABC中，∠A ' =∠A，A'B'： AB＝A'C'：AC.
都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B'C'的长，它们的 比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？ 改变∠A或K值的大小，再试一试，是否有同样的结论？ 实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法：
等于k ∠B =∠B' ∠C =∠C'
改变k的值具有相同的结论
B'
C'
E
B
C
∴ △A'B'C' ∽ △ABC
12/10/2021
对于△ABC和△A'B'C'，如果
AB AC A'B' A'C'
∠B＝∠B'，这
两个三角形一定相似吗？试着画画看．
不一定相似
12/10/2021
探究2
在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边 长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它 们相等吗？这两个三角形相似吗？与邻座交流一下，看看是否有同 样的结论．
AB AC A'B' A'C '
∠A=∠A'
∴△ABC∽△A'B'C'
12/10/2021
AC 16 0.625 A'C' 25.6
BC 8 0.625 B'C' 12.8
ABBCAC0.625 A'B' B'C' A'C'
∴△ABC∽△A'B'C'
2. 图中的两个三角形是否相似？
B
45
A
C 36 E
54 30
D
解：（1）∠ACB=∠ECD
BC 45 3 CD 30 2 AC 54 3 CE 36 2
BC AC CD CE
15
20
27
40
25
45
（2） 1 5 5 27 9 25 5 45 9
20 1 40 2
对应边的比不相等
∴△ACB∽△ECD
12/10/2021
∴图中两个三角形不相似．
A
A'
B
C B'
AB BC CAk A'B' B'C' C'A'
△ABC ∽ △A'B'C'
C'
如果一个三角形的三条边与另一个三角形 的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
12/10/2021
例题
根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
（1）∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm， ∠A'＝120°，A'B'＝3cm，A'C'＝6cm；
∠A' =40°，A'B' =16，A'C' =30
（2）AB=10cm，BC=8cm，AC=16cm
A'B' =16cm，B'C' =12.8cm，A'C' =25.6cm
解： （1） AB 8 1 A' B' 16 2
（2） AB 1050.625 A'B' 16 8
AC 15 1 A'C' 30 2
第二十二章
22.2 相似三角形的判定
第3课时
12/10/2021
问题
类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不 能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？
A
2
B
C
3
E
D
4
F
6
12/10/2021
探究1
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A'B'C'，使∠A＝∠A'， A B 和 A C
A 'B ' A 'C '
A'
A
D
E
B
C
B'
C'
A'DDEA'E AB BC AC ,A'DAB A'B' B'C' A'C' A'B' B'C' A'C'
A'E AC A'C' A'C'
A'EAC
∴△A'DE≌△ABC
同理 DE＝BC ∴△ABC∽△A'B'C'
12/10/2021
由此我们得到利用三边判定三角形相似的方法：
AB 4 1 A'B' 12 3
BC 6 1 B'C' 18 3 AC 8 A'C' 21
△ABC与△A'B'C'的三组对应边
AB BC AC A'B' B'C' A'C'
的比不等，它们不相似
12/10/2021
练习
1.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
（1）∠A=40°，AB=8，AC=15
要使两三角形相似， 不改变AC的长， A'C'的长应当改为 多少？
A 'B'＝12cm，B'C'＝18cm，A'C'＝21cm.
解：（1）∵ AB7， AC147 A'B' 3 A'C' 6 3
又 ∠A＝∠A'
（2）∵
∴ △ABC∽△A'B'C' 两三角形的相 似比是多少？
这两个三角形是相似的.
如图在△ABC和△A'B'C'中， AB = BC = CA A'B' B'C' C'A'
12/10/2021
求证： △ABC∽△A'B'C'
证明：在线段A'B'（或它的延长线）上截取A'D＝AB，过点
D作DE∥B'C'，交A'C'于点E，根据前面的结论可得
△A'DE∽△A'B'C'
3.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架
的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，
它的另外两条边长应当是多少？你有几个答案？
方案(1)
k1
2 4
1 2
方案(3)
k3
21 63
设另外两条 边长分别为 x,y
x 1,x 5 52 2
y 1,y3 62
x 1,x 4 43 3 y 1,y 5 53 3
求证：△A'B'C' ∽ △ABC
证明：在△ABC 的边AB、AC（或它们的延长线）上分别截取AD＝ A'B'，AE＝A'C'，连接DE，因为∠A ' =∠A，这样△A'B'C' ≌ △ADE
A'B' A'C' AB AC
AD AE AB AC
∴ DE//BC
∴ △ADE ∽ △ABC
A'
A
D
方案(2)
k2
2 5
x 2,x 8 45 5
12/10/2021
y 2 , y 12 65 5
12/10/2021
12/10/2021
A
A'
AB AC k A'B' A'C'
∠A＝∠A'
B
C B'
C'
△ABC ∽ △A'B'C'
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且 相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
12/10/2021
已知：如图， △A'B'C'和 △ABC中，∠A ' =∠A，A'B'： AB＝A'C'：AC.
都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B'C'的长，它们的 比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？ 改变∠A或K值的大小，再试一试，是否有同样的结论？ 实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法：
等于k ∠B =∠B' ∠C =∠C'
改变k的值具有相同的结论
B'
C'
E
B
C
∴ △A'B'C' ∽ △ABC
12/10/2021
对于△ABC和△A'B'C'，如果
AB AC A'B' A'C'
∠B＝∠B'，这
两个三角形一定相似吗？试着画画看．
不一定相似
12/10/2021
探究2
在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边 长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它 们相等吗？这两个三角形相似吗？与邻座交流一下，看看是否有同 样的结论．
AB AC A'B' A'C '
∠A=∠A'
∴△ABC∽△A'B'C'
12/10/2021
AC 16 0.625 A'C' 25.6
BC 8 0.625 B'C' 12.8
ABBCAC0.625 A'B' B'C' A'C'
∴△ABC∽△A'B'C'
2. 图中的两个三角形是否相似？
B
45
A
C 36 E
54 30
D
解：（1）∠ACB=∠ECD
BC 45 3 CD 30 2 AC 54 3 CE 36 2
BC AC CD CE
15
20
27
40
25
45
（2） 1 5 5 27 9 25 5 45 9
20 1 40 2
对应边的比不相等
∴△ACB∽△ECD
12/10/2021
∴图中两个三角形不相似．
A
A'
B
C B'
AB BC CAk A'B' B'C' C'A'
△ABC ∽ △A'B'C'
C'
如果一个三角形的三条边与另一个三角形 的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
12/10/2021
例题
根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
（1）∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm， ∠A'＝120°，A'B'＝3cm，A'C'＝6cm；
∠A' =40°，A'B' =16，A'C' =30
（2）AB=10cm，BC=8cm，AC=16cm
A'B' =16cm，B'C' =12.8cm，A'C' =25.6cm
解： （1） AB 8 1 A' B' 16 2
（2） AB 1050.625 A'B' 16 8
AC 15 1 A'C' 30 2
第二十二章
22.2 相似三角形的判定
第3课时
12/10/2021
问题
类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不 能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？
A
2
B
C
3
E
D
4
F
6
12/10/2021
探究1
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A'B'C'，使∠A＝∠A'， A B 和 A C
A 'B ' A 'C '
A'
A
D
E
B
C
B'
C'
A'DDEA'E AB BC AC ,A'DAB A'B' B'C' A'C' A'B' B'C' A'C'
A'E AC A'C' A'C'
A'EAC
∴△A'DE≌△ABC
同理 DE＝BC ∴△ABC∽△A'B'C'
12/10/2021
由此我们得到利用三边判定三角形相似的方法：
AB 4 1 A'B' 12 3
BC 6 1 B'C' 18 3 AC 8 A'C' 21
△ABC与△A'B'C'的三组对应边
AB BC AC A'B' B'C' A'C'
的比不等，它们不相似
12/10/2021
练习
1.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
（1）∠A=40°，AB=8，AC=15